矩形的性质练习进步题.docx
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矩形的性质练习进步题
18.2.1.1矩形的性质
【基础诊断】
1.矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等B.对角线相等
C.对角线互相平分D.对边相等
2.如图18-2-1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以下说法不一定正确的是( )
A.∠ABC=90°B.OD=
AC
C.∠OAB=∠OBAD.OA=AD
图18-2-1
图18-2-2
3.如图18-2-2,在直角三角形ABC中,斜边AB上的中线CD=AC,则∠B的度数为________.
4.如图18-2-3所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,AC=6.
求:
(1)AB的长;
(2)矩形ABCD的面积.
图18-2-3
命题点1 矩形的四个角都是直角
5.M为矩形ABCD中AB边上的中点,且AB=2BC,那么∠BMC等于( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
6.矩形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(0,0)和C(2,0),则点D的坐标是( )
A.(1,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(2,1)
7.矩形内有一点A,到各边的距离从小到大依次是1,2,3,4,则这个矩形的周长是( )
A.10B.20C.24D.25
图18-2-4
8.如图18-2-4,矩形ABCD的面积为36cm2,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,H为AD上任一点,则图中阴影部分的面积为( )
A.18cm2B.16cm2
C.20cm2D.24cm2
9.已知:
如图18-2-5,P为矩形ABCD内一点,PC=PD,求证:
PA=PB.
图18-2-5
10.如图18-2-6,四边形ABCD是矩形,点E在BC边上,点F在BC的延长线上,且∠CDF=∠BAE,求证:
四边形AEFD是平行四边形.
图18-2-6
命题点2 矩形的对角线相等
11.如图18-2-7,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC等于( )
A.5B.4C.3.5D.3
12.如图18-2-8,在矩形ABCD中,DE⊥AC,∠ADE=
∠CDE,那么∠BDC的度数为( )
A.60°B.45°C.30°D.22.5°
图18-2-7
图18-2-8
图18-2-9
13.如图18-2-9,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF=________cm.
14.已知:
如图18-2-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,交AB的延长线于点E.求证:
AC=CE.
图18-2-10
15.如图18-2-11,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,AE平分∠BAD.若∠EAO=15°,求∠BOE的度数.
图18-2-11
命题点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 [热度:
90%]
16.2018·黄冈如图18-2-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )
A.2B.3
C.4D.2
图18-2-12图18-2-13
17.如图18-2-13所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B分别在y轴、x轴上,当点B在x轴正半轴上运动时,点A随之在y轴上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为________.
18.如图18-2-14,四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,E为AC的中点,F为BD的中点.求证:
EF⊥BD.
图18-2-14
19.⑫如图18-2-15①,在矩形ABCD(AB<BC)的BC边上取一点E,使BA=BE,作∠AEF=90°,交AD于点F,易证EA=EF.
(1)如图18-2-15②,若EF与AD的延长线交于点F,证明EA=EF仍然成立;
(2)如图18-2-15③,若四边形ABCD是平行四边形(AB<BC),在BC边上取一点E,使BE=BA,作∠AEF=∠ABE,交AD于点F,则EA=EF是否成立?
若成立,请说明理由.
图18-2-15
答案
1.B 2.D 3.30°
4.解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∠ABC=90°.又∵∠BOC=120°,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴AB=
AC=
×6=3.
(2)∵AB2+BC2=AC2,∴BC=
=3
,
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=3×3
=9
.
5.B [解析]由四边形ABCD是矩形,可知∠B=90°.∵M为AB的中点,AB=2BC,∴BM=BC,
∴∠BMC=∠MCB=45°.
6.D [解析]根据矩形的性质,点D到x轴的距离DC=AB=1,点D到y轴的距离DA=BC=2,所以点D的坐标为(2,1).
7.B
8.A [解析]设矩形ABCD中,AD=acm,AB=bcm,则AE=
b=GC,BF=
a,
∴S阴影=S矩形ABCD-S△AEH-S△HFC-S△HCG=36-
AE·AH-
HD·CG-
FC·AB=36-
AD·AE-
FC·AB=36-
ab=18(cm2).
9.证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°.∵PD=PC,∴∠PDC=∠PCD,∴∠ADP=∠BCP,∴△PAD≌△PBC,∴PA=PB.
10.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠DCF=90°,BC=AD.
又∵∠BAE=∠CDF,∴△ABE≌△DCF(ASA),∴BE=CF,∴BC=EF,∴EF=AD.又∵EF∥AD,∴四边形AEFD是平行四边形.
11.B [解析]由于∠BAD=90°,∠ADB=30°,AB=4,∴BD=8.∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=
AC=
BD=4.
12.C [解析]由题意知,在矩形ABCD中,∠ADC=90°,∠ADE=
∠CDE,∴∠ADE=30°,∠CDE=60°.∵DE⊥AC,∴∠DCE=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,
∴∠BDC=∠DCE=30°.
13.
[解析]∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD.
∵AB=6cm,BC=8cm,∴由勾股定理得:
BD=AC=
=10(cm),∴OD=5cm.
∵E,F分别是AO,AD的中点,
∴EF=
OD=
cm.
14.证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥DC,∴DC∥BE.又∵CE∥BD,∴四边形CDBE是平行四边形,∴BD=CE,∴AC=CE.
15.解:
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°,OA=OB=OC=OD.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=45°,
∴∠BEA=45°=∠BAE,
∠BAO=∠BAE+∠EAO=45°+15°=60°,
∴AB=BE,△AOB是等边三角形,∴∠ABO=60°,AB=OB,∴∠OBE=30°,OB=BE,
∴∠BOE=
×(180°-30°)=75°.
16.C [解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,∴AE=CE=5.∵AD=2,∴DE=3.∵CD为AB边上的高,
∴在Rt△CDE中,CD=
=4.
17.
+1 [解析]如图,取AB的中点E,连接OD,OE,DE.∵∠AOB=90°,AB=2,∴OE=AE=
AB=1.∵BC=1,四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,∴DE=
=
.当O,D,E三点共线时,点D到点O的距离最大,为
+1.
18.证明:
如图,连接BE,DE,
∵∠ABC=90°,∠ADC=90°,E是AC的中点,
∴BE=DE=
AC.
∵F是BD的中点,∴EF⊥BD.
19.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC.
∵AB=BE,∴∠AEB=∠FAE=45°.
∵∠AEF=90°,
∴∠AFE=180°-90°-45°=45°,
∴∠FAE=∠AFE,∴EA=EF.
(2)EA=EF成立.
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠B+∠BAD=180°,∠AEB=∠FAE.
∵BA=BE,∴∠AEB=∠BAE=∠FAE.
∵∠AEF=∠ABE,∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°,∴∠FEC=∠FAE.
∵AD∥BC,∴∠FEC=∠AFE,
∴∠FAE=∠AFE,∴EA=EF.
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- 矩形 性质 练习 进步