高数第一章函数ppt课件.ppt

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主讲：

倪伟主讲：

倪伟南昌大学理学院数学系南昌大学理学院数学系办公：

生命科学大楼办公：

生命科学大楼B829B829电话：

电话：

1580700524015807005240微积分概况微积分教程一般按如下方式安排微积分教程一般按如下方式安排：

历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：

历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：

集合集合极限极限连续连续函数函数微分微分积分积分阿基米德阿基米德开普勒开普勒16151615费马费马16381638牛顿牛顿16651665莱布尼兹莱布尼兹16751675柯西柯西18211821威尔斯特拉斯威尔斯特拉斯康拓康拓18751875戴德金戴德金积分思想溯源穷竭法不规则几何图形面积体积的计算：

不规则几何图形面积体积的计算：

穷竭法：

用规则几何图形穷竭法：

用规则几何图形“穷竭穷竭”不规则几何图形不规则几何图形。

欧多克斯原理：

从任一欧多克斯原理：

从任一量中减去不小它的一半量中减去不小它的一半的部分，再从余量中减的部分，再从余量中减去不小于的一半的部分，去不小于的一半的部分，如此继续下去，则最后如此继续下去，则最后留一个小于任何给定的留一个小于任何给定的同类量同类量。

欧多克斯欧多克斯（Eudoxus，400350BC）提出。

提出。

阿基米德阿基米德（Archimedes,283-212BC）熟练运用。

熟练运用。

正四边形正十六边正八边形阿基米德（阿基米德（Archimedes,283-212BC）抛物线围成的某些图形的面积抛物线围成的某些图形的面积积分思想溯源阿基米德球面积、球面积、球体积、球体积、椭圆面积椭圆面积开普勒开普勒（KeplerKepler1571-1563）1571-1563）第一个试图阐明阿基米德方法，并给予推广。

第一个试图阐明阿基米德方法，并给予推广。

第二行星定律中椭圆面积的计算。

第二行星定律中椭圆面积的计算。

16151615年出版年出版酒桶的新立体几何酒桶的新立体几何，书中包含，书中包含用无穷小量求面积和体积的许多问题。

用无穷小量求面积和体积的许多问题。

卡瓦列里卡瓦列里（Cavalieri15981647）开普勒工作的直接继承者。

开普勒工作的直接继承者。

不可分量原理。

（不可分量原理。

（y=y=xxnn下的面积）下的面积）不可分量专著：

不可分量专著：

不可分量几何学不可分量几何学（16351635）。

）。

积分思想溯源帕斯卡帕斯卡（Pascal16231662）更接近积分的现代解法。

更接近积分的现代解法。

计算了种种面积、体积、弧长，计算了种种面积、体积、弧长，并解决了求重心位置等问题。

并解决了求重心位置等问题。

积分思想溯源积分思想溯源中国古代数学家的贡献中国古代数学家的贡献刘辉刘辉（约约250-?

）,250-?

）,祖冲之祖冲之（429-500）（429-500）的割圆术给的割圆术给出了计算圆面积和圆周率的方法。

出了计算圆面积和圆周率的方法。

祖恒沿着刘徽祖冲之的思路完成了球体积公式祖恒沿着刘徽祖冲之的思路完成了球体积公式的推导（祖恒原理）。

的推导（祖恒原理）。

沃利斯沃利斯（Wallis,1616-1703）在其著作在其著作无穷数量的算术无穷数量的算术中，中，获得了一系列重要的结果。

获得了一系列重要的结果。

积分思想的根本问题：

无限分割求和问题。

积分的根本思想微分学的起源曲线的切线曲线的切线；函数的最大函数的最大（小小）值值;运运动量的变化率。

动量的变化率。

罗贝瓦尔罗贝瓦尔（RobervalRoberval，1602-16751602-1675）从一般意义上）从一般意义上研究曲线的切线问题。

研究曲线的切线问题。

笛卡尔笛卡尔（1596-1650）（1596-1650）用用“圆法圆法”来求曲线的切线，来求曲线的切线，本质上是一种代数方法。

本质上是一种代数方法。

费马费马求极小、极大值的方法求极小、极大值的方法巴罗巴罗的微分三角形，把切线看作割线的极限位置，的微分三角形，把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限。

并利用忽略高阶无穷小来取极限。

微分思想的根本问题微分思想的根本问题：

量的变化率问题。

PQS以无穷小方法研究变化率问题产生了微分以无穷小方法研究变化率问题产生了微分学；学；以无穷小方法研究分割求和问题产生以无穷小方法研究分割求和问题产生了积分学；了积分学；牛顿牛顿莱布尼茨公式揭示了两者的内莱布尼茨公式揭示了两者的内在联系（微积分基本定理），建立了在联系（微积分基本定理），建立了统一的微积分学。

统一的微积分学。

微积分的诞生17世纪上半叶一系列前驱性工作沿不同方向朝着微积分的大门踏近，但它们还不足以标示微积分作为一门独立科学的诞生，这是因为它们在方法上还缺乏一般性。

牛顿牛顿从从16651665年到年到16951695年，对微积分成果为：

年，对微积分成果为：

16651665，“正流数术正流数术”微分学；微分学；（当时未公开发表，在科学家之间小范围传播）（当时未公开发表，在科学家之间小范围传播）16661666，“反流数术反流数术”积分学；积分学；（当时未公开发表，在科学家之间小范围传播）（当时未公开发表，在科学家之间小范围传播）16661666，“流数简论流数简论”标志微积分的诞生；标志微积分的诞生；16691669，“分析学分析学”由此后人称以微积分为主由此后人称以微积分为主0000000000要内容的学科为数学分析要内容的学科为数学分析16711671，“流数法流数法”16871687，“自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理”简称简称“原理原理”16911691，“求积术求积术”牛顿在微积分方面的主要成果牛顿在微积分方面的主要成果：

莱布尼茨在微积分方面的主要成果莱布尼茨在微积分方面的主要成果：

16751675年给出积分号年给出积分号“”，同年引入微分号，同年引入微分号“dd”16761676年给出公式年给出公式，16771677年，表述微积分基本定理：

年，表述微积分基本定理：

16841684，“求极大与极小值和求切线的新方法求极大与极小值和求切线的新方法”（微积分学的第一篇公开发表论文微积分学的第一篇公开发表论文）16861686，“深奥的几何与不可分量的无限的分析深奥的几何与不可分量的无限的分析”（积分学论文）（积分学论文）牛顿牛顿VSVS莱布尼茨莱布尼茨牛顿和莱布尼茨各自独立的发明了微积分。

牛顿和莱布尼茨各自独立的发明了微积分。

莱布尼茨的大部分结果先于牛顿发表；莱布尼茨的大部分结果先于牛顿发表；牛顿的大部分结果先于莱布尼茨发现。

牛顿的大部分结果先于莱布尼茨发现。

莱布尼兹的记号比牛顿的更容易理解，一直沿莱布尼兹的记号比牛顿的更容易理解，一直沿用至今用至今.这个时期的微积分：

这个时期的微积分：

极限的概念还没有引进微积分，主要极限的概念还没有引进微积分，主要应用应用“不可分量不可分量”和和“无穷小量无穷小量”的概念。

的概念。

逻辑基础不严密，一些结论不能严格证明。

逻辑基础不严密，一些结论不能严格证明。

微积分的极限理论基础牛顿牛顿-莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小概念上的混乱，引起一部分人的批评。

概念上的混乱，引起一部分人的批评。

英国哲学家、牧师英国哲学家、牧师G.BerkeleyG.Berkeley（1685-17531685-1753）：

）：

分析分析学家，或致一位不信神的数学家学家，或致一位不信神的数学家矛头直指牛顿的流数法。

矛头直指牛顿的流数法。

BerkeleyBerkeley悖论悖论微积分牢固基础的建立微积分牢固基础的建立Cauchy:

Cauchy:

将微积分的基将微积分的基础建立在极限基础上础建立在极限基础上。

WeirstrassWeirstrass:

建立了分建立了分析基础的逻辑顺序：

实析基础的逻辑顺序：

实数系数系-极限论极限论-微积分。

微积分。

微积分的集合论基础微积分的集合论基础由于实数的严格理论尚未建立，所以柯西的极由于实数的严格理论尚未建立，所以柯西的极限理论还不完善。

限理论还不完善。

柯西，威尔斯特拉斯之后，康托，戴德金将分析柯西，威尔斯特拉斯之后，康托，戴德金将分析基础归结为实数理论，并建立起完整的实数体系。

基础归结为实数理论，并建立起完整的实数体系。

19世纪下半叶，康拓尔建立著名的集合论，成为世纪下半叶，康拓尔建立著名的集合论，成为现代数学的基石。

现代数学的基石。

1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞卡莱兴高采烈的宣称：

卡莱兴高采烈的宣称：

“借助于集合的概念，我们借助于集合的概念，我们可以建造整个数学的大厦可以建造整个数学的大厦今天我们可以说绝对今天我们可以说绝对严格性已经达到严格性已经达到”微积分逻辑基础的最后完成罗素悖论：

集合论是有漏洞的罗素悖论：

集合论是有漏洞的.-罗罗素素数数学学的的原原理理1903SS由一切不是自身元素的集合所组成。

由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：

然后罗素问：

SS是否属于是否属于SS呢？

呢？

一一个个克克里里特特人人说说：

“所所有有克克里里特特人人说说的的每每一一句句话话都都是是谎谎话话。

”微积分逻辑基础的最后完成19081908年，策梅罗年，策梅罗（ZermeloZermelo187118711953）1953）提出第一个提出第一个公理化集合论体系，后经弗兰克尔公理化集合论体系，后经弗兰克尔（FraenkelFraenkel1891_1965）1891_1965）改进，称为改进，称为ZFZF系统。

系统。

这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。

论的缺陷。

至此，分析学（数学）大厦的整个基础完全建立至此，分析学（数学）大厦的整个基础完全建立微积分概况微积分教程一般按如下方式安排：

历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：

集合极限连续函数微分积分阿基米德阿基米德开普勒开普勒16151615费马费马16381638牛顿牛顿16651665莱布尼兹莱布尼兹16751675柯西柯西18211821威尔斯特拉斯威尔斯特拉斯康拓康拓18751875戴德金戴德金1.11.1集合集合1.1.集合的概念集合的概念.2.2.集合的集合的元素元素.3.3.有限集、无限集有限集、无限集.4.4.集合的表示法集合的表示法.数集分类数集分类:

N-N-自然数集自然数集Z-Z-整数集整数集Q-Q-有理数集有理数集R-R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:

N:

NZ,ZZ,ZQ,Q,QQRR规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集,A.集合集合AA是其自己的子集，是其自己的子集，AA.5.5.全集与空集全集与空集.6.6.集合的运算集合的运算设设A.BA.B是两是两个集合个集合并并集集：

由由A和和B的的所所有有元元素素组组成成的的集集合合，称称为为A和和B的并，记为的并，记为AB.AB=x|xA或或xB.交交集集：

由由A和和B的的公公共共元元素素组组成成的的集集合合，称称为为A和和B的交，记为的交，记为AB.AB=x|xA且且xB.补集：

补集：

全集全集U中所有不属于中所有不属于A的元素构成的集合，的元素构成的集合，称为称为A的补集，记为的补集，记为.差差集集：

属属于于A但但不不属属于于B的的元元素素组组成成的的集集合合，称称为为A和和B的的差差，记记为为AB.AB=x|xA且且xB.例例,若若A=1,2,3,4，B=3,4,5,6，则则AB=1,2.例例,若在本教室中的学生为全集，若在本教室中的学生为全集，且且A为带了为带了微积分微积分的学生，的学生，则则为未带为未带微积分微积分的学生。

的学生。

ABAU设设A、B、C为任意三个集合，则下列法则成立：

为任意三个集合，则下列法则成立：

7.7.集合的运算律集合的运算律交换律交换律ABB=BBA,AB=BA结合律结合律（AB）B）C=A（BC）（AB）C=A（BC）分配律分配律（AB）B）C=（AC）（BC）（AB