第5讲 学生4份 直线和圆的位置关系.docx

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第5讲学生4份直线和圆的位置关系

第5讲直线与圆的位置关系

【基础知识精讲】

一．直线和圆的位置关系：

设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d．

①直线和圆没有公共点

直线和圆相离

d>R．

②直线和⊙O有唯一公共点

直线l和⊙O相切

d＝R．

③直线l和⊙O有两个公共点

直线l和⊙O相交

d

二．圆的切线：

1、切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．

2、切线的性质：

①切线和圆有且只有一个公共点；

②切线和圆心的距离等于该圆的半径；

③圆的切线垂直于过切点的半径；

④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

3、常常需要添加辅助线的一般规律为：

①已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连

结圆心和切点的半径。

②证明某直线是圆的切线时，若已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；

③如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。

4、切线长定理：

①切线长：

从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

②切线长定理：

从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

5、弦切角度数定理：

弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

三、三角形的内切圆：

1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形.

2.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

3.①若三角形的面积为

，周长为a+b+c,则内切圆半径为:

，

②若⊿ABC为Rt△，

为斜边时，内切圆半径

或

.

四．圆内接四边形和外切四边形

①圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

②圆外切四边形对边之和相等．圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

五、相交弦定理：

圆内的两条相交弦,被交点分成的四条线段的积相等.

如图，

六、切割线定理:

从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.如图，

七、割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线,这点到割线与圆交点的两条线段长的积相等.

如图：

PA·PB=PC·PD

【例题巧解点拨】

例1、①一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是（）

A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形

②I是

的内心，则下列式子正确的是（）

A、∠BIC=

-2∠AB、∠BIC=2∠A

C、∠BIC=

+

D、∠BIC=

-

③

外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则

的外心是

的。

④直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．

⑤等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于．

⑥等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是．

⑦圆外切等腰梯形底角为

，腰长为10，则圆的半径长为．

⑧

的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=

，

则

为．

例3、如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．

（1）求证：

△ABC是等腰三角形；

（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个并求AP的长．

（1）证明：

∵BC∥AE，

∴∠BCA=∠CAE，

又∵AE切⊙O于点A，

∴∠CAE=∠ABC，

∴∠BCA=∠ABC，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（2）射线AE上满足条件的点有两个．

①过点C作AB的平行线交AE于点P1．

∵BC∥AE，

∴ABCP1为平行四边形，

∴AP1=BC=8．

②过点C作⊙O的切线交AE于点P2，

∴∠P2AC=∠ABC，

又∠P2CA=∠ACB，

∴△AP2C∽△CAB，

∴AP2：

AC=AC：

BC，

∴AP2=AC2：

BC=12.5．

例4已知

三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为

解：

将直角三角形置于直角坐标系中，因为很明显6，8，10的组合是直角三角形

如图，设置直角坐标系

OA=6,0B=8,AB=10

外心即为斜边的中点C，坐标为（3，4）

直线AB的方程为x/6+y/8=1（截距式）

4x+3y-24=0

作∠ABO和∠OAB的平分线，交于点D，D即为内心

因为内心到各边的距离均相等

那么设点D的坐标为（a，a）a>0

根据点到直线距离

｜4a+3a-24｜/√（4²+3²）=a

5a=｜7a-24｜

7a-24=5a或7a-24=-5a

a=12（不合题意，舍去，此时在直角三角形外）或a=2

点D的坐标是（2，2），点C的坐标是（3，4）

根据两点间距离公式

CD=√（（4-2）²+（3-2）²）=√5

例5已知：

如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在AB的延长线上，且PC∥BD。

求证：

6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，P在AB的延长线上，且．

求证：

PC∥BD．

由四边形ABCD内接于⊙O，根据圆的内接四边形的性质，易证得∠CBP=∠ADC，又由，即可得△CBP∽△ADC，然后由相似三角形的对应角相等与圆周角定理，易证得∠PCB=∠CBD，即可证得PC∥BD．

证明：

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBP=180°，

∴∠CBP=∠ADC，

∵，

∴△CBP∽△ADC，

∴∠PCB=∠CAD，

∵∠CAD=∠CBD，

∴∠PCB=∠CBD，

∴PC∥BD．

一、填空:

1．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O的位置关系是_____________．

2、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC=；若O为△ABC的内心，∠BOC=．

3、如图1，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=70O，则∠C=________.

4、下列直线中能判定为圆的切线的是__________.

（A）与圆有公共点的直线。

（B）垂直于圆的半径的直线。

（C）过圆的半径的外端的直线。

（D）到圆心的距离等于该圆的半径的直线。

5．如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：

PB＝1：

4，CD＝8，

则AB＝.

6．如图4，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，MN是过B点而垂直于OB的直线，则∠ABM=________。

二、解答题:

10．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12。

以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E；

（1）、求证：

直线EF是⊙O的切线；

（2）、求sin∠E的值。

（1）证明：

连接OD、CD。

∵BC是直径，∴CD⊥AB

∵AB=BC. ∴D是AB的中点。

又O为CB的中点，

∴OD∥EF，EF,是⊙O的切线。

（2）解：

连BG。

∵BC是直径，∴∠BGC=90°。

在Rt△BCD中，.

∵.

在Rt△BGC中，.

∵BG⊥AC,DF⊥AC

∴BG∥EF, ∴∠E=∠CBG,

∴sin∠E=sin∠CBG=

作业

1.如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F．设EF交AD于G，连接DF．

（1）求证：

EF∥BC；

（2）已知：

DF=2，AG=3，求的值．

解∵∠1=∠3，∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

又∵∠5=∠5，

∴△ADF∽△FDG，

∴，

设GD=x，则，

解得x1=1，x2=-4，经检验x1=1，x2=-4为所列方程的根，

∵x2=-4＜0应舍去，

∴GD=1由

（1）已证EF∥BC，

∴．

2.已知：

如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2-kx+2=0的两根（k为常数）．

（1）求证：

PA•BD=PB•AE；

（2）求证：

⊙O的直径长为常数k；

（3）求tan∠FPA的值．

（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；

（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：

⊙O的直径长为常数k；

（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程x2-kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．

（1）证明：

如图，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠PBD=∠A，

∵PF平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∴△PBD∽△PAE，

∴PB：

PA=BD：

AE，

∴PA•BD=PB•AE；（2分）

（2）证明：

如图，

∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．

又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，

∴∠BED=∠BDE．

∴BE=BD．

∵线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2=0的两根（k为常数），

∴AE+BD=k，

∴AE+BD=AE+BE=AB=k，

即⊙O直径为常数k．（5分）

（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．

∴∠PBA=90°．

∵∠A=60°．

∴PB=PA•sin60°=PA，

又∵PA•BD=PB•AE，

∴BD=AE，

∵线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2=0的两根（k为常数）．

∴AE•BD=2，即AE2=2，

解得：

AE=2，BD=，

∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，

在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．

在Rt△PBE中，tan∠BPF===2-，

∵∠FPA=∠BPF，

∴tan∠FPA=2-

作业

1.已知：

如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根．

（1）求证：

BE=BD．

（2）若GE?

EF=63，求∠A的度数．

（1）证明：

∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0的两根，

∴△=（-6）2-4（m2+4m+13）=-4（m+2）2≥0，∴m=-2，

原方程为x2-6x+9=0，

解之，得x1=x2=3，

∴BE=BD=3；

（2）解：

由相交弦定理得AE?

BE=GE?

FE=63

∴AE=23

∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径

∴∠ABP=∠ACB=90°

又∵BE=BD=3，

∴∠1=∠2

∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5

又∵∠5=∠A，

∴∠3=∠4

方法一：

易证△PBD∽△PAE，

∴BDAE＝PDPE

△PDC∽△PEB

∴DC/EB＝PD/PE

∴BD/AE＝DC/EB，DC＝BD.EB/AE＝3×323＝332（10分）

在Rt△ACB中，sinA＝BCAB＝3+3323+23＝6+336+43＝3（2+3）23（3+2）＝32

∴∠A=60°；

方法二：

易证△PBC∽△PAB，

∴BC/AB＝PB/PA

∵△PBD∽△PAE

∴BD/AE＝PB/PA（9分）

∴BC/AB＝BD/AE（10分）

sin∠A＝BC/AB＝BD/AE＝323＝3/2

∴∠A=60°

2.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于点E．

（1）求证：

AE=AF；

（2）若PB：

PA=1：

2，M是上的点，AM交BC于D，且PD=DC，试确定M点在BC上的位置，并证明你的结论．

3.如图，OA，OB，OC，都是圆的半径，∠AOB=2∠BOC，

求证：

∠ACB=2∠BAC。

由圆周角定理，易得：

∠ACB=∠AOB，∠CAB=∠BOC；已知∠AOB=2∠BOC，联立三式可求得所证的结论．

证明：

∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；

又∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠ACB=2∠BAC．

证明：

∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；

又∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠ACB=2∠BAC．

分析：

由圆周角定理，易得：

∠ACB=∠AOB，∠CAB=∠BOC；已知∠AOB=2∠BOC，联立三式可求得所证的结论．

4.如图，MN是⊙O直径，MN=2，点A在⊙O上∠AMN=30°，B为弧AC的中点，P为直径MN上一动点，求PA+PB的最小值。

证明：

作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．

此时PA+PB最小，且等于AC的长．

连接OA，OC，

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=60°，

∴弧AN的度数是60°，

则弧BN的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN的度数是30°，

则∠AOC=90°，又OA=OC=1，

则AC=．

5.如图：

四边形ABCD内接于☉O，点P在BC的延长线上，且PD∥AC．求证：

PC•AB=AD•CD．

分析：

要证PC•AB=AD•，需证△PCD∽△DAB；由DP∥AC，可得∠DPC=∠ACB=∠ADB；由于∠DCP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠DCP=∠DAB；从而△PCD∽△DAB成立，由此得证．

证明：

如图，

连接BD．

∵DP∥AC，

∴∠DPC=∠ACB．

∵∠ACB=∠BDA，

∴∠DPC=∠BDA．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠PCD=∠DAB．

∴△PCD∽△DAB．

得CD：

AB=PC：

AD，

即AD•DC=AB•PC．