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大学扭转课件
第六章扭转
【学时】4
内容:
扭转的概念及工程实例;传动轴的功率、转速与外力偶矩间的关系;扭矩和扭矩图。
簿壁圆筒扭转,纯剪切的概念,剪切虎克定律,剪应变,剪切弹性模量,剪应力互等定理。
圆轴扭转的剪应力;极惯性矩,抗扭截面模量;扭转强度条件。
扭转超静定问题。
矩形截面杆扭转的主要结果。
【基本要求】
1.理解扭转的概念[2]。
2.掌握扭矩的计算和扭矩图图的绘制[1]。
3.理解纯剪切的概念[2]。
4.掌握剪切虎克定律和剪应力互等定理[1]。
5.掌握圆轴扭转的剪应力及其强度条件[1]。
6.掌握圆轴扭转时的变形及其刚度条件[1]]。
7.了解矩形截面杆扭转的主要结果[3]。
【重点】扭矩和扭矩图的绘制,剪应力和扭转角及其强度和刚度的计算
【难点】纯剪切的概念,剪切虎克定律及剪应力互等定理。
§6-1、外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例:
受力特点:
构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用,
变形特点:
使杆件的横截面绕轴线发生相对转动,这时任意两横截面间有相对角位移,称为扭转角。
实例:
轴——以扭转变形为主的杆件在工程上统称为轴。
二、外力偶矩的计算:
在工程实例中,作用在轴上的外力偶的大小常常不直接给出,而是给定轴所传递的功率和轴的转速。
其关系为:
当传递的功率P的单位为PS(马力,1PS=735.5W)上式变为:
§6-2、扭矩和扭矩图
一、扭转时的内力计算:
1、内力的大小计算:
采用截面法:
假想用截面将其截开,并取左段研究,为保持平衡,该截面上必定有内力偶作用。
其力偶矩称为扭矩,用T表示:
由平衡方程式得:
T=M。
2、内力的方向:
采用右手螺旋法则:
如果用右手四指表示扭转的转向,则拇指的指向离开截面时规定扭矩为正;若拇指指向截面时,则扭矩为负。
注意:
当轴上同时有几个外力偶矩作用时,一般而言,各段截面上的扭矩是不同的,必须分段求出,其一般步骤为:
“假截留半,内力代换,内外平衡”。
也可用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。
其方法为:
受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩的代数和。
外力偶矩的正负号仍可用右手螺旋法则:
以右手四指表示外力偶矩转向,拇指指向离开该截面(欲求扭矩的截面)时取正值,指向该截面时取负值。
二、扭矩图:
为直观地表示沿轴线各截面上扭矩的变化规律,取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置,用纵坐标表示扭矩的代数值,画出各截面扭矩的变化图,称为扭矩图。
三、举例:
1、一轴受外力偶作用如图所示,求指定横截面1-1,2-2,3-3,4-4上的扭矩,并画出其扭矩图。
解:
1-1截面左侧外力偶个数比右侧少,考虑左侧计算。
因1-1截面外法线水平向右,应用右手螺旋法则,则M1为正,M2为负:
T1=M1-M2=2-7.5=-5.5KNm,负值说明该截面扭矩为负,所设方向与实际方向相反。
考虑2-2截面右侧计算T2,该截面外法线水平向左。
T2=-M5-M4=-1-2.5=-3.5KNm。
考虑3-3截面右侧计算T3:
T3=-M5=-1KNm。
考虑4-4截面左侧计算T4:
T4=M1=2KNm。
2、试绘制扭矩图,说明图中轴上3个轮子如何布置比较合理?
解:
把3个轮子可能的布置情况都画出来,然后分别画出其扭矩图,比较哪种布置时Tmax为最小,则哪种布置就合理。
§6-3、圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系:
取一左端固定的易变形的圆形截面直杆,在此圆轴的表面各画两条相平行的圆周线和纵向线。
在轴的右端施加一个力偶矩M使其产生扭转变形,可观察到如下现象:
1、圆周线的形状和大小不变,相邻两圆周线的间距保持不变,仅绕轴线作相对转动。
2、纵向线均倾斜了一角度。
依上述现象,可作出如下假设:
圆轴扭转变形后,横截面仍保持为平面,且其形状大小不变,横截面上的半径仍保持为直线,即横截面刚性地绕轴线作相对转动,这就是平面截面假设。
当然,不同的横截面转动的角度是不同的,所以截面间发生了相对错动,这表明,横截面不存在正应力而仅有垂直于半径方向的切应力。
圆轴表面的纵向直线的倾斜角即为其切应变,为了弄清横截面上各点切应变的分布规律及其与圆轴表面的切应变的关系,从圆轴中取出长为dx的微段来研究:
设截面2-2相对于截面1-1转过了一个角度dψ,微段表面上的纵向线KA由于扭转而倾斜到KA/,表面的切应变为γ。
为了研究距圆心为ρ的里层圆柱面上的切应变γρ,设想将半径为ρ的圆柱体取出,其圆柱面上的纵向线LB由于扭转倾斜到LB/,γρ为其切应变,可得:
由图可知dψ/dx=γ/R,所以在同一横截面上dψ/dx是一个常数,因此各点的切应变γ与该点到圆心的距离ρ成正比。
二、应力应变关系:
切应力与切应变之间存在一定的关系,这是剪切虎克定律:
τ=Gγ
由此可得圆轴扭转时横截面上各点的切应力为:
这是横截面上切应力的变化规律,显然,各点的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比,即轴线处的切应力为零,圆轴外表面切应力最大。
三、静力学关系:
为计算切应力的数值,必须从静力学方面来考虑,建立切应力与扭矩T之间的关系。
设dA为距截面中心ρ处的微面积,则ρτdA为作用在微面积上的力τdA对截面中心之矩,整个横截面上这些力矩的合成结果应等于扭矩T,即:
上式表明了切应力与扭矩的关系。
将
代入上式得:
式中的积分
只与圆轴的横截面尺寸有关,称为横截面的极惯性矩,以IP表示,即IP=
于是上式可写为:
T=GIPdψ/dx或dψ/dx=T/(GIP)
将上式代入
得:
τρ=Tρ/IP。
这就是等直圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式,显然,当ρ=R时,切应力达到最大值:
τmax=TR/IP。
若设WP=IP/R,则τmax=T/WP。
式中WP——抗扭截面系数,单位为m3。
为计算圆轴的极惯性矩,可在横截面上距圆心为ρ处取一宽为dρ的圆环形微面积dA,将dA=2πρdρ代入IP=
得到:
抗扭截面系数WP=IP/R成为:
WP=IP/R=πd3/16
对于内外径比为d/D=α的空心圆截面,其极惯性矩和抗扭截面系数分别为:
§6-4、圆轴扭转时的强度计算
一、强度条件:
圆轴扭转时横截面上的最大切应力发生在距截面中羽最远处,为了保证圆轴扭转时具有足够的强度,必须使轴内横截面上的最大切应力不超过轴的许用切应力,故其强度条件为:
二、举例:
1、机床变速箱第II轴如图所示,轴传递的功率为P=5.5KW,转速n=200r/min,材料为45号钢,[τ]=40Mpa,试按强度条件初步设计直径d。
解:
计算外力偶矩:
M=9550P/n=9550X5.5/200=262.5Nm。
设计轴径:
,
取d=34mm。
2、某矿山机械的减速器中一实心轴,直径d=60mm,材料的许用扭应力[τ]=40Mpa,转速n=1200r/min,试求轴所传递的功率。
解:
轴所承受的外力偶矩M=T。
T≤[τ]W。
∴T≤
。
轴所传递的功率为:
。
§6-5、圆轴扭转时的变形和刚度计算
一、圆轴扭转时的变形和刚度计算:
圆轴扭转时,两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角,简称扭转角。
由公式可得相距dx的两横截面间的相对扭转角为:
对长为l的一段轴,则其两端横截面间相对扭转角为:
若在圆轴的l长度内,T、G、IP均为常数,则圆轴两端截面的相对扭转角为
ψ=Tl/GIP
式中的GIP称为圆轴的抗扭刚度,它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。
抗扭刚度GIP愈大,相对扭转角愈小。
材料的力学性能和横截面的尺寸决定抗扭刚度的大小。
工程上多数传动轴,有时即便满足了强度条件,也不一定确保正常工作。
当轴受扭转时若产生过大的变形,会影响机器的精度,或者在运转过程中因为变形过大而发生剧烈的扭转振动,这要求转轴除了具有足够的强度外,还应有足够的刚度。
机械中通常限制轴的单位长度扭转角θ,使之不超过规定的允许值[θ]。
由公式可得单位长度扭转角θ为:
θ=ψ/l=T/GIP。
于是圆轴扭转时的刚度条件为:
θ=T/GIP≤[θ]
工程中,[θ]的单位通常采用度/米,由于1rad=1800/π,故上式刚度条件可写成:
θ=(T/GIP)x(180/π)≤[θ]。
二、举例:
1、有一外径D=100mm,内径d=80mm的空心轴与直径为80mm的实心轴用键联接,已知m1=5KNm,m2=2KNm,m3=3KNm,G=80Gpa,求:
(1)、AC及AB两截面的相对扭转角ψAC,ψAB;
(2)、求θmax(不考虑键槽的影响)。
解:
(1)、画扭矩图。
(2)、计算轴上各截面的极惯性矩:
mm4。
。
(3)、计算ψAC,ψAB:
因A、C两截面间T、IP均不是常量,故须分段计算。
分段时应使轴段内T、G、IP均为常量,故求ψAC时应分AD、DB、BC三段计算。
而求ψAB则分AD、DB两段计算。
。
。
。
∴ψAC=ψAD+ψDB+ψBC=-3.23X10-3+1.08X10-3+3.11X10-3=0.96X10-3rad。
ψAB=ψAD+ψDB=-3.23X10-3+1.08X10-3=-2.15X10-3rad。
(4)、计算θmax:
因为轴内T、IP不为常量,应分段分析,然后求θmax。
分段方法同上,分为AD、DB、BC三段,哪段的比值T/IP最大,θmax就在哪段上。
虽然AD和DB段IP相同,但TAD>TDB,所以θAD>θDB,θmax不可能在DB段上,而AD与BC段比,虽然TAD>TBC,但IPAD>IPBC,故比值TAD/IPAD,TBC/IPBC究竟谁大,须计算:
0/m。
0/m。
∴θmax=θAD=0.370/m。
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