高中数学函数单调性的应用课件ppt.ppt

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高中数学高中数学函数单调性的应用函数单调性的应用一判断或证明函数的单调性一判断或证明函数的单调性拓展:

判断函数的单调性

（1）函数对任意函数对任意都有都有，并且当并且当时，时，求证求证在在上是增函数上是增函数.

（2）已知已知在在上是增函数，且上是增函数，且，判断判断在在上是增函数还是减函数，上是增函数还是减函数，并加以证明并加以证明.拓展.判断函数的单调性（3）设函数）设函数是实数是实数上的增函数，令上的增函数，令求证：

求证：

在在上是增函数；上是增函数；二求函数的单调区间二求函数的单调区间三.利用函数单调性比较大小

（1）如果）如果，对称轴为，对称轴为，试比较，试比较de的大小的大小.

（2）已知）已知是是上的增函数，比较上的增函数，比较与与de的大小的大小.（3）已知函数已知函数在区间在区间上具有单调上具有单调性，性，且且，则方程，则方程在区间在区间上（上（）A、至少有一个实根、至少有一个实根B、至多有一个实根、至多有一个实根C、没有实根、没有实根D、有唯一实根、有唯一实根四.利用函数单调性确定函数的值域或最值.

（1）求二次函数上的最值.

（2）.函数在区间2，4上的最大值为最小值为（3）已知函数，若有最小值-2，则的最大值为（4）若函数在上为增函数，则实数的范围是.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在即存在，使得使得；2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的对于任意的xI，都有，都有f（x）M（f（x）M）3.如果函数如果函数y=f（x）在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f（x）在在x=a处有处有最小值最小值f（a）,在在x=b处有处有最大值最大值f（b）；4.如果函数如果函数y=f（x）在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f（x）在在x=b处有处有最小值最小值f（b）；温馨提示温馨提示五五.求参数的范围求参数的范围.

（1）已知函数已知函数在区间在区间上上是减函数，则实数是减函数，则实数的取值范围是（的取值范围是（）A、B、C、D、

（2）已知）已知在在上是增函数，求实上是增函数，求实数数a的取值范围的取值范围.（3）已知函数）已知函数在在上是增函上是增函数，求实数数，求实数的取值范围。

的取值范围。

六六.利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式

（1）已知函数已知函数是定义在是定义在上的增函数且上的增函数且,解不等式解不等式

（2）已知已知为为上的减函数，则满足上的减函数，则满足的实数的实数的取值范围是的取值范围是（）A、B、C、D、（3）已知函数）已知函数，若，若则实数则实数的取值范围是（的取值范围是（）A、B、C、D、（4）设函数）设函数，则不等式，则不等式的解集是的解集是1满足解析式f（x1x2）f（x1）f（x2）的是正比例函数型抽象函数2满足解析式f（x1x2）f（x1）f（x2）的是对数函数型抽象函数3满足解析式f（x1x2）f（x1）f（x2）的指数函数型抽象函数七七.抽象函数的单调性抽象函数的单调性考点1正比例函数型抽象函数例1：

设函数f（x）对任意x，yR，都有f（xy）f（x）f（y），且x0时，f（x）0，f

（1）2.

（1）求证：

f（x）是奇函数；

（2）试问在3x3时，f（x）是否有最值？

如果有求出最值；如果没有，说出理由

（1）证明：

证明：

令令xy0，则有则有f（0）2f（0）f（0）0.令令yx，则有，则有f（0）f（x）f（x）即即f（x）f（x）f（x）是奇函数是奇函数

（2）解：

解：

任取任取x10f（x2x1）0.f（x1）f（x2）yf（x）在在R上为减函数上为减函数因此因此f（3）为函数的最小值，为函数的最小值，f（3）为函数的最大值为函数的最大值f（3）f

（1）f

（2）3f

（1）6，f（3）f（3）6.函数最大值为函数最大值为6，最小值为，最小值为6.

（1）正比例函数型抽象函数的一般步骤为：

f（0）0f（x）是奇函数f（xy）f（x）f（y）单调性

（2）小技巧判断单调性：

设x10f（x2x1）0f（x2）f（x2x1x1）f（x2x1）f（x1）f（x1），得到函数单调递减【互动探究】1已知定义在R上的函数f（x）满足f（xy）f（x）f（y），则下列错误的是（）D考点2对数函数型抽象函数

（1）求证：

f（x）是偶函数；

（2）求证：

f（x）在（0，）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）1时f（x）0，f

（2）1.

（1）证明：

对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）f（x1）f（x2），令x1x，x21，则有f（x）f（x）f

（1）证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法（作差法、作商法），函数的单调性是比较大小的常用方法运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点【互动探究】当f（x）lgx时，上述结论中正确结论的序号是_.考点3指数函数型抽象函数例3：

定义在R上的函数yf（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a，bR，有f（ab）f（a）f（b）

（1）求证：

f（0）1；

（2）求证：

对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：

f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围

（1）指数函数型抽象函数的一般步骤为f（0）1（4）由f（x）f（2xx2）1，f（0）1得f（3xx2）f（0）又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.

（2）小技巧判断单调性：

设x1x2，x1x20，则f（x1x2）1.f（x1）f（x2x1x2）f（x2）f（x1x2）f（x2），得到函数是增函数八、函数的奇偶性与单调性的综合八、函数的奇偶性与单调性的综合例1:

函数f（x）对任意的a、bR，都有f（ab）f（a）f（b）1，并且当x0时，f（x）1.

（1）求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）5，解不等式f（3m2m2）3.【解析解析】

（1）设x1，x2R，且x1x2，则x2x10，f（x2x1）1.f（x2）f（x1）f（x2x1）x1）f（x1）f（x2x1）f（x1）1f（x1）f（x2x1）10.f（x2）f（x1），即f（x）是R上的增函数

（2）f（4）f（22）f

（2）f

（2）15，f

（2）3.原不等式可化为f（3m2m2）f

（2）f（x）是R上的增函数，3m2m22.注:

f（x）在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）0，若函数是增函数，则f（x1）f（x2）x1x2，函数不等式（或函数方程）的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行2设定义在2,2上的偶函数f（x）在区间0,2上单调递减，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围【解析解析】f（x）是偶函数f（x）f（x）f（|x|）不等式f（1m）f（m）f（|1m|）f（|m|）又当x0,2时，f（x）是减函数，活学巧用例例2：

设：

设f（x）是定义在实数集是定义在实数集R上的上的偶偶函数，函数，且在区间（且在区间（-，0上是增函数，又上是增函数，又f（2a2+a+1）f（3a2-2a+1）,试求试求a的取值范围。

的取值范围。

问：

设问：

设f（x）是定义在实数集是定义在实数集R上的奇函上的奇函数，且在区间（数，且在区间（-，0）上是增函数，上是增函数，问在问在区间区间（0，+）上）上f（x）是是增函数还增函数还是减函数？

是减函数？

（0a3）例例1：

设：

设f（x）是定义在实数集是定义在实数集R上的上的奇奇函数，函数，且在区间（且在区间（-，0）上是增函数，又）上是增函数，又f（2a2+a+1）f（3a2-2a+1）,试求试求a的取值范围。

的取值范围。

九、抽象函数的单调性及奇偶性习题九、抽象函数的单调性及奇偶性习题例例4:

例例6:

已知已知是定义在是定义在-1,1上的奇函数，上的奇函数，则有则有

（1）判断判断

（2）解不等式）解不等式在在-1,1上的增减性，并证明你的结论；上的增减性，并证明你的结论；解：

（解：

（1）在在-1,1上增。

上增。

证明：

任取证明：

任取则则故在在-1,1上增。

上增。

若若

（2）在在-1,1上增，上增，不等式的解集为作业：

1.求函数求函数的单调区间的单调区间.2.求二次函数求二次函数，上的最值上的最值.3.已知已知是定义在是定义在上的增函数，且上的增函数，且的的求求x的取值范围。

的取值范围。

4.已知函数已知函数

（1）当）当时，求函数时，求函数的最小值；的最小值；

（2）若对任意）若对任意恒成立，试求实数恒成立，试求实数的取值范围。

的取值范围。

作业：

5.设设为方程为方程的两个实根，当的两个实根，当为为何数值时，何数值时，有最小值，并求这个最小值有最小值，并求这个最小值.6.已知定义在区间已知定义在区间上的函数上的函数满足满足de，且当，且当时，时，.

（1）求求的值的值.

（2）判断判断的单调性的单调性.（3）若若，解不等式，解不等式。