最新高一数学必修1知识点总结全优秀名师资料.docx
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高一数学必修1知识点总结全
高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:
{„}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:
{a,b,c„„}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合
的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合2(3)空集不含任何元素的集合例:
{x|x=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A,B注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
,,,反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2(“相等”关系:
A=B(5?
5,且5?
5,则5=5)2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
AA
?
真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
?
如果AB,BC,那么AC
?
如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
nn-1,有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
-1-
三、集合的运算
运算交集并集补集
类型
定设S是一个集合,A是由所有属于A且属由所有属于集合A或
义S的一个子集,由S中于B的元素所组成属于集合B的元素所
所有不属于A的元素组的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做A,B成的集合,叫做S中子
:
:
交集(记作A(读BB的并集(记作:
A集A的补集(或余集)
作‘A交B’),即(读作‘A并B’),,即记作CAS
:
:
AB=,x|xA,且即AB={x|xA,,,
SCA={x|x,S,且x,A}SxB,(或xB})(,,A
韦
SAABB恩A
图
图2图1示
:
:
AA=AAA=A性:
(CA)(CB)uu
:
:
AΦ=ΦAΦ=A:
=C(AB)u:
:
:
:
AB=BAAB=BA:
(CA)(CB)uu:
:
ABAAB,,,
:
=C(AB)u:
:
ABBABB,,质
:
A(CA)=Uu
:
A(CA)=Φ(u
1.下列四组对象,能构成集合的是()A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a,b,c}的真子集共有个
23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0},则M与N的关系是.,
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.22227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B?
C?
Φ,A?
C=Φ,
求m的值
二、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数(记作:
y=f(x),x?
A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?
A}叫做函数的值域(
注意:
1(定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
-2-
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
?
表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);?
定义域一致(两点
必须同时具备)(见课本21页相关例2)
2(值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x?
A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,
y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x?
A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反
过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
描点法:
图象变换法;
常用变换方法有三种
1平移变换2伸缩变换3对称变换
4(区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
)区间的数轴表示((3
5(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”,
对于映射f:
A?
B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u?
M),u=g(x)(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?
A)称为f、g
的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x,x,当x D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,当x f(x),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调2 减区间. -3- 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: 1任取x,x? D,且x 2作差f(x),f(x);12? 3变形(通常是因式分解和配方);? 4定号(即判断差f(x),f(x)的正负);12? 5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(? (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数( 2)(奇函数( 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;? 2确定f(,x)与f(x)的关系;? 3作出相应结论: 若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是? 偶函数;若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数( 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由f(-x)? f(x)=0或f(x),f(-x)=? 1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10(函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值? 2利用图象求函数的最大(小)值? 3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ? 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函 -4- 数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函 数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: 2x,1xx,,2152? ? y,,1()y,x,1x,,33 22.设函数的定义域为,则函数的定义域为__fx()[]01,fx()3.若函数的定义域为,则函数的定义域是fx (1),fx(21),[],23, xx,,,2 (1),,4.函数,若,则=x2fx()3,fxxx()(12),,,,,,2 (2)xx,, 5.求下列函数的值域: 22? ? x,[1,2]yxx,,,23yxx,,,23()xR, 2(3)(4)yxx,,,12yxx,,,,45 26.已知函数,求函数,的解析式fx()fx(21),fxxx (1)4,,, 7.已知函数满足,则=。 fx()fx()2()()34fxfxx,,,, 38.设是R上的奇函数,且当时,,则当时fx()=fx()x,,,(,0)x,,,[0,)fxxx() (1),, 在R上的解析式为fx() 9.求下列函数的单调区间: 222? ? ? yxx,,,61yxx,,,23yxx,,,,23 310.判断函数的单调性并证明你的结论(y,,x,1 21,x111.设函数判断它的奇偶性并且求证: (f(x),f(),,f(x)21,xx 第二章基本初等函数一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 nx,a1(根式的概念: 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,xann*N且n? ( n0,0,负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。 a(a,0),nnnna,|a|,a,a当n是奇数时,,当n是偶数时,,,a(a,0),2(分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: m*nmn,a,a(a,0,m,n,N,n,1) m,11*na,,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana -5- 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3(实数指数幂的运算性质 rrr,sa,aa (1)? ;(a,0,r,s,R) rsrs(a),a (2);(a,0,r,s,R) rrs(ab),aa(3) ((a,0,r,s,R) (二)指数函数及其性质 x1、指数函数的概念: 一般地,函数叫做指数函数,y,a(a,0,且a,1)其中x是自变量,函数的定义域为R( 注意: 指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1(2、指数函数的图象和性质
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