数论之同余问题.docx
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数论之同余问题
数论之同余问题
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),知识点拨:
三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以
23+16=39除以5的余数等
于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,故
23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于3X仁3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以
23X19除以5的余数等于3X4除以5的余数,即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a耳)(modm),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:
a同余于b,模m。
由同余的性质,
我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,
则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:
如果有a斗)(modm),那么一定
有a—b=mk,k是整数,即m|(a—b)
例如:
20和8被自然数3除有相同的余数2。
则
20-8一定能被2整除
【模块:
三大余数定理的应用】
【例1】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,
求这个数•
【解析】这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数
分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余
定理,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数
中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公
约数.1014556,594514,(56,14)14,14的约数有1,2,7,14,
所以这个数可能为2,7,14。
这个数.
因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12;
(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整
除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意
这个数是4,6,12.
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3,…,17,198(余0)
这18个数除以18及33所得的余数相同,
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和n,则s17am19bn.
根据题意可知ambn,所以samsbn,即16a18b,得8a9..所以a是9的倍数,b是8的倍数.此时,
由于s为三位数,最小为100,最大为999,所以
10017am999,而1m16,
175412930;
所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.
【例2】
两位自然数ab与ba除以7都余1,并且ab,求abba.
【解析】
abba能被7整除,即(10ab)(10ba)9(ab)能被7整除.所
以只能有ab7,那么ab可能为92和81,验算可得
当ab92时,ba29满足题目要求,abba92292668
【巩固】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那
么这三种物品剩下的数量相同•请问学校共有多少
个班?
【解析】
【巩固】
【解析】
【例3】
所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为1186751和673334
的公约数,所求答案为17.
(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,
13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
因为1390313511392,1458913903686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除.(392,686)98,所以所求的最大整数是98.
(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)22003与
20032的和除以7的余数是
别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;2的个数是3
所以22003除以7余4•又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同•而2003除以7余1,所以20032除以7余1•故22003与20032的和
除以7的余数是415•
【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,
1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被
9除余7,则将这几个数归为一组•这样的数组共
有组.
【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余
数依次是6,0,2,3,5.
所以这样的数组共有下面4个:
2000,2003
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
[例4】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整
数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】(70110160)50290,50316……2,除数应当是290的大于
仃小于70的约数,只可能是29和58,10581…52,
5250,所以除数不是58.
70292……12,110293……23,160295……15,12231550,所以
除数是29
【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为
25,那么n=
258大于8的约数•显然,n不
能大于63•符合条件的只有43.
【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒
乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打
了多少盘?
126,173,193除以3的余数分别为2,1o那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,1两两相加除以3即可。
显然126运动员打5
盘是最多的。
小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是
其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》的定价是•
【解析】
六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1.易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332(兀).
【巩固】
【解析】
【例6】
两个顾客买的货物重量是3的倍数.
(151618192031)(12)119339...2,剩下的一箱货物重量除
3应当余2,只能是20千克.
求2461135604711的余数.
理(三),
2461135604711的余数等于83811的余数,而838192,
1921117...5,所以2461135604711的余数为5.
【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351除以17的余
数.
【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大•可先分别计
算出各因数除以17的余数,再求余数之积除
以仃的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7
和11,(2711)179……1.
【巩固】求31997的最后两位数.
【解析】即考虑31997除以100的余数.由于100425,由于3327除
以25余2,所以39除以25余8,
310除以25余24,那么320除以25余1;又因为32除以4余1,则320除以4余1;即3201能被4和25整
【巩固】
【解析】
【巩固】
【解析】
除,而4与25互质,所以320i能被100整除,即320除以100余1,由于
19972099仃,所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数,而3729除以100余29,35243除以100余43,317(36)235,所以317除以100的余数等于292943除以100的余数,而29294336163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63.
2222除以13所得余数是.
2000个"2"
我们发现222222整除13,2000-6余2,所以
答案为22-13余9。
求14389除以7的余数.
法一:
由于1433mod7(143被7除余3),
所以14389389mod7(14389被7除所得余数与389被7除所得
余数相等)
而36729,7291mod7(729除以7的余数为1),
66655
1432443^335mod7.
14个
故14389除以7的余数为5.
法二:
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方
法,规律如下表:
31
32
33
34
35
36
37
L
mod7
3
2
6
4
5
1
3
L
于是余数以6为周期变化.所以389355mod7.
【巩固】(2007年实验中学考题)122232L200122002除以7的
余数是多少?
【解析】由于122232L2001220022200220034005100120031335
6
1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,
【巩固】31303031被13除所得的余数是多少?
【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,l
时5n被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,
8,1L以4为周期循环出现,所以530被13除的余数与52被13除的余数相同,余12,则3130除以13
的余数为12;
30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,
4n被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,ll以6为周期循环出现,
所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数,即4,故3031除以13的余数为4;
所以31303031被13除所得的余数是124133.
【巩固】(2008年奥数网杯)已知a1048徳8&203»8,问:
a除以13
2008个2008
所得的余数是多少?
【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意至U
200820082008100002008;
20082008200820082008100002008;2008200820082008200820082008100002008;
根据这样的递推规律求出余数的变化规律:
20082008除以13余6361311,20082008200
除以13余1136390,即200820082008是13的
倍数.
除以13的余数
而2008除以3余1,所以a2048卸职泌8
2008个2008
与2008除以13的余数相同,为6.
【巩固】7花477除以41的余数是多少?
1996个7
段77777和1
19965399L1,所以彳772437可以分成399
1996个7
个7组成,那么它除以41的余数为7.
【巩固】11223344LL20052005除以10所得的余数为多少?
【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的.
首先计算11223344LL2020的个位数字,
为1476563690163656749094的个位数
字,为4,
由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是4100400的个位数即0,另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005,它们和的个位
数字是1476523的个位数3,所以原式的个位数
字是3,即除以10的余数是3.
【例7】求所有的质数P,使得4p21与6p21也是质数.
【解析】如果p5,则4P21101,6P21151都是质数,所以5符合
题意.如果P不等于5,那么P除以5的余数为1、2、3或者4,p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况•如果p2除以5的余数为1,那么4『1除以5的余数等于4115除以5的余数,为
0,即此时4p21被5整除,而4p21大于5,所以此时
4p21不是质数;如果p2除以5的余数为4,同理可知
6P21不是质数,所以P不等于5,4P21与6P21至少有一个不是质数,所以只有P5满足条件.
因
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
数
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
因数
【巩固】在图表的第二行中,
恰好填上89〜98这十个
数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3.
别除以11的余数之积•因此原题中的89〜98可以改换为1〜1。
,这样上下两数的乘积除以11余3
就容易计算了•我们得到下面的结果:
【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式
abcbcacab234235286(其中abc),在校对时,发现右边
的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位
正确的,问原式中的abc是多少?
【解析】
2342352862342352868(mod9)
于是(abc)3
8(mod9),从而(用abc0,1,2,...,8(mod9)代入上式检
验)
abc2,5,8(mod9)•…
(1),对a进行讨论:
如果a9,那么bc2,5,8(mod9)…⑵,又cab的个位数字
是6,所以bc的个位数字为4,bc可能为41、
64,其中只有(b,c)(4,1),(8,3)符合⑵,经检验只有
983839398328245326符合题意.
如果a8,那么bc3,6,0(mod9)…⑶,又bc的个位数字为
2或7,则bc可能为21、43、62、76、71,其中只有(b,c)(2,1)符合⑶,经检验,abC821不合题意.
如果a7,那么bc4,7,1(mod9)…⑷,则bc可能为42、63,
其中没有符合⑷的(b,c)•
女口果a6,那么b5,c4,
abcbcacab700600500210000000222334586,因此这时abc不可能符合题意.综上所述,赢983是本题唯一的解.
【例8】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分
别为a,a2,a5,则这个自然数是多少?
【解析】根据题意可知,这个自然数去除290,233,195
时,得到相同的余数(都为a)•
既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中
任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然
数是29023357的约数,又是23319538的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19.
【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,
则这个自然数是多少?
等于这个自然数去除90164254后所得的余数,所
254和220除以这个自然数后所得的余数相同,此这个自然数是25422034的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34•如果这个数是3
那么它去除90、164、220后所得的余数分别是
那么他去除90、164、220后所得的余数分别是
11、16,符合题目条件,所以这个自然数是1
【例9】甲、乙、丙三数分别为603,939,393•某数a除
甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数
所得余数是A除丙数所得余数的2倍•求A等于多
少?
【解析】根据题意,这三个数除以A都有余数,则可以用带
余除法的形式将它们表示出来:
603AKiLLri939AK2LLb393AK3LL「3
由于n2r2,r2r3,要消去余数“,j,我们只能先把
余数处理成相同的,再两数相减.
这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余
数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4.
于是我们可以得到下面的式子:
603AKiLLri9392A2K2LL2r2
3934A2K3LL4r3这样余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数,意味着能被A整除.
93926031275,3934603969,1275,96951317.
51的约数有1、3、仃、51,其中1、3显然不满足,检验仃和51可知仃满足,所以a等于17.
【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、
2a、a,求这个自然数和a的值.
42952848,791、50021000,这样这些数被这个自然数
除所得的余数都是2a,故同余•
将这三个数相减,得到84879157、1000848152,所求的自然数一定是57和152的公约数,而57,15219,所以这个自然数是19的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是19时,除429、791、500所得的余数分别为11、12、6,a6时成立,所以这个自然数是19,a6.
课后练习:
练习1.(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除,
商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是.
【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍,所以根据和倍
问题可知,除数为(415488)(4179,所以,被除数
为7948324
练习2.(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别
标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2
倍,则丙手中卡片上的数是.
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