例谈平移对称旋转在几何证明中的应用.docx
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例谈平移对称旋转在几何证明中的应用
例谈“平移、对称、旋转”在几何证明中的应用
655505云南省曲靖市富源县大河镇第一中学秦会龙
平移、对称、旋转是初中几何中的三大变换,通过不
同的变换,能把条件相对集中,使图中的各种关系明朗
化,以促进思维方法和解题能力的提高.本文笔者以例
题的形式说明平移、对称、旋转在几何证明中的应用,供
读者参考.
1平移在几何证明中的应用
平移能把分散的线段或角相对集中起来,从而使已
知条件集中在一个基本图形中,或且经过平移产生新的
图形,而使问题得以转化.
例1七条直线两两相交,所得的角至少有一个角
小于26ʎ.试证明.
分析在平面上取一点P,将已知七条直线均平移
过点P,成为交于P点的七条直线,则14个角的和为
360ʎ,不妨设为α
1,α
2
…α
14
它们都和某两条直线交角
的一个相等.因此,只需证明它们中至少有一个小于26ʎ.
因为α
1+α
2
+α
3
+…+α
14
=360ʎ,则必有一个角
α1≤
360ʎ
14
<26ʎ.原命题得证.
例2已知,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC
的中点,求证:
DE∥BC,DE=12
BC.
图1图2
证明将△ADE沿AB方向平移,得到△DBF,连接FC.
ʑ△DBF≌△ADE,
ʑBF=DE,BF∥DE,DF=AE,DF∥AE.
ȵAE=EC,
ʑDF=EC,DF∥EC,
ʑ四边形DFCE是平行四边形,
ʑFC=DE,FC∥DE.
即过F点有BF∥DE,FC∥DE.
ʑBF和FC在同一条直线上,
ʑ点F在边BC上,且BF=FC=DE,BC∥DE.
即DE∥BC,DE=
1
2
BC.
2对称在几何证明中的应用
对称包括轴对称和中心对称,对称变换可以使条件相对集中,也可以构成新的图形.在图形中有角平分线、等腰三角形、正方形、菱形、中点等时就有了对称变换的基础,有时需添加辅助线以创造这个条件
.
图3
例3在△ABC中,点D是边
AB的中点,E和F分别是边AC,
BC上的点,求证:
△DEF的面积不
超过△ADE与△BDF的面积之和.
分析为把△ADE与△BDF
相对集中,利用中点这个条件,采用中心对称的方法把它们相对集中起来,作△ABC关于D为对称中心的对称图形△BAC',延长ED交BC'于M,连接MF,即可达到集中的目的.
证明作△ABC关于D为对称中心的对称图形△BAC',则△ABC≌△BAC',ʑ∠C'BA=∠CAB,延长ED交BC'于M,连接MF,
ȵBD=AD,∠MDB=∠EDA,∠MBD=∠EAD,
ʑ△BMD≌△AED,ʑMD=DE,
ʑS
△MDF
=S
△DFE
ʑS
四边形BFDM
=S
△DBM
+S
△DBF
>S
△MDF
=S
△DFE
.
故△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和.3旋转在几何证明中的应用
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件相对集中诸条件的综合与推演.
13
·解题研究
·
用面积法高效解题225411江苏省泰兴市黄桥初级中学李印
用面积法解题是根据题目给出的条件,利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法.所谓高效解题是“走解题的直线距离”,说白了,就是将转化的环节减少一些,少走弯路.“高效解题”一方面是对“有效解题”“低效解题”、“零效解题”、“负效解题”的减少和摈弃,另一方面更是对高效率解题、高效果解题、高效益解题的理念实践与理想实现.有时我们选用面积法进行问题转化,能恰到好处地达到这一目的.
1利用面积公式与菱形的性质进行转化
例1如图1,把矩形OABC放置在直角坐标系中
图1
OA=6,OC=8,若将矩形
折叠,使点B与O重合,
得到折痕EF,求折痕EF
的长.
分析因为矩形折叠
使点B与点O重合,所以
折痕EF是线段OB的垂
直平分线.如图2,易证
△EBG≌△FOG,得GF=
GE,从而得四边形BFOE是菱形.利用菱形的面积等于1
2
EF·OB,又等于EB·OA,列方程求出折痕EF的长
櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧
.
例4以△ABC三边分别作等边△ABD,△BCF,△ACE,求证:
DF=
AE.
图4
分析本题中由于DF与AE在不同的图形中,因此欲证DF=AE,可考虑两种方法:
(1证DF,AE分别所在的图形具有全等关系;(2通过中间量替换间接证明DF=AE,此题可运用旋转变换使两个图形相互联系,以便尽快的找到全等图形.图中有大量的等边三角形,故60ʎ角的出现就成了特殊标志,因而旋转关系也就建立了.把△ABC绕B点逆时针旋转60ʎ则重叠于△DBF,很明显DF与AC为对应边,可获证.
证明以B点为中心,把△ABC绕B点逆时针旋转60ʎ与△DBF重叠,则
△ABC≌△DBF,
ʑAC=DF.
ȵ△ACE为等边三角形,
ʑAC=AE,
ʑDF=
AE.
图5例5已知,正方形ABCD
中,P为内一点,∠APB=135ʎ,
AP槡
=3,BP=1,求PC的长.
分析由于题中有正方形,
为把条件相对集中,所以将它进行
旋转变换以达到目的,把△ABP绕
B点旋转90ʎ得△BP'C,连接PP',
△PP'C中,使问题得以解决.
解把△ABP绕B点旋转90ʎ到△BP'C的位置.则△BP'C≌△BPA,
ʑBP'=BP=1,P'C=AP槡
=3,
∠BP'C=∠APB=135ʎ,∠PBP'=90ʎ,
ʑPP'=BP2+P'B
槡2槡
=2,∠BP'P=45ʎ,ʑ∠PP'C=135ʎ-45ʎ=90ʎ,
ʑPC=PP'2+OC
槡2槡槡
=2+3=5.
(
收稿日期:
2011010323
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- 平移 对称 旋转 几何 证明 中的 应用