九年级数学 二次函数本章总结提升试题新版浙教版.docx
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九年级数学二次函数本章总结提升试题新版浙教版
教学课件
二次函数
本章总结提升
问题1 抛物线的平移
抛物线y=ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y=a(x-m)2+k?
例1已知某抛物线和坐标轴的交点坐标分别为(3,0),(-1,0)和(0,-3),回答下列问题:
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)请对该抛物线给出一种平移方案,使平移后的抛物线经过原点.
【归纳总结】
问题2 二次函数的图象及性质
结合二次函数的图象回顾二次函数的性质,例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标,说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值.
例2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1-T-1所示,有下列说法:
①2a+b=0;
②当-1≤x≤3时,y<0;
③若点(x1,y1),(x2,y2)在函数图象上,当x1<x2时,y1<y2;
④9a+3b+c=0.
其中正确的是( )
图1-T-1
A.①②④ B.①④
C.①②③D.③④
【归纳总结】
字母 项目
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有两个不同交点
b2-4ac<0
与x轴没有交点
特殊关系
当x=1时,y=a+b+c
当x=-1时,y=a-b+c
若a+b+c>0,即x=1时,y>0
若a-b+c>0,即x=-1时,y>0
问题3 求二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些?
例3已知一条抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.
【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将已知三个点的坐标代入,求出a,b,c的值
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(或最小值),设所求二次函数的表达式为y=a(x-m)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般形式
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点的坐标(m,n)(其中m,n为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般形式
问题4 二次函数与一元二次方程的关系
结合抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系,说明方程ax2+bx+c=0的根的各种情况.
例42016·荆门若二次函数y=x2+mx的图象的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7
C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=7
例5已知抛物线y=x2-2(m-1)x+m2-7与x轴有两个不同的交点.
(1)求m的取值范围;
(2)若抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(3,0),求点B的坐标.
【归纳总结】
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系
判别式的值的情况
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况
抛物线与x轴有两个交点
b2-4ac>0
方程有两个不相等的实数根
抛物线与x轴有一个交点
b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根
抛物线与x轴没有交点
b2-4ac<0
方程没有实数根
问题5 二次函数最值问题的实际应用
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值.请举例说明如何分析、解决这样的问题.
例62017·湖州湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).
(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值.
(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:
m与t的函数关系为m=
y与t的函数关系如图1-T-2所示.
①分别求出当0≤t≤50和50<t≤100时,y与t之间的函数表达式;
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大,并求出最大值.(利润=销售总额-总成本)
图1-T-2
【归纳总结】二次函数的实际应用
常见类型
步骤
抛物线形状类
①建立平面直角坐标系;②利用待定系数法确定抛物线的函数表达式;③利用二次函数的性质解决实际问题
商品销售类
①读懂题意,借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系;②确定函数表达式;③确定二次函数的最值,解决实际问题
几何类
①根据几何知识探究图形的几何(面积、长度等)关系式;②根据几何关系式确定函数表达式;③确定二次函数的最值,解决问题
注意:
(1)当题目中没有给出平面直角坐标系时,选取的平面直角坐标系不同,所得函数表达式也不同.
(2)在求二次函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.
(3)建立函数模型解决实际问题时,题目中没有明确函数类型时,要对求出的函数表达式进行验证,防止出现错解.
问题6 二次函数与几何的综合
几何图形在二次函数的应用中怎样体现?
例72017·镇江如图1-T-3,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(4,t)(t>0).二次函数y=x2+bx(b<0)的图象经过点B,顶点为D.
(1)当t=12时,顶点D到x轴的距离等于________;
(2)E是二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合).求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;
(3)矩形OABC的对角线OB,AC相交于点F,直线l平行于x轴,交二次函数y=x2+bx(b<0)的图象于点M,N,连结DM,DN.当△DMN≌△FOC时,求t的值.
图1-T-3
【归纳总结】二次函数与几何综合
二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合,考查以下几类问题:
(1)线段数量关系、最值问题;
(2)面积数量关系、最值问题;
(3)存在性问题:
包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等.
详解详析
【整合提升】
例1 解:
(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为(3,0),(-1,0),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-3)(x+1)(a≠0).
∵当x=0时,y=-3,
∴-3=(0-3)(0+1)a,
∴a=1,
∴y=(x-3)(x+1),即y=x2-2x-3.
(2)在抛物线上取一点P(1,-4),∵将点P向左平移1个单位,再向上平移4个单位,得点P′(0,0),
∴将抛物线向左平移1个单位,再向上平移4个单位后所得的抛物线经过原点(0,0).
注:
(2)题答案不唯一.
例2 [解析]B ∵函数图象的对称轴为直线x=-
=
=1,
∴b=-2a,
即2a+b=0,故①正确;
∵抛物线开口向上,
∴a>0.
又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),
∴当-1≤x≤3时,y≤0,故②错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,开口向上,
∴若点(x1,y1),(x2,y2)在函数图象上,当1
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(3,0),
∴当x=3时,y=0,即9a+3b+c=0,故④正确.
故选B.
例3 [解析]本题可用待定系数法求抛物线的函数表达式,求该抛物线的顶点坐标可将表达式配方成顶点式.
解:
(1)设这个抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c,由抛物线过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,
得
解得
∴所求抛物线的函数表达式为y=2x2+2x-4.
(2)∵y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+
)2-
,
∴该抛物线的顶点坐标为(-
,-
).
[点评]求抛物线的顶点坐标除了可以将一般式配方成顶点式外,还可以直接运用顶点坐标公式(-
,
)求得.
例4 [答案]D
例5 [解析]
(1)根据b2-4ac>0确定m的取值范围;
(2)可以把x=3,y=0代入表达式,求出m的值,但要注意m的值应符合
(1)中的要求.
解:
(1)∵抛物线y=x2-2(m-1)x+m2-7与x轴有两个不同的交点,
∴方程x2-2(m-1)x+m2-7=0有两个不同的实数根,
∴b2-4ac>0,即4(m-1)2-4(m2-7)>0,
解得m<4.
(2)把x=3,y=0代入表达式,得
9-6(m-1)+m2-7=0,
即m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4.
∵m<4,∴m=2,
∴函数表达式为y=x2-2x-3.
令y=0,则x2-2x-3=0,
解得x1=3,x2=-1,
∴点B的坐标为(-1,0).
例6 解:
(1)由题意得
解得
即a的值为0.04,b的值为30.
(2)①当0≤t≤50时,设y与t之间的函数表达式为y=k1t+n1,
把点(0,15)和(50,25)的坐标分别代入y=k1t+n1,得
解得
∴y与t之间的函数表达式为y=
t+15;
当50<t≤100时,设y与t之间的函数表达式为y=k2t+n2,把点(50,25)和(100,20)的坐标分别代入y=k2t+n2,得
解得
∴y与t之间的函数表达式为y=-
t+30.
②由题意得,
当0≤t≤50时,W=20000
-(400t+300000)=3600t,
∵3600>0,∴当t=50时,W最大值=180000;
当50<t≤100时,W=(100t+15000)·
-(400t+300000)=-10t2+1100t+150000=-10(t-55)2+180250.
∵-10<0,∴当t=55时,W最大值=180250.
∵180000<180250,∴当t=55天时,W最大,最大值为180250.
例7 解:
(1)
(2)∵二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴交于点E,∴E(-b,0),∴OE=-b,EA=4+b.
∴OE·EA=-b(b+4)=-b2-4b=-(b+2)2+4.
∴当b=-2时,OE·EA有最大值,其最大值为4.
此时二次函数的表达式为y=x2-2x.
(3)如图,过点D作DG⊥MN,垂足为G,过点F作FH⊥CO,垂足为H.
∵△DMN≌△FOC,
∴MN=CO=t,DG=FH=2.
∵D
,
∴N
,即N(
,
).
把x=
,y=
代入y=x2+bx,
得
=
+b·
,解得t=±2
.
∵t>0,∴t=2
.
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