勾股定理实际应用题.docx
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勾股定理实际应用题
18.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发
出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?
13m
B-
B
A.
图2
20.(2013?
贵阳模拟)请阅读下列材料:
问题:
如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:
路线1:
高线AB+底面直径BC,如图1所示•路线2:
侧面展开图中的线段AC,如图2所示.(结果保留n)
BC
Q沿AB剪
开平铺一
(填1或2)较短.
(2)小明把条件改成:
圆柱的底面半径为5dm,高AB为1dm"继续按前面的路线进行计算.此时,路线1:
J=
22.(2013?
盐城模拟)如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm,如果用一根细线从点A开始经过4
个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点),那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到
达点B,那么所用细线最短需要多长?
23.
,有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬
如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)
到柜角Ci处.若AB=4,BC=4,CCi=5,
(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)求蚂蚁爬过的最短路径的长.
一•选择题(共5小题)
二.解答题(共22小题)
6.(2013?
徐州模拟)如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速
度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30。
方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求港口A到海岛B的距离;
(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?
7.(2012?
古冶区二模)有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心
的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在
A的南偏东60°在B的南偏东30。
方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小
时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?
(V3^l.7)
AC为2米,斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?
&如图,要在高
BC
9.如图,一块三角形铁皮,其中/
B=30°/C=45°AC=12“^cm.求△ABC的面积.
10.如图,一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙AC的距离为0.7米.
(1)若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至Ai处,求点B向外移动的距离BBi的长;
(2)若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半,试求梯
子沿墙AC下滑的距离是多少米?
11•如图,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,他们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从
D处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米,求树高AB.
1.(2010?
新疆)如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他
家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()
2.(2007?
茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部
的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()
A.12弟<13B.12弟W15C.5毛<12D.5毛<13
3.(2012?
乐山模拟)一船向东航行,上午8时到达B处,看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A处,
上午10时到达C处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为()
A.18海里/小时|B.丨;-海里/小时|C.36海里/小时|D.卜-海里/小时
4.
AB=8m,那么油
(2010?
罗湖区模拟)在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽的最大深度是()
C.3m
D.4m
5•如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为则吸管露在盒外的部分h的取值范围为()
4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,
A.3vhv4
B.3
D.h=4
12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你
帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?
13.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响?
为什么?
(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
40km的速度向北偏东60°的BF方
14.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动,
已知城市A到BC的距离AD=100km.
(1)台风中心经过多长时间从B移动到D点?
(2)已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D的工作人员早上6:
00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?
15.中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时.一辆小汽车”在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A”正前方50米C处,过了6秒后,测得小
汽车”位置B与车速检测仪A”之间的距离为130米,这辆小汽车”超速了吗?
请说明理由.
16.某工厂的大门如图所示,其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形,上方是半径为1米的半圆形.货车司机小
王开着一辆高为3.0米,宽为1.6米的装满货物的卡车,能否进入如图所示的工厂大门?
请说明你的理由.
B
■>
08米
23米
Ar
护
<
2米一
T
17•勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股
图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图1:
△ABC中,/BAC=90°.
请解答:
(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,则它们的面积Si、S2、S3之间的数量关系是
(3)如图4,在梯形ABCD中,AD//BC,ZABC+/BCD=90°BC=2AD,分别以AB、CD、AD为边向梯形外
作正方形,其面积分别为S2、S3,则$2、S3之间的数量关系式为,请说明理由.
24.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
最短距离是多少?
25.如图所示,圆柱形的玻璃容器,高18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相
对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.
26.如图,一正方形的棱长为2,—只蚂蚁在顶点A处,在顶点G处有一米粒.
(1)问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少?
(2)在蚂蚁刚要出发时,突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处,问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?
27•如图所示,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正
在偷吃粮食•此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是多少米?
(结果不取近似值)
2014年3月352449109的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一•选择题(共5小题)
1.
(2010?
新疆)如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他
家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用()
A.3m
考点:
勾股定理的应用•
专题:
应用题;压轴题•
分析:
为了不让羊吃到菜,必须V等于点A到圆的最小距离.要确定最小距离,连接OA交半圆于点E,即AE是最短距离.在直角二角形AOB中,因为OB-6,AB-8,所以根据勾股定理得OA-10.那么AE的长即可解答.
解答:
解:
连接OA,交半圆0于E点,
在Rt△OAB中,OB=6,AB=8,
所以OA=■'一比=10;
又OE=OB=6,
所以AE=OA-OE=4.
因此选用的绳子应该不大于4m,
故选A.
点评:
此题确定点到半圆的最短距离是难点•熟练运用勾股定理.
2.(2007?
茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部
的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()
B.12弟<15
D.5<1<3
考点:
勾股定理的应用.
专题:
压轴题.
分析:
最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.
解答:
解:
a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:
.「一「二=13.
即a的取值范围是12^<13.
故选A.
点评:
主要是运用勾股定理求得a的最大值,此题比较常见,有一定的难度.
3.(2012?
乐山模拟)一船向东航行,上午8时到达B处,看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A处,
上午10时到达C处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为()
A.18海里/小时|B.海里/小时C.36海里/小时|D.上海里/小时
考点:
勾股定理的应用;方向角.
专题:
应用题.
分析:
首先画图,构造直角三角形,
利用勾股定理求出船
8时到10时航行的距离,再求速度即可解答.
解答:
解:
如图在Rt△ABC中,
/ABC=90°-60°=30°
AB=72海里,
BC
故AC=36海里,BC=J肿-肝=36衍海里,
艘船航行的速度为3^3吃=18衍海里/时.
故选B.
点评:
本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
4.
(2010?
罗湖区模拟)在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后,截图如图所示,如果油面宽AB=8m,那么油
的最大深度是()
考点:
勾股定理的应用;垂径定理的应用.
分析:
本题是已知圆的直径,弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离,可以转化为求弦心距的问题,利用垂径定理来解决.
解:
过点O作OM丄AB交AB与M,交弧AB于点E.连接OA.
根据勾股定理可得OM=3m,则油的最大深度ME为5-3=2m.
故选B.
点评:
考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用,圆中的有关半径,弦长,弦心距之间的计算一般是通过垂径定
理转化为解直角三角形的问题.
5.如图,是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,
则吸管露在盒外的部分h的取值范围为()
A.3vhv4B.3
考点:
勾股定理的应用.
分析:
根据题中已知条件,首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为1612=4cm;最短时
与底面对角线和高正好组成直角三角形,用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短.
解答:
解:
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为16-12=4(cm);
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,底面对角线直径为5cm,高为12cm,
由勾股定理可得杯里面管长为y-
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化.
故选B.
点评:
本题考查了矩形中勾股定理的运用,解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置,然后计算求解.
二.解答题(共22小题)
6.(2013?
徐州模拟)如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速
度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30。
方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求港口A到海岛B的距离;
(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?
考点:
勾股定理的应用.
专题:
应用题.
分析:
(1)作BD丄AE于D,构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD,利用DA和DC
之间的关系列出方程求解.
(2)分别求得两船看见灯塔的时间,然后比较即可.
解答:
解:
(1)过点B作BD丄AE于D
在Rt△BCD中,/BCD=60°设CD=x,贝UBD=鹿x,BC=2x
在Rt△ABD中,/BAD=45°
贝UAD=BD=匱,AB=^BD=^h
由AC+CD=AD得20+x=V^x
解得:
x=10丽+10
故AB=30/j+10后
答:
港口A到海岛B的距离为3^^+1旅海里.
所以乙船先看见灯塔.
点评:
此题考查的知识点是勾股定理的应用,解答此类题目的关键是构造出直角三角形,利用解直角三角形的相关知识解答.
7.(2012?
古冶区二模)有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心
的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在
A的南偏东60°在B的南偏东30。
方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小
时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?
(V3^l.7)
考点:
勾股定理的应用.
分析:
作CD丄AB交AB延长线于D,根据勾股定理分别计算出AB和BC的长度,利用速度、时间、路程之间
的关系求出各自的时间比较大小即可.
解答:
解:
作CD丄AB交AB延长线于D,
由已知得:
/EAC=60°/FBC=30°
•••/1=30°/2=90°-60°30°°
•••/1+/3=72,
•••/3=30°
•••/1=/3,
•••AB=BC=100,
在Rt△BDC中,
BD=2bC=50,
2
•DC=JBC2
-Bd2=5W3,
•/AD=AB+BD=150,
•••在Rt△ACD
中,AC=Jad2+C严=100衍,
•t1号=虫=2^40空、
严.25,
t
2号芒=吏,
303
4.25,
3
•搜救中心应派
2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援.
血北
牛北
*
C
点评:
本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系.
&如图,要在高AC为2米,斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?
BC
考点:
勾股定理的应用.
分析:
;
根据题意,知还需要求出BC的长,根据勾股定理即可.
解答:
解:
由勾股定理AB2=BC2+AC2,
得BC=广-—4=2■'',
AC+BC=2+2二(米).
答:
所需地毯的长度为(2+2r)米.
点评:
能够运用数学知识解决生活中的实际问题•熟练运用勾股定理.
9.如图,一块三角形铁皮,其中/B=30°/C=45°AC=12徒cm.求△ABC的面积.
考点:
勾股定理的应用;三角形的面积;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
分析:
首先过A作AD丄CB,根据/C=45°可以求出AD=DC,再利用勾股定理求出AD的长,再根据直角三角
形的性质求出AB的长,利用勾股定理求出BD的长,最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
解答:
解:
过A作AD丄CB,
•••/C=45°
•••/DAC=45°
•••AD=DC,
设AD=DC=x,
则x2+x2=(1^2)2,
解得:
x=12,
•••/B=30°
•AB=2AD=24,
•BD=、二'一:
-工=12':
,
•CB=12+127,
•△ABC的面积=CB?
AD=727+72.
2
AD的长.
以及直角三角形的性质,关键是熟练利用直角三角形的性质求出
BD、
10.如图,一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙AC的距离为0.7米.
(1)若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至Ai处,求点B向外移动的距离BBi的长;
(2)若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半,试求梯
子沿墙AC下滑的距离是多少米?
考点:
勾股定理的应用.
分析:
(1)根据题意可知/C=90°AB=2.5m,BC=0.7m,根据勾股定理可求出AC的长度,根据梯子顶端B沿墙下滑0.9m,可求出A1C的长度,梯子的长度不变,根据勾股定理可求出B1C的长度,进而求出BB1的
长度.
(2)可设点B向外移动的距离的一半为2x,则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x,根据勾股定理建
立方程,解方程即可.
解答:
解:
(1)•.•AB=2.5m,BC=O.7m,
•AC=』£5°-CL严=2・4m
•-A1C=AC-AA1=2.4-0.9=1.5m,
•B〔C=~=2m,
•BB1=B1C-BC=0.5m;
(2)梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x,则点B向外移动的距离的一半为2x,
由勾股定理得:
(2.4-x)2+(0.7+2x)2=2.52,
解得:
x==,
2
答:
梯子沿墙AC下滑的距离是;米.
2
点评:
本题考查勾股定理的应用,在直角三角形里根据勾股定理,知道其中两边就可求出第三边,从而可求解.
11•如图,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,他们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从
D处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C处,已知两只猴子所经路程都为15米,求树高AB.
12•如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你
帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?
则地毯总长为12+5=17(m),
则地毯的总面积为17疋=34(平方米),所以铺完这个楼道至少需要34X18=612元.
点评:
正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.
13.如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响?
为什么?
(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
:
勾股定理的应用.
:
应用题.
(1)点到直线的线段中垂线段最短,故应由A点向BF作垂线,垂足为C,若AC>200则A城不受影响,否则受影响;
(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点,分别设为D、G,则厶ADG是等腰三角形,由于AC丄BF则C是DG的中点,
在Rt△ADC中,解出CD的长,则可求DG长,在DG长的范围内都是受台风影响,再根据速度与距离的关系则可求时间.
解:
(1)由A点向BF作垂线,垂足为C,
AC=160km,
在Rt△ABC中,/ABC=30°,AB=320km,贝U
因为160v200,所以A城要受台风影响;
则还有一点
GM
AG=200千米.
CD=GC,
因为DA=AG,所以△ADG是等腰三角形,因为AC丄BF,所以AC是BF的垂直平分线,
在Rt△ADC中,DA=200千米,AC=160千米,
由勾股定理得,CD=,’:
'=;「-■'|=120千米,
则DG=2DC=240千米,
遭受台风影响的时间是:
t=240-^40=6(小时).
此题主要考查辅助线在题目中的应用,勾股定理,点到直线的距离及速度与时间的关系等,较为复杂.
14.如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动,
已知城市A到BC的距离AD=100km.
(1)台风中心经过多长时间从B移动到D点?
(2)已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D的工作人员早上6:
00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作?
考点:
勾股定理的应用.
分析:
(1)首先根据勾股定理计算BD的长,再根据时间-路程邈度进行计算;
(2)根据在30千米范围内都要受到影响,先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离,再根据时间-路程邈度计算,然后求出时间段即可.
解答:
解:
(1)在Rt△ABD中,根据勾股定理,得BD-Jab^-Ad2=(26/-10护-240如,
所以,台风中心经过240出5-16小时从B移动到D点,答:
台风中心经过16小时时间从B移动到D点;
(2)如图,•••距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响,
•••BE-BD-DE-240-30-210km,BC-BD+CD-240+30-270km,
•••台风速度为15km/h,
•210宁15-14时,270宁15-18,
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