等差数列学案.docx
- 文档编号:27231548
- 上传时间:2023-06-28
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:34.30KB
等差数列学案.docx
《等差数列学案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列学案.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
等差数列学案
等差数列学案
§2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
通过实例,理解等差数列的概念,并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
体会等差数列与一次函数的关系,能用函数的观点解决等差数列问题.
掌握等差中项的定义,并能运用它们解决问题.
能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点:
等差数列的概念.
难点:
等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
等差数列的定义
关于等差数列定义的理解,关键注意以下几个方面:
①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项起或第4项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这些常数不一定相同,当这些常数不同时,此数列不是等差数列.
③求公差时,要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an或者d=an-an-1.
如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:
判断一个数列是等差数列的定义式:
an+1-an=d.若证明一个数列不是等差数列,可举一个特例进行否定,也可以证明an+1-an或an-an-1不是常数,而是一个与n有关的变数即可.
等差数列的通项公式
通项公式的推导常用方法:
方法一:
∵{an}是等差数列,
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得:
an-a1=d,
∴an=a1+d.
方法二:
∵{an}是等差数列,
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+d.
即an=a1+d.
方法三:
∵{an}是等差数列,则有
an=+++…++a1=a1+d.
注意:
等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法,应注意体会并应用.
通项公式的变形公式
在等差数列{an}中,若,n∈N+,则an=a+d.推导如下:
∵对任意的,n∈N+,在等差数列中,有
a=a1+d
①
an=a1+d
②
由②-①得an-a=d,
∴an=a+d.
注意:
将等差数列的通项公式an=a1+d变形整理可得an=dn+a1-d,从函数角度来看,an=dn+是关于n的一次函数或常数函数,其图像是一条射线上一些间距相等的点,其中公差d是该射线所在直线的斜率,从上面的变形公式可以知道,d=.
通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数.
从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f=a1+d=dn+,可知其图像是直线y=dx+上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是些正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.
当d>0时,{an}为递增数列,如图所示.
当d0时,{an}是数列;当d=0时,{an}是数列;当d11,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.
[说明] 关于数列的应用题,首先要建立数列模型将实际问题数列化.
变式应用4 XX年将在伦敦举办奥运会,伦敦将会有很多的体育场,为了实际效果,体育场的看台一般呈“辐射状”.例如,某体育场一角的看台座位是这样排列的:
排有150个座位,从第二排起每一排都比前一排多20个座位,你能用an表示第n排的座位数吗?
第10排可坐多少人?
[分析] 分析题意知,看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.
[解析] 由题意知,每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列,
∴an=a1+d=150+×20=20n+130,
则a10=330,即第10排可坐330人.
名师辨误做答
[例5] 已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2.
判断数列{an}是否为等差数列?
说明理由;
求{an}的通项公式.
[误解] ∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2,
∴{an}是等差数列.
由上述可知,an=1+2=2n-1.
[辨析] 忽视首项与所有项之间的整体关系,而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上,数列{an}从第2项起,以后各项组成等差数列,而{an}不是等差数列,an=f应该表示为“分段函数”型.
[正解] 当n≥3时,an=an-1+2,
即an-an-1=2.
当n=2时,a2-a1=0不满足上式.
∴{an}不是等差数列.
∵a2=1,an=an-1+2,
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
当n≥3时,an-an-1=2.
∴an=a2+d=1+2=2n-3,
又a1=1不满足此式.∴an=.
n-3
课堂巩固训练
一、选择题
在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=
A.12
B.14
c.16
D.18
[答案] D
[解析] 该题考查等差数列的通项公式,由其两项求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为
A.2
B.3
c.-2
D.-3
[答案] c
[解析] ∵an=a1+d=dn+,
∴公差为-2,故选c.
方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为
A.1
B.2
c.3
D.4
[答案] c
[解析] 设方程x2-6x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=6.
∴其等差中项为=3.
二、填空题
在等差数列{an}中,a2=3,a4=a2+8,则a6=.
[答案] 19
[解析] ∵a2=3,a4=a2+8,
a1+d=3a1=-1
∴,解得.
a1+3d=a1+d+8d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
已知a、b、c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图像与x轴的交点有
个.[答案] 1或2
[解析] ∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c,
又Δ=4b2-4ac=2-4ac=2≥0.
三、解答题
在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an.
a1+4d=10a1=-2
[解析] 由题意得,解得.
a1+11d=31d=3
∴an=-2+×3=3n-5.
课后强化作业
一、选择题
等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,它的项数为
A.92
B.47
c.46
D.45
[答案] c
[解析] ∵a1=1,d=-1-1=-2,
∴an=1+•=-2n+3,
由-89=-2n+3,得n=46.
如果数列{an}是等差数列,则
A.a1+a8a4+a5
D.a1a8=a4a5
[答案] B
[解析] 设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
已知数列3,9,15,…,3,…,那么81是它的第
A.12项
B.13项
c.14项
D.15项
[答案] c
[解析] 由3=81,解得n=14.
在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于
A.-9
B.-8
c.-7
D.-4
[答案] B
a1+d=-5
[解析] 由题意,得,
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是
A.49
B.50
c.51
D.52
[答案] D
[解析] 由2an+1=2an+1得an+1-an=,
∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
∴an=2+=,
∴a101==52.
已知a=,b=,则a,b的等差中项为
A.
B.
c.
D.
[答案] A
[解析] ===.
设数列{an}是递增等差数列,前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为
A.1
B.2
c.4
D.3
[答案] B
a1+a2+a3=12a1+a3=8
[解析] 由题设,,∴a2=4,∴
a1a2a3=48a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根,
又a3>a1,∴a1=2.
{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列,如果an=XX,则序号n等于
A.1003
B.1004
c.1005
D.1006
[答案]c
[解析]∵a1=4,d=2,
∴an=a1+d=4+2=2n+2,
∴2n+2=XX,
∴n=1005.
二、填空题
三个数lg,x,lg成等差数列,则x=.
[答案] 0
[解析] 由等差中项的运算式得
x===0.
0.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=,d=.
[答案] -2,3
a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2
[解析] 由题意得,即,∴.
a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=3
1.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.
[答案] 4
[解析] ∵2=x+,∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
在数列{an}中,a1=3,且对于任意大于1的正整数n,点在直线x-y-=0上,则an=.
[答案] 3n2
[解析] 由题意得-=,
∴数列{}是首项为,公差为的等差数列,
∴=n,∴an=3n2.
三、解答题
3.在等差数列{an}中:
已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
a1+d=-1a1=-5
[解析] 由题意知,解得.
a1+d=2d=1
a1+a1+d=12a1=1
由题意知,解得,
a1+d=7,d=2
∴a9=a1+d=1+8×2=17.
已知函数f=,数列{xn}的通项由xn=f确定.
求证:
{}是等差数列;
当x1=时,求x100.
[解析] xn=f=,
所以==+,
-=.
所以{}是等差数列;
由知{}的公差为.
又因为x1=,即=2.
所以=2+×,
=2+×=35.
所以x100=.
已知等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,a5•a6•a7=45,求数列{an}的通项公式.
[分析] 显然a6是a5和a7的等差中项,可利用等差中项的定义求解a5和a7,进而求an.[解析] 设a5=a6-d,a7=a6+d,
则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10a5=1a5=9
由已知可得,解得或
a5•a7=9a7=9a7=1
当a5=1时,d=4,
从而a1=-15,an=-15+×4=4n-19.
当a5=9时,d=-4,从而a1=25.
∴an=25+×=-4n+29.
所以数列{an}的通项公式为an=4n-19或an=-4n+29.
届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.
试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
XX年北京奥运会是第几届?
2050年举行奥运会吗?
[解析] 由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,这个数列的通项公式为
an=1896+4=1892+4n.
假设an=XX,由XX=1892+4n,得n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
所以XX年北京奥运会是第29届,2050年不举行奥运会.
第2课时 等差数列的性质
知能目标解读
掌握等差数列的项与序号的性质.
理解等差数列的项的对称性.
能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
重点难点点拨
重点:
等差数列的性质.
难点:
应用等差数列的性质解决一些实际问题.
学习方法指导
等差数列的公差与斜率的关系
一次函数f=x+b的图像是一条直线,斜率=.
当=0时,对于常数函数f=b,上式仍然成立.
等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率.
特别地,如果已知等差数列{an}的任意两项an,a,由an=a+d,类比直线方程的斜率公式得d=.
等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;
若{n}是等差数列,则{an}也是等差数列.
知能自主梳理
等差数列的项与序号的性质
两项关系
通项公式的推广:
an=a+.
多项关系
项的运算性质:
若+n=p+q,则=ap+aq.
特别地,若+n=2p,则a+an=.
等差数列的项的对称性
有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+=a+=2a.
等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列:
①{c+an}是公差为
的等差数列;
②{c•an}是公差为 的等差数列;
③{an}是公差为 的等差数列.
若{an}、{bn}分别是公差为d1、d2的等差数列,则数列{pan+qbn}是公差为
的等差数列.
[答案] 1.d a+an 2ap
an-1 an-+1
d cd d pd1+qd2
思路方法技巧
命题方向 运用等差数列性质an=a+d解题
[例1] 若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p,则ap+q为
A.p+q B.0c.-D.
[分析] 本题可用通项公式求解.
利用关系式an=a+d求解.
利用一次函数图像求解.
[答案] B
[解析] 解法一:
∵ap=a1+d,
aq=a1+d,
a1+d=q
①
∴
a1+d=p
②
①-②,得d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①,有a1+=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+d=p+q-1+=0.∴应选B.
解法二:
∵ap=aq+d,∴q=p+d,即q-p=d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+[]d=q+q=0.∴应选B.
解法三:
不妨设p0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
解法二:
若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d,
依题意,2a+3d=2,且a=-8,
把a=1-d代入a=-8,
得=-8,即1-d2=-8,
化简得d2=4,∴d=2或-2.
又知四个数成递增等差数列,∴d>0,∴d=2,a=-2.
故所求的四个数为-2,0,2,4.
[说明] 此题设法很重要,一般地有如下规律:
若所给等差数列为2n项,则可设为:
a-d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+d,此数列的公差为2d.若所给等差数列的项数为2n-1项,则这个数列可设为:
a-d,…,a-d,a,a+d,…,a+d,这个数列的公差为d.
变式应用3 已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.
[解析] 设这五个数依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意,得
a=5
+2+a2+2+2=
a=1
解得
d2=
a=1
∴
d=±
故这五个数为-,,1,,或,,1,,-.
名师辨误做答
[例4] 在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=.
[误解] 39
∵a2+a3=13,∴a5=a2+a3=13,
∴a4+a5+a6=3a5=39.
[辨析] 误解过程中,a2+a3=a5是错误的,在运用等数列的性质“若+n=p+q,则a+an=ap+aq”的过程中,一定要明确条件“+n=p+q”的内在含义.
[正解] 42
设公差为d,∵a2+a3=13,
∴2a1+3d=13,又a1=2,∴d=3.
∴a4+a5+a6=3a5=3=42.
课堂巩固训练
一、选择题
已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于
A.4
B.5
c.6
D.7
[答案] c
[解析] ∵{an}为等差数列,∴a2+a8=2a5,
∴2a5=12,∴a5=6.
如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=
A.14
B.21
c.28
D.35
[答案] c
[解析] ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,
∴a4=4.
∴a1+a2+…+a7=+++a4=7a4=28.
等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2=
A.3
B.-3
c.
D.-
[答案] A
[解析] ∵a4+a5=15,
∴a2+a7=a4+a5=15,
又a7=12.∴a2=3.
二、填空题
在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.
[答案] 13
[解析] 设公差为d,∵a5=a2+6,∴a5-a2=3d=6,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
等差数列{an}中,若a2+a4022=4,则aXX=.
[答案] 2
[解析] ∵{an}为等差数列,
∴2aXX=a2+a4022,
∴aXX===2.
课后强化作业
一、选择题
已知等差数列{an}中,a3=5,a5=9,则a7=
A.11
B.12
c.13
D.14
[答案] c
[解析] 设公差为d,∵a5-a3=2d,∴2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.
在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=
A.45
B.75
c.180
D.300
[答案] c
[解析] 由a3+a7=a4+a6=2a5,得
a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.
∴a2+a8=2a5=180.
下列命题中正确的是
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
c.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
[答案] c
[解析] ∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
∴2b+4=a+c+4,
即2=+,
∴a+2,b+2,c+2成等差数列.
已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12等于
A.15
B.30
c.31
D.64
[答案] A
[解析] ∵a7+a9=2a8=16,故a8=8.
在等差数列{an}中,a4,a8,a12成等差数列,
所以a12=2a8-a4=16-1=15.
已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有
A.a1+a101>0B.a2+a1000,∴a3=-6,a7=2.
a1+2d=-6
∴
a1+6d=2
故a1=-10,d=2,∴an=2n-12.
已知数列{an},an=2n-1,bn=a2n-1.
求{bn}的通项公式;
数列{bn}是否为等差数列?
说明理由.
[解析] ∵an=2n-1,bn=a2n-1,
∴b1=a1=1,b2=a3=5,b3=a5=9,
bn=a2n-1=2-1=4n-3.
由bn=4n-3知bn-1=4-3=4n-7.
∵bn-bn-1=-=4,
∴{bn}是首项b1=1,公差为4的等差数列.
有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销;买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机,问去哪家商场买花费较少.
[解析] 设单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}.
an=780+=800-20n,
解不等式an≥440即800-20n≥440,得n≥18.
当购买台数小于18台时,每台售价为800-20n,在台数大于等于18台时,每台售价为440元.
到乙商场购买,每台售价为800×75%=600元.
作差:
n-600n=20n,
当n18时,440n0,
由知a84>0,a85S85>S86>….
所以当n=84时,Sn有最大值,即S84=50×84+×=2108.4.
解法二:
Sn=50n+×=-0.3n2+50.3n=-0.32+.当n取接近于的自然数,即n=84时,Sn达到最大值S84=2108.4.
[说明] 求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法:
方法一:
根据项的正负来定.
若a1>0,d0,则数列的所有负数项之和最小.
方法二:
Sn=na1+d=n2+n
=2-
=[n-]2-2.
由二次函数的最大、最小值知识及n∈N+知,当n取最接近的正整数时,Sn取到最大值,值得注意的是最接近的正整数有时有1个,有时有2个.
变式应用3 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等差数列