北师大版七年级数学上册学习笔记.docx
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北师大版七年级数学上册学习笔记
第一章 丰硕的图形世界
1 生活中的立体图形
Ⅰ 学法导引
学习本节多与现实生活相联系,多观看身旁的物体,从中抽象出相应的立体图形,并能用自己的语言描述几何体的某些特点,从而深刻熟悉各类几何体的特点.
Ⅱ 思维整合
解析重点 熟悉圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球这些几何体,用语言描述它们的特点.
【例1】 指出下列几何体的名称,依照你的观看,简要表述它们的特点,并列举一个形状与之类似的实物.
解析 识别几何体,以直观观看为主.通过观看,全方位发觉每一个几何体的特点,从而慢慢揭露其本质,同时培育学生联系生活的意识.
解
(1)圆柱,特点:
两个底面是圆等.实物如笔筒.
(2)圆锥,特点:
像锥子,底面是圆等.实物如烟囱帽.
(3)正方体(或称立方体),特点:
所有的面都是正方形,方方正正等.实物如魔方.
(4)长方体,特点:
侧面是长方形等.实物如砖.
(5)棱柱,特点:
底面是多边形,侧面为长方形等.实物如螺母.
(6)球,特点:
圆圆的实体,能够转动等.实物如篮球.
剖析难点 对几何体进行简单分类,要紧对分类的标准难以确信,一样能够按柱、锥、球划分,也可按组成的面的曲或平划分,还可按有无极点划分.
【例2】 将下列几何体分类,并说明理由.
解析 本题一要弄清各几何体的特点,二要有大体的分类思想.本题答案不唯一,只要依照某种标准进行合理的分类即可.
解法1 按柱、锥、球划分:
(1)
(2)(3)(5)(7)是一类,即柱体.(4)是锥体,(6)是球体.
解法2 按组成面的曲或平划分:
(2)(4)(6)是一类,组成它们的面中至少有一个是曲面,
(1)(3)(5)(7)是一类,组成它们的各面都是平面.
解法3 按有无极点划分:
(2)、(6)是一类,它们无极点,
(1)(3)(4)(5)(6)是一类,它们都有极点.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 把图形问题中的多边形与探讨规律综合,可提高学生分析问题、解决问题的能力.
【例3】 从一个六边形的一个极点起身,别离连结其余各极点,能够把那个六边形分割成多少个三角形?
若是是十边形呢?
是二十边形呢?
是n边形呢?
解析 先从简单的四边形、五边形入手.四边形从一个极点起身能连结1条对角线(这一极点与它本身和相邻的两个极点都不能连对角线),通过观看,分割成的三角形数比边数少2.
解 六边形可分割成4个三角形.
十边形可分割成8个三角形.
二十边形可分割成18个三角形.
n边形可分割成n-2个三角形.
2 展开与折叠
Ⅰ 学法导引
重视课前的模型预备工作,如把一个长方体药盒展开,就轻松明白如何剪纸才能折成长方体(正方体),碰着问题时,先判定,再通过动手操作,验证判定的结果是不是正确,如平面图形通过折叠可否围成规定的几何体,几何体沿某些棱剪开可否展成规定的平面图形,多与同窗交流.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.棱柱、圆柱、圆锥的展开图.
棱柱的展开图由两个相同的多边形(形状、大小均相同)和一个长方形(由多个长方形)组成,两个多边形边数与组成长方形的小长方形个数相同,且两个多边形在长方形双侧;圆柱展开图由两个圆(大小一样)和一个长方形组成,且两个圆在长方形双侧,不能在同一侧;圆锥展开图由一个扇形和一个圆组成,且圆与扇形的弧相连.
【例1】 哪个几何体的表面能展开成图1-2-1中的图形?
请把名称填在横线上.
解析 第一个展开图中有两个圆和一个长方形,且两个圆在长方形双侧,∴ 它为圆柱;第二个展开图是一个扇形和一个圆,∴ 它为圆锥;第三个展开图大长方形由六个小长方形组成,且大长方形双侧各有一个六边形,∴ 它为六棱柱;第四个展开图中有两个形状相同的三角形,且有三个长方形,∴ 它为三棱柱.
解 圆柱、圆锥、六棱柱、三棱柱
2.经历正方体的展开与折叠活动,画出正方体表面展开后的一个图形.
【例2】 请画出正方体展开后的一个图形.
解
点拨 由一个图中,适当的移动一些正方形即可取得.
剖析难点 能依照展开图判定原几何体、制作立体模型.
【例3】 如图1-2-6,哪些图形通过折叠能够围成一个棱柱?
先想一想,再折一折.
解析 ①底面是四边形,侧面有3个,显然与三棱柱,四棱柱的特点都不符,故①不能围成棱柱.③的两个底面在侧面同侧,折叠面不能围成棱柱.②④动手折叠后能够围成长方体.
解 ②④通过折叠能够围成棱柱.
点击易错点 依照展开图判定立体模型或由立体模型取得展开图是容易错的地址,动手操作一下,就能够够够幸免错误.
【例4】 将图1-2-7中左侧的图形
(1)折叠起来,围成一个正方体,应该取得右图
(2)中的 ( )
错解 C
错解分析 由平面展开图可知,“●”所在的正方形和“○”所在的正方形是相对的两个面,故排除A、B,但由于对正方体和它的展开图面与面的对应关系把握得不够好,故错选为C.
正解 D
[想一想] 如图1-2-8,在正方体两个相距最远的极点处有一只苍蝇B和一只蜘蛛A,蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处?
试说明你的理由.
解析 本题的解答借助了正方体的展开图找到了解决问题的途径.由于作展开图有各类不同的方式,因此从A到B可用6种不同的方式选取最短的路径,但每条路径都通过连结正方体2个极点的棱的中点.
解 因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行,因此只要找出那个正方体的展开图,应用“两点之间,线段最短”的常识就可确信最短路径.如图1-2-9.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 正方体的平面展开图与语文知识中的反义词结合,可提高学生的学习爱好,培育学生的动手能力、空间想像力.
【例5】 如图1-2-10,在正方体的平面展开图中的正方形内填上适当的字,使之与相对的面的字具有相反意义.
解析 依照正方体的平面展开图,想像一下,“上”做前面则“东”做左面,“北”做上面,相对的面随之确信,然后动手操作进行验证.
解 如图1-2-11.
创新能力升级 动手操作,从第一、2次实验中试着找出答案,再多次进行实验验证找到的答案是不是正确,可否成为规律,从中体会制造的欢乐,提高创新能力.
【例6】 要将一正方体模型展成平面图形,需要剪断多少棱?
你的结论能够作为一条规律来用吗?
解析 动手操作一下,不管怎么剪,老是需要7刀才能把正方体展成平面图形,少一刀也不行.也只能剪7刀,多剪一刀就会有一个正方形被剪下.
解 需剪断7条棱.因为正方体有六个面,两个面有1条棱相连,六个面就有5条棱相连,因此剪断7条,规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连;反之有5条棱连接的6个正方形图形,没必要然是正方体的平面展开图.
3 截一个几何体
Ⅰ 学法导引
截面是几何体被平面所截取得的一个平面图形(像球一样的西瓜被刀切,切出的两个圆确实是截面),注意先想一想截面图形形状及图形名称,再动手操作,验证想像的结果是不是正确.
Ⅱ 思维整合
解析重点 经历切截几何体的活动进程,体会几何体在切截进程中的转变.
【例1】 如图1-3-1,观看下列图中各个图形,回答符合下列条件的截面形状.
(1)截面与上、下底面平行;
(2)截面与上、下底面不平行,且只是底面.
解析 必然要亲自动手操作后再下结论
解
(1)①圆,②正方形,③圆,④三角形;
(2)①椭圆,②长方形,③椭圆,④三角形.
剖析难点 在活动进程中,正确判定和切截截面.
【例2】 用平面去截一个几何体,截面是三角形,则原几何体是什么?
错解 原几何体可能是正方体,长方体,三棱锥,三棱柱,圆柱,圆锥.
错解分析 圆柱不能截出三角形,从底面与侧面的交线上一点往下切,所得截面看似一个三角形,其实不是.两边为弧线而不是直线.棱柱中不只是三棱柱能截出三角形,所有的棱柱都能截出三角形.因为棱柱的每一个极点是三个面的交点.棱锥也是如此,所有的棱锥都能截出三角形.
正解 原几何体可能是正方体,长方体,棱锥,棱柱,圆锥.
[想一想] 用平面去截一个几何体,若是截面是正方形,你能想像出原先的几何体可能是什么吗?
若是截面是圆呢?
解析 符合题意的答案有多种可能情形.
解 正方体,长方体等几何体可截出的截面是正方形;圆柱,圆锥等几何体可截出截面为圆.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 截一个几何体与圆的有关计算综合,通过想像用一个平面截圆锥的进程.结合题中问题,找到解决问题的方式,提高学生分析问题的能力.
解析 先通过想像,截面是与底面平行的一个圆.依照面积计算出半径为2cm,底面直径至少为4cm,则高至少为4cm.
∴ 底面直径至少为4cm,高至少为4cm.
应用能力升级 数学来源于生活,又反过来应用于生活.把截面知识运用于最一般的日常活动——做饭上,既学到了知识,又培育了学生爱劳动的适应.
【例4】 到菜市场买一块长方体形状的豆腐,你能只用三刀将其切成八块吗?
碰运气.
解 能.将豆腐块放在菜板上,用刀从上往下交叉切两刀,取得四块豆腐,再从侧面横着从右往左切过去,原先的四块豆腐就变成了八块.
4 从不同方向看
Ⅰ 学法导引
自己动手搭建几何体,观看你所搭建的几何体,体会从不同方向看到不同的结果,从而画出简单组合体的主视图、左视图和俯视图.
Ⅱ 思维整合
解析重点 画出简单组合体(立方体)的三视图.
【例1】 画出如图1-4-1
(1)所示几何体的主视图、左视图和俯视图.
解析
(1)主视图有3列,每列方块的个数是二、一、1;
(2)左视图有2列,每列方块的个数是二、1;
(3)俯视图有3列,每列方块的个数是一、一、2.
解 几何体的主视图、左视图和俯视图如下所示:
剖析难点 依照俯视图中每一个位置的小立方块的个数,画出另外两种视图,并能清楚地向同伴表达自己的思维进程.
【例2】 图1-4-2是由几个小立方体所搭几何体的俯视图,小正方形中间的数字表示在该位置的小立方体的个数,请画出那个几何体的主视图、左视图.
解析 本题可先用小立方体摆一下,再画图.也可依照所示数字确信主视图、左视图有几列,每列有几块来确信.本题主视图有3列,每列方块数为二、一、2;左视图有3列,每列方块数为一、二、1.
解 如图1-4-3,那个几何体的主视图、左视图为:
点拨 这种题型必然要注意每列、每层的最大数字,这是答对题的关键.
点击易错点 三视图均为从某一方向所看到的平面图,当用小立方块搭建成几何体后,由于要把看到的某侧的一个面都画出来,常有遗漏一小块或多出一小块的现象.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 不管是正方体、长方体,仍是其他立方体图形,都能够从不同方向看,取得不同结果,空间想像力、综合判定力是解决这些问题的思维基础.
【例3】 有一个正方体,在它的各个面上别离标上字母A、B、C、D、E、F,甲、乙、丙三位同窗从不同的方向去观看此正方体,观看结果如图1-4-5所示.问那个正方体各个面上的字母对面各是什么字母?
解析 由图
(1)知A的相邻面为D、F,由图
(2)知A的相邻面为B、C.因此A的对面为E;由图
(2)、图(3)知C与A、B、D、E相邻.∴ C的对面为F,D的对面为B.
解 A的对面为E,C的对面为F,D的对面为B.
应用能力升级 数学来源于生活,又反过来服务于生产生活,应用三视图、发挥空间想像力解决实际问题.
【例4】 在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,在搬运这些箱子之前,需要仓库治理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个方法:
将这堆货物的三种视图画了出来,你能依照三视图(如图1-4-6),帮他清点一下箱子的数量吗?
解析 一种方式是先摆一下,数出总数,另一种方式依照左视图和主视图可在俯视图中每一个小正方形处标出货箱个数,如图1-4-7.
解 一共有8个箱子.
5 生活中的平面图形
Ⅰ 学法导引
在具体的情境中熟悉最多见的而有规则的平面图形,如多边形的扇形,并正确区分生活中的平面图形和立体图形,多与生活实际联系,在丰硕的活动中发挥有层次的试探.
Ⅱ 思维整合
解析重点 经历从现实世界中抽象出平面图形的进程,感受图形世界的丰硕多彩.
【例1】 同窗们,你期望成为一名共青团员吗?
让咱们先来熟悉中国共产主义青年团团旗吧!
如图1-5-1是一面团旗,你能找出哪些熟悉的图形.
解 能够找到长方形、圆、三角形、五角星.
剖析难点 在丰硕的活动中,进展有层次的试探.
【例2】
(1)从四边形的一个极点起身,别离与不相邻的极点相连,能够把五边形分割成几个三角形?
(2)若是从五边形的一个极点起身,别离与不相邻的极点相连,能够把五边形分割成几个三角形?
(3)若是是六边形呢?
请你推出是n边形(n≥3),能够把n边形分割成多少个三角形.
解析 本题第一要依照题意作图1—5—2,然后再寻觅规律.
由图可知:
四边形,2个三角形;每一个多边形可分割成比它边数2个的三角形.
由图可知:
四边形,3个三角形;每一个多边形可分割成比它边数2个的三角形.
由图可知:
四边形,4个三角形;每一个多边形可分割成比它边数2个的三角形.
由此可知n边形被分割成了(n-2)个三角形.
解
(1)把四边形分割成了2个三角形;
(2)把五边形分割成了3个三角形;
(3)把六边形分割成了4个三角形;
把n边形分成了(n-2)个三角形.
点击易错点 在归纳、总结规律时,试探缺乏层次性,致使结果错误.
【例3】 在一个圆中任意画四条半径,能够把那个圆分成____个扇形.
错解 4
正解 12
第二章 有理数及其运算
1 数怎么不够用了
Ⅰ 学法导引
学习时第一明白得正数、负数产生的意义,通过实际生活中的问题,准确把握正数与负数的实质是规定其中一个为正,那么另一个具有相反意义的量为负;同时准确明白得有理数的概念及分类标准,分类标准不同,分类结果也不同,注意分类结果应做到不重不漏.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.正数与负数的应用.
正数、负数通常表示具有相反意义的量,如运进3吨,记作+3吨,那么运出5吨记作-5吨,若正数表示具有某种意义的量,则负数就表示其相反意义的量.
【例1】 某人原地不动记作0m,-9m表示某人向北走9m,那么+4m表示什么?
解析 “向北”与“向南”是一对具有相反意义的量,向北记作负,则向南记作正.
解 +4m表示某人向南走4m.
点拨 适应上,人们常常把零上的温度、上升的高度、收入的钱数、向南的行程等定为正的,用正数表示;而把零下的温度、下降的高度、支出的钱数、向北的行程等与前面意义相反的量规定为负的.
2.有理数的分类
解析 第一明确各集合的意义,正数集合包括所有的正整数、正分数;非负整数集合包括所有的正整数和0;整数集合包括所有的正整数、负整数和0;负分数集合包括所有的负分数(包括负小数,因任意有限小数和无穷循环小数都可转化为分数)
点拨
(1)正与整的区别,正数是相对负数而言的,而整数是相关于分数而言的;
(2)任意有限小数和无穷循环小数都可转化为分数,因此-,等都是分数.
剖析难点 对负号的相反意义的明白得:
那个相反是针对原意而言的,而正负表示的意义是人为的规定.
【例3】 若将低于海平面11022米的太平洋最深处记作:
-11022米,则高出海平面8848米的珠穆朗玛峰应记作多少米?
解析 此题中低于海平面与高出海平面两个的意义相反,当低于海平面11022米记为米时,高出海平面8848米就应记作+8848米.
解 记作+8848米.
点击易错点 分不清零是不是正数,是不是整数.
错解分析
(1)把不含“-”号的都当做正数;
(2)把“整”与“正”混淆,正是相对负而言,整数是相对分数而言(小数和分数能够互化).
[想一想]
(1)上述数中,有奇数和偶数吗?
各是哪些数?
(2)上述数中,有既是整数也是负数的数吗?
有既是正数也是偶数的数吗?
(3)按数的正负性质,你能将有理数如何分类?
解
(1)奇数有:
5,-17;偶数有:
-2,0,102;
(2)既是整数也是负数的数即负整数:
-2,-17,即是正数也是偶数的数即正偶数:
102;
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 “大于0”是正数的本质特点,关于用字母表示的数,不能看表面是不是有负号,-a是正数仍是负数,取决于a是什么数.
【例5】 字母a能够表示数,若是数a表示正数,那么-a表示什么数?
若是a表示负数,那么-a表示什么数?
字母a除能够表示正数和负数外,还能够表示哪些有理数?
解析 意义完全相反的量,别离用正数和负数来表示,当数a表示正数时,-a表示负数,a表示负数时,-a表示正数;关于正数和负数的概念不能简单地明白得为:
带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.
解 若是a表示正数,那么-a表示负数;若是a表示负数,那么-a表示正数,字母a除表示正数和负数外,还能够表示0.
应用能力升级 正、负数的表示常应用于实际问题中,如:
竞赛中的得分、失分,足球守门员的折返跑,出租车在一条笔直的公路上来回运营等.
【例6】 七年级举行足球竞赛,规则为:
胜一场得3分,平一场得0分,负一场得-2分,竞赛结果七(3)班2胜1平3负,问七(3)班得多少分?
解 七(3)班胜2场得6分,平一场得0分,负3场得-6分,故七(3)班共得0分.
点拨 要别离算出平1场、胜2场、负3场的得分,求总分.
创新能力升级 关于某个问题,擅长从多角度、多方面试探,寻觅解题的不同方式,培育创新意识.
【例7】 课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米,那么比标准高度低3毫米记作什么?
此刻有5张课桌,量得它们的尺寸比标准尺寸长+1毫米,-1毫米,0毫米,+3毫米,-毫米,若规定课桌的高度比标准高度最高不能超过2毫米,最低不能少于2毫米就算合格.问上述5张课桌中有几张合格?
解析 用正、负数表示两种相反意义的量,把比标准高度高记为正,则比标准高度低应记为负;规定课桌的高度比标准高度最高不能超过2毫米,最低不能少于2毫米,就算合格,也确实是量得尺寸比标准尺寸高、低在+2毫米与-2毫米之间算合格,知+1毫米、-1毫米、0毫米、-毫米的均为合格.也可画图找到答案.
解 -3毫米,4张.
2 数 轴
Ⅰ 学法导引
类比温度计熟悉数轴,数轴上的点能够表示有理数,明白数轴的正方向是规定的不能改变的,而单位长度、原点的选定是依照需要选定的.利用数轴,把数和形结合起来,学习新知识.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.数轴的概念.
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴,规定向右的方向为正,单位长度据实际情形可长可短,但同一数轴的单位长度不变,数轴上的点表示有理数,原点表示0,原点右边的点表示正数,左侧的点表示负数.
【例1】 如图2-2-1中,表示数轴的是 ( )
解析 因为A中的单位长度不统一,应排除;
B中负方向的单位长度的刻度应从原点向左依次排列为-1,-2,-3,…,而不是向右排,因此应排除B;
D中没有确信正方向,因此不是数轴,C是正确数轴.
解 C
解析 相反数的几何意义:
在数轴上原点的两旁,离原点距离相等的两个点所表示的数.相反数的代数意义:
只有符号不同的两个数,其中一个数是另一个数的相反数,专门地,0的相反数是0.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同之外完全相同,不能明白得为只要符号不同的两个数就互为相反数.例如-2和+3符号不同,但它们不互为相反数.
点拨 (4)中的a+2的相反数必需加括号即-(a+2),(5)中的2a是一整体.
剖析难点 比较两个负数的大小,把两个负数在数轴上的对应点找出来,然后依据“数轴上右边的点表示的数比左侧的点表示的数大”判定.
【例3】 比较下列每组数的大小:
(1)-10与-7;
(2)-与-3.
解
(1)如图2-2-2所示,在数轴上-10对应的点在-7对应的点的左侧.
因此,-10<-7;
(2)如图2—2—3所示,数轴上-对应的点在-3对应的点的右边.
因此->-3.
点击易错点 弄不明白相反数的代数意义.
【例4】 填空:
a-b的相反数是________.
错解 -a-b
错解分析 没有弄明白相反数的代数意义,应把a-b看成一个整体.
正解 -(a-b)
[想一想] 化简下列各数的符号,取得一个什么样的数?
(1)-(-5);
(2)+[-(+2)].
解析-(-5)表示-5的相反数即+5,因此-(-5)=+5.
-(+2)表示+2的相反数-2,+[-(+2)]表示-(+2)本身,
即-2本身,因此+[-(+2)]=-2.
解
(1)-(-5)=5;
(2)+[-(+2)]=-2.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 本节学习的有关内容都是数形结合的基础,常见的是数轴、相反数、有理数大小比较的综合运用.
解析
(1)第一画出数轴(按三要素),第二步把这些数轴上对应的点找出来,找时从原点起身,负数在左侧,正数在右边.
(2)把所有的数(包括0,在原点)标出后,依照这些数在数轴上点的位置顺序(在数轴上,右边的数老是大于左侧的数)大小关系一目了然,只需要用“>”连接起来即可.
解
应用能力升级 应用数轴上右边的数总比左侧的数大,解决点的移动问题.
【例6】 在数轴上,点A到原点的距离为2,把点A向右移动3个单位后为点B.则点B表示的数是多少?
解析 在数轴点A到原点的距离为2,如此的点有2个一个在原点左侧,另一个在原点右边,因此A为2或-2,当把A向右移动3个单位后,点B表示的数也有两个,当A为2时B为5;当A为-2时B为1.
解 B为5或1.
点拨 要考虑到数轴上的点表示的数向右移即增大.
创新能力升级 具有实际意义的量也可看做数轴上的点,常见的有小虫沿直线来回爬,消防队员沿云梯上下移动,还有同窗们喜爱的拔河竞赛等都能够看做数轴上的点的移动.
【例7】 工作流水线上按序排列5个工作台A、B、C、D、E,一只工具箱应该放在何处,才能使工作台上操作机械的人取工具所走的路程最短?
若是工作台由5个改成6个,那么工具箱应如何放置能使6个操作机械的人取工具所走的路程之和最短?
解析 把流水线看做数轴,工作台、工具箱看做数轴上的点,如此就找到解决本题的模式——数轴.
解 C台,C、D两台之间.
3 绝对值
Ⅰ 学法导引
利用数轴,并把有理数与数轴结合,明白得绝对值的概念,一个数的绝对值不可能是负数,利用求绝对值的方式比较两个负有理数的大小,方式更简单.在尔后的学习中,有理数的运算,二次根式等内容都是以绝对值的知识为基础,因此,必然要学好本节内容.
Ⅱ 思维整合
解析重点 绝对值的概念.几何意义:
一个数的绝对值确实是数轴上表示数a的点与原点的距离,记作|a|,代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0式子表示为
【例2】
(1)当|x-3|=x-3时,求x的取值范围;
(2)当|x-3|=3-x时,求x的取值范围.
解析 任意有理数的绝对值都是非负数,即不小于0.
解 (
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