离散型随机变量取值的确定.ppt

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（对应学生用书P206）离散型随机变量取值的确定离散型随机变量的分布列及其期望值的计算是历年高考命题的热点，解决此类问题的关键是根据题意准确求出离散型随机变量的所有取值，这样才能明确每个取值所对应事件的性质，然后根据事件发生过程求解其概率常见离散型随机变量主要有以下四类：

独立型、关联型、组合型与推理型一、独立型离散型随机变量的取值多以某类事件发生的次数作为随机变量或事件中某个变量，如一次抽检产品中次品的数量，n次独立重复试验中事件发生的次数等，此类问题中离散型随机变量取值的标准比较明显，可直接根据题意确定例1（2011年江西卷）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望【分析】

（1）由题意X表示此人选对A饮料的杯数，而A饮料一共4杯，所以X只能取0,1,2,3,4，该概型是一个几何概型，所以直接代入几何概型的求解公式即可求得其分布列；

（2）此员工月工资的取值与X的取值密切相关，找出其对应概率然后代入数学期望公式即可对于相互独立的离散型随机变量，其取值一般就是相关事件中的某个变量的取值，所以可以直接确定其取值，该题中只有A、B两种饮料各4杯，且这名员工只能选4次，所以选对A种饮料的杯数只能取0,1,2,3,4，直接代入公式即可求得其概率分布列如果要求这名员工工资的分布列，则需要把A种饮料的杯数与对应工资数关联起来二、关联型在概率分布列的求解问题中，我们经常遇到奖金、积分等问题，此类离散型随机变量的取值是由一系列事件中的变量取值所确定的，在解决此类问题时，首先列出所有的事件，明确每个事件所对应的变量，然后根据规定的法则计算出每个事件中目标离散型随机变量的取值，从而确定其所有取值的可能例2某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元用表示经销一辆汽车的利润.

（1）求上表中的a，b值；

（2）若以频率作为概率，求事件A：

“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；（3）求的分布列及数学期望E.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b【分析】

（1）根据统计数据和频率的计算公式可直接求出a，b的值；

（2）事件A是一个独立重复试验，包含两个互斥事件没有顾客采用3期付款与只有1位采用3期付款，故先根据题意把频率换成概率，然后代入公式求解即可；（3）顾客选择付款的期数只能是1,2,3,4,5，根据题意得到付款期数与利润的关系，然后合并利润相同的事件，确定汽车利润的取值，然后求出其对应的概率值，代入期望公式求解即可（3）由题意，可知只能取1,2,3,4,5.而1时，1；2时，1.5；3时，1.5；4时，2；5时，2.所以的可能取值为：

1,1.5,2，其中P

（1）P

（1）0.4，P（1.5）P

（2）P（3）0.4，P

（2）P（4）P（5）0.10.10.2，所以的分布列如表所示：

故的数学期望E10.41.50.420.21.4（万元）11.52P0.40.40.2该题中顾客购车时其付款的期数是一个变量，但目标随机变量是从经销商的角度来设计的，显然这两者是从两个不同的角度来反映汽车销售方面的问题的，在计算汽车销售利润时，要注意购买者采用不同付款期数，销售商可能获得相同的利润，根据分布列的性质，随机变量取任意两个值时所对应的两个事件都是彼此互斥的，所以要把利润相同的情况各并在一起，而不能根据其期数分开三、组合型当某个事件中涉及多个变量的时候，往往要采用多个变量的组合形式作为离散型随机变量的取值，此时离散型随机变量的每个取值往往对应着几类不同的事件，在求解时应该先确定每个事件所对应的每个变量的取值情况，并求出每个事件中离散型随机变量的取值，然后合并取值相同的事件确定离散型随机变量的取值，并求出其对应的概率值【分析】

（1）先根据甲、乙两人租车时间确定他们付费的情况，从而确定付费相同所对应的情况，将其分解为几个互斥事件的概率求解；

（2）设甲、乙两人付费分别为x，y，先根据题意确定x，y的取值情况，而xy，从而求出的所有取值，并确定每个取值所对应的事件，求出其概率列出分布列，然后代入数学期望公式求值即可xy024002422464468该题第

（2）问中，目标随机变量的取值是两人付费之和，所以在求解过程中要先写出甲、乙两人付费的所有可能，依次确定相应的取值，然后合并取值相同的情况，从而确定目标变量的取值同样，如果求解两人付费之差的绝对值的分布列时，也要一一写出所有的情况，由此确定离散型随机变量的取值，在求解过程中应该注意把取值相同的情况合并在一起，这样在求解时就可以把取该值时的概率转化为几个彼此互斥的事件的概率的和，这也是处理此类取值问题最基本的方法四、推理型对于离散型随机变量的取值不能根据题意直接获得的问题，需要我们根据事件中所涉及的对象以及相关变量的取值情况，经过简单的推理确定其取值的可能性准确把握事件中几类对象之间的密切关系是解决此类问题的关键，常可转化为其对立事件的问题来解决【分析】第

（1）问中该事件的概率可以转化为其对立事件这个技术难题三人都没有攻克来求解；第

（2）问是求在这一技术难题被攻克的前提下离散型随机变量的分布列，设甲得到的奖金为万元，则乙、丙两人得到的奖金之和为Xa万元，进而根据三人攻克难题的情况确定其取值的可能性及对应的事件，利用条件概率求其对应的概率，列出分布列，最后代入数学期望的计算公式求解即可该题如果分别求解乙、丙所获奖金的分布列，或者直接求解乙、丙两人的奖金之和的分布列，问题就很复杂了本题中把握住“技术难题被攻克，则三个人的奖金总和是一个定值a”这个关键，那么乙、丙两人的奖金总和问题就可以用甲的奖金来表示，则该问题就可以转化为甲获得的奖金的一个分布列问题，问题自然就得到解决总之，准确确定离散型随机变量的取值是求解其分布列和数学期望的前提，解决此类问题一定要理清题中涉及的变量种类及其相互之间的关系，主要利用分类讨论和化归与转化的数学思想，先确定各个变量取每个值时所对应的事件，然后根据题意确定目标随机变量的取值，最后合并取值相同的情况，从而确定目标随机变量的可能取值，进而确定其对应的事件以及概率类型，代入公式求出其概率值强化闯关1某商场“十一”期间举行有奖促销活动，顾客只要在商店购物满800元就能得到一次摸奖机会摸奖规则是：

在盒子内预先放有5个相同的球，其中一个球标号是0，两个球标号都是40，还有两个球没有标号，顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止奖金数为摸出球的标号之和（单位：

元），已知某顾客得到一次摸奖机会

（1）求该顾客摸三次球被停止的概率；

（2）设为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求的分布列及数学期望E（）2一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.

（1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；

（2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（3）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列期望与方差的3种求解策略随着现代科技的不断发展，数学在实际生活中的应用领域在不断地扩大，且更加追求实效性和精密性离散型随机变量在生活和工作中的作用尤为突出，它的分布列和数学期望、方差也由此成为高考的热点问题，此类试题具有信息性强、阅读量大、专业性强、计算量大等特点下面让我们共同探讨期望、方差常见题型的3种求解策略策略一定义、公式法例1（2011年北京卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.甲组乙组990X891110【分析】

（1）茎叶图给出的是一组数据，可应用平均数的定义和方差的计算公式直接求解；

（2）依题意可知Y可取值“17,18,19,20,21”，通过茎叶图可知当Y取各值时分别有2,4,4,4,2种情况，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4416种可能的结果，综上可求分布列，而后由公式可求期望【分析】

（1）甲命中2次且两人共射击3次，所以可知第1,2,3次都是甲射击，且前2次击中，第3次没有击中，故其概率可求；

（2）甲没有击中才能够由乙射击，所以乙射击次数可取值0,1,2，当0时，甲前2次击中，而第3次可中可不中当1时，包括两种情况，一是甲没中，乙没中，甲中或没中；二是甲中，甲没中，乙中或没有中，此时也可以应用对立事件求解；当2时，满足甲没中，乙中，乙中或没中综上根据各类情况可求得概率，从而得到分布列，进而可求期望和方差本题是高考中的常规题型，求解离散型随机变量的期望和方差的一般步骤是：

变量取值求对应概率列分布列求期望求方差其中难点和易错点是离散型随机变量的分布列的求解具体问题中要注意逻辑分析能力的应用和相应方法的应用以上这两个例题分别从“数据与变量”、“常规题型的求解步骤”这两个角度来进行分析、讲解平均数、期望（均值）、方差的定义和公式是求解期望、方差问题的基本条件，在具体问题中要保证应用和计算的准确性另外，要注意对他们意义的理解和应用，以至于能够更有实效地解决实际问题策略二变量间相关关系的应用例3袋中有20个大小相同的球，其中标记0号的有10个，标记n号的有n个（n1,2,3,4）现从袋中任取一球、表示所取球的标号

（1）求的分布列，期望和方差；

（2）若ab，E（）1，D（）11，试求a，b的值，【分析】由题意易知0,1,2,3,4，其对应的概率也可求，通过公式可得方差和期望因为ab，则由相应性质易于得到a，b的方程，则问题可解，求解两个具有一定关系的随机变量的分布列时，其实质上是对互斥事件概率加法公式的应用，关于本题的性质只是其中最为简单的一种情况，考生可尝试推导当a2b时，对应的概率关系此策略主要是应用于包含具有代数关系的多个随机变量的问题，如两个随机变量和，若满足ab，则有E（ab）aE（）b，D（ab）a2D（）结论成立，此策略应用的关键是能够准确建立变量间的相关关系，进而能够应用以上结论正确求解即可策略三“特殊“分布结论法例4某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球（重3kg）测试，成绩在6.9米以上的为合格把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分（如图所示），已知成绩在9.9,11.4）的频数是4.

（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；

（2）若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求的分布列、期望与方差【分析】本题属于概率与统计相交汇的问题，对于第

（1）问，解题的关键是看图分析；对于第

（2）问，解题的关键是求出的所有可能的取值，后求出其相应的概率，列出其分布列，再依数学期望的定义求解判断变量服从二项分布有两种方法：

一是根据概率求解的情况，若满足P（k）Cnkpk（1p）nk，则变量服从二项分布，另一方面是从二项分布的定义进行判断计算离散型随机变量问题的过程中，难点在于求解概率的过程，如若能够判断出变量满足的特殊分布，则可直接应用相应的结论来求得期望和方差的值，从而能够达到快速求解的效果常见的结论有：

若B（n，p），则E（）np，D（）np（1p）