浙江中考数学专题复习3含参二次函数.docx
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浙江中考数学专题复习3含参二次函数
含参二次函数
类型一 函数类型确定型
1.已知抛物线y=3ax2+2bx+c.
(1)若a=3k,b=5k,c=k+1,试说明此类函数图象都具有的性质;
(2)若a=,c=2+b,且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3,求b的值;
(3)若a+b+c=1,是否存在实数x,使得相应的y值为1,请说明理由.
解:
(1)∵a=3k,b=5k,c=k+1,
∴抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=9kx2+10kx+k+1=(9x2+10x+1)k+1,
∴令9x2+10x+1=0,
解得x1=-1,x2=-,
∴图象必过点(-1,1),(-,1),
∴对称轴为直线x=-=-;
(2)∵a=,c=2+b,
∴抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=x2+2bx+2+b,
∴对称轴为直线x=-=-b,
当-b>2时,即b<-2,
∴x=2时,y取到最小值为-3.
∴4+4b+2+b=-3,解得b=-(不符合题意,舍去),当-b<-2时即b>2,
∴x=-2时,y取到最小值为-3.
∴4-4b+2+b=-3,解得b=3;
当-2<-b<2时,即-2<b<2,当x=-b时,y取到最小值为-3,∴=-3,
解得b1=(不符合题意,舍去),b2=,
综上所述,b=3或;
(3)存在.理由如下:
∵a+b+c=1,
∴c-1=-a-b,
令y=1,则3ax2+2bx+c=1.
∴Δ=4b2-4(3a)(c-1)=4b2+4(3a)(a+b)=9a2+12ab+4b2+3a2=(3a+2b)2+3a2,
∵a≠0,
∴(3a+2b)2+3a2>0,
∴Δ>0,
∴必存在实数x,使得相应的y值为1.
2.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A(-3,0)、B(0,-3)两点,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若二次函数y=x2+mx+n的图象顶点在直线AB上,求m,n的值;
(3)①设m=-2,当-3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n的最小值;
②若当-3≤x≤0时,二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4,求m,n的值.
解:
(1)将点A(-3,0),B(0,-3)代入y=kx+b得
,解得.
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=-x-3;
(2)二次函数y=x2+mx+n的图象顶点坐标为(-,),
∵顶点在直线AB上,
∴=-3,
又∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(-3,0),
∴9-3m+n=0,
∴组成方程组为,
解得或;
(3)①当m=-2时,由
(2)得9-3m+n=0,
解得n=-15,
∴y=x2-2x-15.
∵二次函数对称轴为直线x=1,在-3≤x≤0右侧,
∴当x=0时,y取得最小值是-15.
②∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A,
∴9-3m+n=0,
二次函数y=x2+mx+n的对称轴为直线x=-,
i)如解图①,
当对称轴-3<-<0时,最小值为=-4,联立,
解得或(由-3<-<0知不符合题意舍去)
∴;
ii)如解图②,当对称轴->0时,∵-3≤x≤0,∴当x=0时,y有最小值为-4,
把(0,-4)代入y=x2+mx+n,得n=-4,
把n=-4代入9-3m+n=0,得m=.
∵->0,
∴m<0,
∴此种情况不成立;
iii)当对称轴-=0时,y=x2+mx+n当x=0时,取得最小值为-4,
把(0,-4)代入y=x2+mx+n得n=-4,
把n=-4代入9-3m+n=0,得m=.
∵-=0,
∴m=0,
∴此种情况不成立;
iiii)当对称轴-≤-3时,∵-3≤x≤0,∴当x=-3时,y取得最小值-4,∵当x=-3时,y=0,不成立.
综上所述,m=2,n=-3.
第2题解图
3.在平面直角坐标系中,二次函数y1=x2+2(k-2)x+k2-4k+5.
(1)求证:
该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点;
(2)若函数y2=kx+3经过y1图象的顶点,求函数y1的表达式;
(3)当1≤x≤3时,二次函数的最小值是2,求k的值.
(1)证明:
∵b2-4ac=4(k-2)2-4(k2-4k+5)=-4<0,∴函数图象与x轴没有交点,
当x=0时,y1=k2-4k+5=(k-2)2+1>0,
∴二次函数与坐标轴仅有一个交点;
(2)解:
∵y1=(x+k-2)2+1,∴函数y1的顶点坐标为(2-k,1),代入函数y2=kx+3得(2-k)k+3=1,
解得k=1+或k=1-,
∴y1=x2+2(-1)x+5-2或y1=x2-2(+1)x+5+2;
(3)解:
①当对称轴x=-=2-k≤1时,k≥1,
当x=1时,y1取得最小值2,
即1+2(k-2)+k2-4k+5=2,解得k=0(舍去)或k=2;
②当对称轴1<2-k<3时,-1 当x=2-k时,最小值恒为1,无解; ③当对称轴x=2-k≥3时,k≤-1, 当x=3时,y1取得最小值2, 即9+6(k-2)+k2-4k+5=2,化简得k2+2k=0,解得k=0(舍去)或k=-2. 综上所述,k的值为2或-2. 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,1)、B(2,4)和C三点. (1)用含a的代数式分别表示b、c; (2)设抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(p,q),用含a的代数式分别表示p、q; (3)当a>0时,求证: p<,q≤1. (1)解: ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,1)、B(2,4)两点, ∴, 化解得3=3a+b, ∴b=3-3a, ∴1=a+3-3a+c, ∴c=2a-2; (2)解: 由 (1)得b=3-3a,c=2a-2, ∴p=-=; ∴q==; (3)证明: ∵a>0, ∴-<0, ∴p==-<; ∵≤0, ∴q=+=+1≤1. 5.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限. (1)用含a、c的代数式表示b; (2)判断点B所在象限,并说明理由; (3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(,b+8),求当x≥1时,y1的取值范围. 解: (1)∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)经过点A(1,0), 把点A(1,0)代入即可得到a+b+c=0,即b=-a-c; (2)点B在第四象限. 理由如下: ∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0), ∴抛物线y1与x轴至少有1个交点,令ax2+bx+c=0, ∴x1·x2=, ∴x1=1,x2=,∵a≠c, ∴抛物线与x轴有两个不同的交点, 又∵抛物线不经过第三象限, ∴a>0,且顶点B在第四象限; (3)∵点C(,b+8)在抛物线上, 令b+8=0,得b=-8, 由 (1)得a+c=-b, ∴a+c=8, 把B(-,)、C(,b+8)两点代入直线解析式得 , 解得或(a≠c,舍去), 如解图所示,C在A的右侧, ∴当x≥1时,y1≥=-2. 第5题解图 6.在平面直角坐标系中,设二次函数y1=ax2+2ax+3(a≠0). (1)若函数y1的图象经过点(-1,4),求函数y1的表达式; (2)若一次函数y2=bx+a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点,探究实数a,b满足的关系式; (3)已知点P(1,m)和Q(x0,n)在函数y1的图象上,若m>n,求x0的取值范围. 解: (1)∵二次函数y1=ax2+2ax+3的图象经过点(-1,4), ∴4=a-2a+3, ∴a=-1, ∴函数y1的表达式为y1=-x2-2x+3; (2)∵y1=ax2+2ax+3=a(x+1)2+3-a, ∴y1图象的顶点坐标为(-1,3-a). ∵一次函数y2=bx+a(b≠0)的图象经过y1图象的顶点, ∴3-a=-b+a, ∴实数a、b满足的关系式为b=2a-3; (3)∵二次函数y1=ax2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-=-1,∴当m=n时,x0=-3. 当a>0时,如解图①所示, 第6题解图 ∵m>n,∴-3<x0<1; 当a<0时,如解图②所示, ∵m>0,∴x0<-3或x0>1. 综上所述: x0的取值范围为. 类型二 函数类型不确定型 1.已知函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数). (1)当m,n取何值时,此函数是我们学过的哪一类函数? 它一定与x轴有交点吗? 请判断并说明理由; (2)若它是一个二次函数,假设n>-1,那么: ①当x<0时,y随x的增大而减小,请判断这个命题的真假并说明理由; ②它一定经过哪个点? 请说明理由. 解: (1)①当m=1,n≠-2时, 函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)是一次函数,它一定与x轴有一个交点, ∵当y=0时,(n+1)xm+mx+1-n=0, ∴x=, ∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点; ②当m=2,n≠-1时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)是二次函数, 当y=0时,(n+1)xm+mx+1-n=0, 即(n+1)x2+2x+1-n=0, ∴Δ=22-4(n+1)(1-n)=4n2≥0, ∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点; ③当n=-1,m≠0时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n是一次函数,当y=0时,x=, ∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点; (2)①假命题,若它是一个二次函数, 则m=2,函数y=(n+1)x2+2x+1-n, ∵n>-1,∴n+1>0, 抛物线开口向上, 对称轴: x=-=-=-<0, ∴对称轴在y轴左侧,当x<0时,y可能随x的增大而增大,也可能随x的增大而减小,故为假命题; ②它一定过点(1,4)和(-1,0),理由如下: 当x=1时,y=n+1+2+1-n=4. 当x=-1时,y=0. ∴它一定经过点(1,4)和(-1,0). 2.设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数). (1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并且在同一坐标系中,用描点法画出它们的图象; (2)根据所画图象,猜想出: 对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明; (3)对于任意负实数k,当x<m时,y随x的增大而增大,试求m的取值范围. 第2题图 解: (1)令k=0,k=1,则这两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1,描点法画函数图象如解图所示; 第2题解图 (2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1), 且与x轴至少有1个交点. 证明: ①∵当x=0时,y=1;当x=-2时,y=-1. ∴函数图象必过(0,1),(-2,-1); ②∵当k=0时,函数为一次函数,∴y=x+1的图象是一条直线,且与x轴有一个交点; ∵当k≠0时,函数为二次函数,y=kx2+(2k+1)x+1的图象是一条抛物线. Δ=(2k+1)2-4×k×1=4k2+4k+1-4k=4k2+1>0, ∴抛物线y=kx2+(2k+1)x+1与x轴有两个交点. 综上所述,函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)与x轴至少有一个交点; (3)∵k<0, ∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=-的左侧时,y随x的增大而增大. 根据题意,得m≤-, 而当k<0时,-=-1->-1, ∴m≤-1. 3.已知函数y=kx2+(-3k)x-4. (1)求证: 无论k为何值,函数图象与x轴总有交点; (2)当k≠0时,A(n-3,n-7)、B(-n+1,n-7)是抛物线上的两个不同点. ①求抛物线的表达式; ②求n的值. (1)证明: 当k=0时,函数为一次函数,即y=x-4,与x轴交于点(3,0); 当k≠0时,函数为二次函数, ∵Δ=(-3k)2-4k×(-4)=(3k+)2≥0, ∴函数与x轴有一个或两个交点; 综上可知,无论k为何值,函数图象与x轴总有交点; (2)解: ①当k≠0时,函数y=kx2+(-3k)x-4为二次函数, ∵A(n-3,n-7)、B(-n+1,n-7)是抛物线上的两个不同点, ∴抛物线的对称轴为直线x==-1, ∴-=-1, 解得k=, ∴抛物线的表达式为y=x2+x-4; ②∵(n-3,n-7)是抛物线y=x2+x-4上的点, ∴n-7=(n-3)2+(n-3)-4, 解得n1=,n2=3. 4.已知y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x+2kx2+k+2=4x1x2. ①求k的值; ②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值. 解: (1)当k=1时,函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点, 令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0. Δ=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1. 综上所述,k的取值范围是k≤2. (2)①∵x1≠x2,由 (1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴有两个交点, ∴由题意得(k-1)x+(k+2)=2kx1①, 将①代入(k-1)x+2kx2+k+2=4x1x2中得: 2k(x1+x2)=4x1x2. 令(k-1)x2-2kx+k+2=0, 则x1+x2=,x1x2=, ∴2k·=4·. 解得k1=-1,k2=2(不合题意,舍去). ∴所求k的值为-1; 第4题解图 ②如解图,∵k=-1,∴y=-2x2+2x+1=-2(x-)2+. 且-1≤x≤1. 由图象知: 当x=-1时,y最小=-3;当x=时,y最大=. ∴y的最大值为,最小值为-3. 5.设函数y1=(x-k)2+k和y2=(x+k)2-k的图象相交于点A,函数y1,y2的图象的顶点分别为B和C. (1)画出当k=0,1时,函数y1,y2在直角坐标系中的图象; (2)观察 (1)中所画函数图象的顶点位置,发现它们均分布在某个函数的图象上,请写出这个函数的解析式,并说明理由; (3)设A(x,y),求证: x是与k无关的常数,并求y的最小值. 第5题图 (1)解: 画出图象如解图所示; 第5题解图 (2)解: ∵当k=0时,函数y1=y2=x2的顶点为(0,0), 当k=1时,函数y1=(x-1)2+1的顶点为(1,1), 函数y2=(x+1)2-1的顶点为(-1,-1), ∴它们的顶点都在直线y=x的图象上,因为它们的坐标均满足解析式y=x; (3)证明: 令(x-k)2+k=(x+k)2-k, 整理得4kx=2k, ∵函数y1=(x-k)2+k和y2=(x+k)2-k的图象相交于点A, ∴k≠0, 解得x=, ∴x是与k无关的常数; 此时y=(+k)2-k=k2+≥,即y的最小值为.
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- 浙江 中考 数学 专题 复习 二次 函数