正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
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第六章三角函数5.6.4正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形6.1.1正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的概念一、正弦函数和余弦函数的概念实数集与角的集合可以建立一一对应的关系,实数集与角的集合可以建立一一对应的关系,每一个确定的角都对应唯一的正弦每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦余弦)值值.因此,任意给定一个实数因此,任意给定一个实数,有唯一确定的值,有唯一确定的值与之对应与之对应.函数函数叫做叫做正弦函数正弦函数函数函数叫做叫做余弦函数余弦函数正弦函数和余弦函数的正弦函数和余弦函数的定义域定义域是是正弦函数和余弦函数的正弦函数和余弦函数的值域值域是是二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像正弦函数正弦函数在区间在区间上的图像上的图像.思考思考如何利用正弦线确定点如何利用正弦线确定点的坐标?
的坐标?
知道作函数知道作函数图像上一个点,图像上一个点,二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像正弦函数正弦函数在区间在区间上的图像上的图像.就可作出一系列的点,例如就可作出一系列的点,例如最后将函数最后将函数在区间在区间上的图像左右上的图像左右二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像正弦函数正弦函数在区间在区间上的图像上的图像.平移平移(每次每次个单位个单位),就可以得到,就可以得到的图像的图像.正弦函数正弦函数的图像叫做的图像叫做正弦曲线正弦曲线例例1.试画出正弦函数在区间试画出正弦函数在区间上的图像上的图像.五个关键点:
五个关键点:
利用五个关键点作简图的方法称为利用五个关键点作简图的方法称为“五点法五点法”三、余弦函数的图像三、余弦函数的图像根据诱导公式根据诱导公式可知余弦函数可知余弦函数的图像可由的图像可由的图像向左平移的图像向左平移个单位得到个单位得到.余弦函数余弦函数的图像叫做的图像叫做余弦曲线余弦曲线例例2.试画出余弦函数在区间试画出余弦函数在区间上的图像上的图像.五个关键点:
五个关键点:
并注意曲线的并注意曲线的“凹凸凹凸”变化变化.课堂练习课堂练习1.作函数作函数与与在在2.指出指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系中各图像与正弦函数图像的位置关系.上的大致图像上的大致图像.3.作函数作函数的大致图像的大致图像.4.利用利用3.解不等式:
解不等式:
课堂练习答案课堂练习答案1.2.课堂练习答案课堂练习答案与与的图像关于的图像关于轴对称;轴对称;的图像为的图像为的图像向上平移的图像向上平移1个单位个单位.3.4.根据上图可知,解集为根据上图可知,解集为第六章三角函数6.1.1正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.2正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数的值域与最值一、正弦函数的值域与最值正弦函数的正弦函数的值域值域是是当且仅当当且仅当时,时,正弦函数取得最大值正弦函数取得最大值1;当且仅当当且仅当时,时,正弦函数取得最小值正弦函数取得最小值-1.二、余弦函数的值域与最值二、余弦函数的值域与最值余弦函数的余弦函数的值域值域是是当且仅当当且仅当时,时,余弦函数取得最大值余弦函数取得最大值1;当且仅当当且仅当时,时,余弦函数取得最小值余弦函数取得最小值-1.例例1.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值求下列函数的最大值与最小值,及取到最值时的自变量时的自变量的值的值.
(1)
(2)解解:
(1)当当时,时,当当时,时,
(2)视为视为当当,即,即时,时,当当,即,即时,时,例例2.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值求下列函数的最大值与最小值,及取到最值时的自变量时的自变量的值的值.
(1)
(2)解解:
(1)视为视为当当,即,即时,时,当当,即,即时,时,例例2.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值求下列函数的最大值与最小值,及取到最值时的自变量时的自变量的值的值.
(1)
(2)解解:
(2)当当,即,即时,时,当当,即,即时,时,视为,视为解毕解毕例例3.动点动点绕原点绕原点作逆时针匀速圆周运动,作逆时针匀速圆周运动,初始位置如图所示,角速度为初始位置如图所示,角速度为.
(1)建立建立与运动时间与运动时间(秒秒)的函数关系式的函数关系式.
(2)求求运动到最高点时的运动到最高点时的的值的值.解解:
(1)
(2),此时此时解得解得解毕解毕课堂练习课堂练习1.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值时求下列函数的最大值与最小值,及取到最值时的自变量的自变量的值的值.
(1)
(2)
(1)
(2)2.要求同第要求同第1题题.3.如图,当如图,当为何值时,为何值时,矩形矩形周长最大?
周长最大?
课堂练习答案课堂练习答案1.
(1)当当时,时,当当时,时,
(2)当当时,时,当当时,时,课堂练习答案课堂练习答案2.
(1)当当时,时,当当时,时,
(2)当当时,时,当当时,时,3.如图,当如图,当为何值时,为何值时,矩形矩形周长最大?
周长最大?
课堂练习答案课堂练习答案解:
设矩形解:
设矩形周长为周长为当当时,时,解毕解毕第六章三角函数6.1.2正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.3正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质匀速圆周运动中匀速圆周运动中用函数变量之间的关系用函数变量之间的关系如何描述?
如何描述?
“周而复始周而复始”的现象的现象一、函数周期性的定义一、函数周期性的定义一般地,对于函数一般地,对于函数,如果存在,如果存在非零常数非零常数使得对于定义域内的使得对于定义域内的每一个每一个自变量自变量值,都有值,都有那么函数那么函数叫做叫做周期函数周期函数,非零常数非零常数叫做叫做这个函数的这个函数的周期周期.思考思考也是周期吗?
也是周期吗?
周期函数有多少个周期?
周期函数有多少个周期?
一、函数周期性的定义一、函数周期性的定义一般地,对于函数一般地,对于函数,如果存在,如果存在非零常数非零常数使得对于定义域内的使得对于定义域内的每一个每一个自变量自变量值,都有值,都有最小正周期最小正周期一个周期函数的全部周期中一个周期函数的全部周期中若存在一个最小正数,那么这个最小的正数若存在一个最小正数,那么这个最小的正数就叫做这个周期函数的最小正周期就叫做这个周期函数的最小正周期.那么函数那么函数叫做叫做周期函数周期函数,非零常数非零常数叫做叫做这个函数的这个函数的周期周期.二、正弦函数与余弦函数的周期二、正弦函数与余弦函数的周期正弦函数是周期函数正弦函数是周期函数,都是它的都是它的周期,周期,最小正周期是最小正周期是余弦函数是周期函数余弦函数是周期函数,都是它的都是它的周期,周期,最小正周期是最小正周期是对于任意对于任意都有都有注:
一般三角函数的周期都是指最小正周期注:
一般三角函数的周期都是指最小正周期例例1.求下列函数的周期:
求下列函数的周期:
(1)
(2)解解:
(1)设设的周期为的周期为即即即即即即对任意对任意都成立:
都成立:
因此因此,从而,从而解毕解毕解解:
(2)因此周期为因此周期为思考思考试说明周期与此类函数的什么相关?
试说明周期与此类函数的什么相关?
具体关系是什么?
具体关系是什么?
例例1.求下列函数的周期:
求下列函数的周期:
(1)
(2)解毕解毕二、正弦函数与余弦函数的周期二、正弦函数与余弦函数的周期正弦函数是周期函数正弦函数是周期函数,都是它的都是它的周期,周期,最小正周期是最小正周期是余弦函数是周期函数余弦函数是周期函数,都是它的都是它的周期,周期,最小正周期是最小正周期是函数函数及函数及函数(其中其中是常数,是常数,)最小正周期是最小正周期是例例2.若钟摆的高度若钟摆的高度与时间与时间之间的函数之间的函数关系如图所示关系如图所示.
(1)求该函数的周期;求该函数的周期;
(2)求求时钟摆时钟摆的高度的高度.解解:
(1)
(2)因此因此10秒时,钟摆高度为秒时,钟摆高度为解毕解毕课堂练习课堂练习1.求周期:
求周期:
(1)
(2)2.若函数若函数的最小正周期是的最小正周期是求正数求正数的值的值.3.求周期:
求周期:
(1)
(2)4.已知已知的定义域为的定义域为,且满足,且满足证明证明是周期函数并求出它的周期是周期函数并求出它的周期.课堂练习答案课堂练习答案1.
(1)
(2)2.3.
(1)
(2),解得,解得课堂练习答案课堂练习答案4.已知已知的定义域为的定义域为,且满足,且满足证明证明是周期函数并求出它的周期是周期函数并求出它的周期.证:
证:
对于任意对于任意都成立都成立.上式对于任意上式对于任意都成立都成立.因此因此是周期为是周期为6的周期函数的周期函数.证毕证毕课外阅读材料课外阅读材料正弦函数的最小正周期正弦函数的最小正周期求证:
正弦函数求证:
正弦函数的最小正周期的最小正周期为为证:
反证法证:
反证法假设存在假设存在满足:
满足:
则则与与矛盾矛盾因此假设不成立,又因此假设不成立,又显然是周期,显然是周期,所以正弦函数的最小正周期是所以正弦函数的最小正周期是证毕证毕第六章三角函数6.1.3正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.4正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数与余弦函数的奇偶性一、正弦函数与余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数,图像关于原点对称;,图像关于原点对称;余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数,图像关于图像关于轴对称轴对称.对于任意对于任意都有都有二、正弦函数与余弦函数的单调性二、正弦函数与余弦函数的单调性在一个周期在一个周期中,中,二、正弦函数与余弦函数的单调性二、正弦函数与余弦函数的单调性正弦函数正弦函数在在每一个每一个闭区间闭区间上,从上,从增大到增大到,是,是增函数增函数.在每一个闭区间在每一个闭区间上,从上,从减小到减小到,是,是减函数减函数.二、正弦函数与余弦函数的单调性二、正弦函数与余弦函数的单调性余弦函数余弦函数在在每一个每一个闭区间闭区间上,从上,从增大到增大到,是,是增函数增函数.在每一个闭区间在每一个闭区间上,从上,从减小到减小到,是,是减函数减函数.例例1.不求值,利用正、余弦函数的单调性比大小:
不求值,利用正、余弦函数的单调性比大小:
(1)
(2)解解:
(1)在区间在区间上是增函数,且上是增函数,且因此因此
(2)在区间在区间上是减函数,且上是减函数,且因此因此解毕解毕例例2.已知函数已知函数
(1)求单调增区间;求单调增区间;
(2)求求在在上的单调减区间上的单调减区间.解解:
(1)因此因此且且即即即单调增区间为即单调增区间为例例2.已知函数已知函数
(1)求单调增区间;求单调增区间;
(2)求求在在上的单调减区间上的单调减区间.解解:
(2)因为因为所以所以故所求减区间为故所求减区间为因此当因此当时,时,单减单减解毕解毕课堂练习课堂练习1.判断下列函数的奇偶性,并说明理由判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
(1)
(2)2.求函数求函数的单增区间的单增区间.3.求函数求函数的最值的最值.课堂练习答案课堂练习答案1.
(1)奇函数奇函数
(2)非奇非偶非奇非偶课堂练习答案课堂练习答案2.即求即求的的单减单减区间区间.因此原来函数的单调增区间为因此原来函数的单调增区间为得得课堂练习答案课堂练习答案3.函数函数得得因此因此即即
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