曲面积分习题课1.ppt
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习题课曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法机动目录上页下页返回结束曲面积分的计算第十一章两类曲面积分的区别两类曲面积分的区别一、曲面积分的基本计算方法则则按照曲面的不同情况分为以下三种:
按照曲面的不同情况分为以下三种:
(一)第一类曲面积分
(一)第一类曲面积分则则则则小结:
对面积的曲面积分的计算方法小结:
对面积的曲面积分的计算方法1、从公式、从公式
(1)()
(2)()(3)中选择一个使用,中选择一个使用,化为二重积分计算。
化为二重积分计算。
2、选择公式的原则:
、选择公式的原则:
1)曲面在公式对应的坐)曲面在公式对应的坐标面上的投影区域的面积不为零;标面上的投影区域的面积不为零;2)若有不止一个公式可用,则应根据简单原则选)若有不止一个公式可用,则应根据简单原则选用公式。
用公式。
3、公式要求积分曲面的显示表示是单值函数,故、公式要求积分曲面的显示表示是单值函数,故当曲面不满足这一条件时,分片处理。
当曲面不满足这一条件时,分片处理。
4、被积函数是定义在积分曲面上的,观察可否、被积函数是定义在积分曲面上的,观察可否利用曲面方程化简被积函数。
利用曲面方程化简被积函数。
注意注意:
对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.
(二)第二类曲面积分
(二)第二类曲面积分2.基本技巧基本技巧
(1)利用对称性及重心公式简化计算
(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化机动目录上页下页返回结束(Gauss公式公式)例例3求求,其中其中解解将曲面投影到将曲面投影到平面上,投影区域为平面上,投影区域为设设为曲面的前半部分,由对称性,得为曲面的前半部分,由对称性,得例例5.计算曲面积分计算曲面积分其中,解解:
思考思考:
本题改为椭球面时,应如何计算?
提示提示:
在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动目录上页下页返回结束解解为使用为使用Gauss公式,添加平公式,添加平求求例例6设设为为锥面锥面取下侧,取下侧,面面,取上侧,取上侧,例例7练习练习:
其中为半球面的上侧.1.计算机动目录上页下页返回结束(外侧外侧)满足满足的部分的部分2.求求,其中其中为球面为球面练习题答案练习题答案:
其中为半球面的上侧.且取下侧,提示提示:
以半球底面原式=记半球域为,高斯公式有1.计算为辅助面,利用机动目录上页下页返回结束(外侧外侧)满足满足的部分的部分解法一解法一记记,下,下侧;侧;,上侧则,上侧则2.求求,其中其中为球面为球面解法二解法二添加平面添加平面(后侧后侧),及,及(左左侧侧),则,则解解3、
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- 曲面 积分 习题