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考研数三真题+详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:
第1小題■毎小题4分,共32分.下列每题给出的
四个选项中「只有一个选顼帚合试題要求.
(1)若Mmfy-Cy-aie1]a等于
(A)0.(B}L(G)2.(0)3.
(2)
设儿*丹垦一阶线性非齐次微分方程『“心乃左贰的的两牛特解*若當妣A,hAytw3是谀方程的解丄”-*乃是谈专程对应的齐次方程的弊,则
2I22
(C)A=ytM=p(D)"彳」二寺
(3)设陕数/ 是 的扱值*则爪肌巧)在些取极大值的一于充分条件是(A)/\a)<0-<8)/7^)>0+ (C)/u(^)<0,{D)r(O)>0. (4)设/(jt)nln°xTA(*)=詐.则当*充分大时冇 (A)旅“幺")彳对・(B)A(x) (C)f(x) (5)设向屋组I価1”叫$可由向品组II: fljtfl3.线性衣示.下列瞬题正确的足 (A)若向註组E线性无艾侧y氣 (B)若向JB组1錢性相关 '(C)若冉量组U线性无关,则FW外 (D)若向SffiHtt性相关,则* W设A为4阶实对称矩阵,且A2+4=a若A的楼为3MA相似于 (€} (D) (7)设随机变量X的分布断数F")= 0fx<0, y,OG<1.则 (C)y-e-*.(D)1-e-*・ (8)设£(久)为标准正态分布的概率密度,«(*)为[・1,3]上均匀分布的槪率密度•若 (A)0. (B)v- /(x)= X),为槪率密度•则a,6应満足 (A)2a+3/>=4. (C)a+b=1. rCOf (a>0,6>0)x>Q (B)3x2b=4. (D)04-6=2. 二・填空题: 第9-14小题■每小題4分•共24分. (9)设可导函数y=y(x)由方程 Jo =|xsinx2dr确定,则 血一 办.J* (10)设位于曲线y=—=(e^x<+«)下方/轴上方的无 yx(l+lnx) 界区域为G,则C绕*轴旋转一周所得空间区域的体积为• (11)设某商品的收益两数为R5,收益弹性为1+P’,其中P为价 格,且/? (】)",则R(p)=• (12)若曲线y=x3+ax2+fcx+l有拐点(-1,0),则几. (13)设4』为3阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|4-+B|=2,则 |A+B11=. (14)设人,X”…,A;是来自总体Ng,/)(qo)的简单随机样 本.记统计量卩=*QX: 则ET=. 三.解答题: 第15-23小题■共94分•解答应写出文字说明■证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限lim(吕-1)丸 (16)(本题满分10分) 计算二重积分川(,+y)3 (17)(本題满分10分) 求函数”罗+2*在约束条件=10下的最大值和最小值. (18)(本题满分10分) (I)比较Jjlnr|(ln(1+J]”df与[门1“|也(n=1,2,…)的大小,说明理由; (11)记u.=|jInt|[In(1+«)J*dt(n=1.2,—),求极限Hmu.. (19)(本題满分10分) 设函数/U)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数•且 2/(0)==/ (2)+/(3). (I)证明存在*(0,2), (D)证明存在^e(0f3)>使厂(£)“• ? 1 设心0A-1 J1 (20)(本题满分11分) ■b=1•已知线性方程组Ax^b存在2个不丄 同的解. (I)求入0 (U)求方程组Ax^b的通解. (21)(本题满分11分) r0-14\ 设A=-13a,正交矩阵0使得QtAQ为对角矩阵•若Q的 、4a0, 第1列为当(1,2,1)丁,求d,Q・ (22)(本題満分11分〉 设二维随机变的槪率密度为/(%』)=Aef—',-ao (23)(本题满分11分) 箱中装有6个球,其中红、白、照球的个数分别为1,2,3个.现从箱中胡机地取出2个球,记X为取岀的红球个数,丫为取出的白球个数. (I)求随机变mX.Y)的概率分布丨 (u)求c°v(x,y). 2010年考研真题数三试卷详解 一选择题 ⑴峻黒G(1F)3]也牛匕肿+ 因此a・2,选C (2)根据己知有zij'4-》]P(x)=£(.x),2〉: "+ji\p(x)=g(x)«于是将 Z3\+AV: 和zxj-jUy2分别代入方程左边得 (冷+”比)"+XX)(x>'i+W: )=(久+劝(乂) (砂-"比)"+p(--v)(zvi-“yJ=(z-jLi)q(x) Am: 为方程解=/+“=! .,/.yl-Juy1为其次方程解=>A-tu=Q>解得 (3)根据己知得gg=0,g"(^)<0o因此 [他(0)]匚二广二0,故要想忑为f(g(Q)的极大值点,只需[/@(功][十v0即可。 即 [他(切仁二广@(兀))[『(兀)]'十厂@(兀)垃・(忌2广@)魚兀)《0。 因此只需/'⑷乂。 选B r>slirn 牝(x) =lini =lim^=liml0^=o f母£s ⑷吧瞥卿診右3 因此f(x) (5)选A,如果则向量组I一定线性相关。 选项B、D反例: 向量组1为(1: 0)、(20),向量组II也为(1: 0)、(2: 0)。 选项C反例向量组1为(1.0)、(2,0),向量组II为(1,0) (6)根据己知,方阵・d的特征值应满足z^z=0,即7=0或-1。 又rU)=3o因此zi的特征值为0(一重;和-1〈三重)。 故H相似 -1] 于1,选D —1 、0一 (7)P(X=1)=F⑴-尸(1-0)=1-宀2=2_宀选C (8)根据密度函数的性质, 1=|zf(x)dx=|o/J(x)Gtv+Xd/: (x)(ix=—+—^因ihtza-3d=4;选 •—55•—35*024 A 二填空题 (9)|f'e~zdt-[,xsintzdt两边对x求导得 (]+》)=lsinr^r+rsinx"o ■. Ji巩1+F“2jiM(l+F) *疋e'dr=/raretan彳二=手 代入工=0得(1+>•*1^0)=01+y'|z4)=>>'|x.o=-l (11)设某商品的收益函数为R(P),收益弹性为1+戸》其中为F价 格,且A(l)=l,贝|JR(P)= cR£_]+: 虑(F)_]+F_l+: 由己知条件有吞疋",即~r=~r^p^p(分离变量) InA=lnF±—±CiIn—=—十Ci 两边同时积分有3二即P3 —-CR=CPe^ 所以有尸,再由条件R(l)=1,代入,得c=d p-1 所以 (12)根据条件得v|=0^y"|±.「=0。 其中y"=6x+2<7>于是得到方程「丁学二日,解得 -6+2zj=0 (13)注意到二+矿'討(才。 £)矿蔦因此 |厦+口-1|=|A||月"+2||鸟“|=二2-£=3 (14)EX: =DX: 十(EAr: )2=cr+K;因此 1«1n1 ET=E_0X: 二一于EX: ——片(b+=ct2+/"•1nun 三、解答题 1 15求lim(「_l)忘 ^-? -a limx"=lim—Z'Plim—=0r-»*x上tyXr-^*xX lim(・U)=T r-^*x limr—=0 x-r-zInX -'■lim(x? _l)? x=(-l)'=1 x->-w 16计算二重积分逊*其中D由曲线尤=£工"与直线x+dp=o及*_=0围成。 画图有该区域D关于汽轴对称,令区域D在第一象限的区域为6 ||(x+y)M=11(? +3x2y+3xj^/)^ =n( D x+3xy^)dxdy=2|[(x? +Sxv^dxch' Dt 1 =2[f(<+3xi•込九 oA 令”=/(x.y.z)=xy+2j*z(p^xzy.r)=x: +y2+r--10构造辅助函数F(x: 竺z: z)=/(x: y: z)4-z(? ? +y: 4/-10), 求解下列方程组;S竺" exExdx 史厘十止=0rrr CZGZCZ —=^X-J-Z)=° 解得乂二g时点(-1J,-2)和点(1,乐2) ■ 入=_4时点(皿2)和点(-1-怎-2) 将得到的4个点代入“二/(.x=ys')=x\十2#中可得: n=/(-1^5: -2)=-5^,"=二一5少 辽=(Q血2)二5芒,翼=/(-L-^-2)=5少 可知函数在条件7+v: +? =0下的最大值为邙,最小值为-懑 18 (1).由题意可知积分区域相同,比较两式的大小只需要比较被积函数在区域內的大小即可 即比较|lnr|[ln(iI)「和r>;|lnz|的大小 在(0,1)E间上lnv0所以上边两式变为 /=(-bir)[ln(l+r)]\f2=(-lni)rn 令『=(-lnr)血(1十汕=血(1+勿"=严1+巧. (一In』)? 2Z2t 当心1时,上式/>-1,所以积分面积|1|1胡[1门(1"『曲<|\叩胡也JQ1 (2〉因为£门11脅=-|: 严1口曲=―flnM严 又因为皱产h】2噢禺儿所以limJ>hnz^=O 由夹逼定理可知0=lim|f: |lnrpr>lim|: [ln(l+r)][ln』|s72lim|: 0也=0所以所求Hm/血(1+汕|lnz|cz=0 19: 解 1、利用中值定理 2、利用两次罗尔定理可得 解: 写出增广矩阵 (A11 02-101 I0z-101 初等行变换 CA1la、 02-11-才a-1 Q0l-z: la-乙 由题意解得 z=-1 a=-2 将入a代入得通解为: 21、 解: 由题童: O = 44-Z 1-X -一a rn J1-1r 将U二一1代入,又由\/e-a\=0得特征值; 人=-4 A=2 Z=5 J 由z产7求特征向量为x2-上(一101) 由厶=5求特征向量为也=氐(1-11) 所以Q矩阵为 条件概率密度公式f(yX)= f(s) 3(x) 22.f(x.y)=AexpA{-2xA2~2xy-yA2) [k(k)=「/(xy)tfi=rAexp^{-2xA2+2xy・旷2}$三八J? e'jxT} 上式利用了公式|己xp'{・旷2}@=4^o f(yx)= A亡xp入{・2x人2十2xy■严2}_expA{-(x-y)A2} Aa/^{-xA2}、丘 23: 解; 随机变量(X.Y)的概率分布: X 0 1 0 C;_3cT_T5 cl3 1 cici_6 C;15 Cl_2 Cj"l5 7 Av 11 C: ~I5 V 0 51 £(AD=lx_=_ 01y EQ-)=lx—+2x—=- 15153 E(^-)=-=-xl=A. 1515 cov(A;F)=£(AT)-Z(-T)E(}*) =——=— 15945
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