《2212 二次函数yax2的图象和性质》教案导学案同步练习.docx
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《2212二次函数yax2的图象和性质》教案导学案同步练习
《22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质》教案
【教学目标】
1.会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的概念.
2.掌握形如y=ax2的二次函数图象和性质,并会应用.
【教学过程】
一、情境导入
自由落体公式h=
gt2(g为常量),h与t之间是什么关系呢?
它是什么函数?
它的图象是什么形状呢?
二、合作探究
探究点一:
二次函数y=ax2的图象
【类型一】图象的识别
已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( )
解析:
本题进行分类讨论:
(1)当a>0时,函数y=ax2的图象开口向上,函数y=ax图象经过一、三象限,故排除选项B;
(2)当a<0时,函数y=ax2的图象开口向下,函数y=ax图象经过二、四象限,故排除选项D;又因为在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象必有除原点(0,0)以外的交点,故选择C.
方法总结:
分a>0与a<0两种情况加以讨论,并且结合一些特殊点,采取“排除法”.
【类型二】实际问题中图象的识别
已知h关于t的函数关系式为h=
gt2(g为正常数,t为时间),则函数图象为( )
解析:
根据h关于t的函数关系式为h=
gt2,其中g为正常数,t为时间,因此函数h=
gt2图象是受一定实际范围限制的,图象应该在第一象限,是抛物线的一部分,故选A.
方法总结:
在识别二次函数图象时,应该注意考虑函数的实际意义.
探究点二:
二次函数y=ax2的性质
【类型一】利用图象判断二次函数的增减性
作出函数y=-x2的图象,观察图象,并利用图象回答下列问题:
(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),使x2 (2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3,y3),D(x4,y4),使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小; (3)由 (1)、 (2)你能得出什么结论? 解析: 根据画出的函数图象来确定有关数值的大小,是一种比较常用的方法. 解: (1)图象如图所示,由图象可知y1>y2, (2)由图象可知y3 方法总结: 解有关二次函数的性质问题,最好利用数形结合思想,在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误. 【类型二】二次函数的图象与性质的综合题 已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数. (1)求m的值; (2)当m为何值时,该函数图象的开口向下? (3)当m为何值时,该函数有最小值? (4)试说明函数的增减性. 解析: (1)由二次函数的定义可得 故可求m的值. (2)图象的开口向下,则m+3<0; (3)函数有最小值,则m+3>0; (4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定. 解: (1)根据题意,得 解得 ∴当m=-4或m=1时,原函数为二次函数. (2)∵图象开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴m=-4.∴当m=-4时,该函数图象的开口向下. (3)∵函数有最小值,∴m+3>0,m>-3,∴m=1,∴当m=1时,原函数有最小值. (4)当m=-4时,此函数为y=-x2,开口向下,对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小. 当m=1时,此函数为y=4x2,开口向上,对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大. 方法总结: 二次函数的最值是顶点的纵坐标,当a>0时,开口向上,顶点最低,此时纵坐标为最小值;当a<0时,开口向下,顶点最高,此时纵坐标为最大值.考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素,因此最好画图观察. 探究点三: 确定二次函数y=ax2的表达式 【类型一】利用图象确定y=ax2的解析式 一个二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点A(2,-2)关于坐标轴的对称点B,求其关系式. 解析: 坐标轴包含x轴和y轴,故点A(2,-2)关于坐标轴的对称点不是一个点,而是两个点.点A(2,-2)关于x轴的对称点B1(2,2),点A(2,-2)关于y轴的对称点B2(-2,-2). 解: ∵点B与点A(2,-2)关于坐标轴对称,∴B1(2,2),B2(-2,-2).当y=ax2的图象经过点B1(2,2)时,2=a×22,∴a= ,∴y= x2;当y=ax2的图象经过点B1(-2,-2)时,-2=a×(-2)2,∴a=- ,∴y=- x2.∴二次函数的关系式为y= x2或y=- x2. 方法总结: 当题目给出的条件不止一个答案时,应运用分类讨论的方法逐一进行讨论,从而求得多个答案. 【类型二】二次函数y=ax2的图象与几何图形的综合应用 已知二次函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b),求: (1)a,b的值; (2)函数y=ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标. 解析: 直线与函数y=ax2的图象交点坐标可利用方程求解. 解: (1)∵点A(1,b)是直线与函数y=ax2图象的交点,∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式,∴ ∴ (2)由 (1)知二次函数为y=-x2,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0,0),由-x2=2x-3,解得x1=1,x2=-3,∴y1=-1,y2=-9,∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(-3,-9). 【类型三】二次函数y=ax2的实际应用 如图所示,有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6m. (1)请你建立适当的直角坐标系,并求出在此坐标系下的抛物线的关系式; (2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板,要使小船能通过此桥洞,则这些木板最高可堆放多少米? 解析: 可令O为坐标原点,平行于AB的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则可设此抛物线函数关 系式为y=ax2.由题意可得B点的坐标为(3,-3),由此可求出抛物线的函数关系式,然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题. 解: (1)以O点为坐标原点,平行于线段AB的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的函数关系式为y=ax2.由题意可得B点坐标为(3,-3),∴-3=a×32,解得a=- ,∴抛物线的函数关系式为y=- x2. (2)当x=1时,y=- ×12=- .∵OM=3,∴木板最高可堆放3- = (米). 方法总结: 解决实际问题时,要善于把实际问题转化为数学问题,即建立数学模型解决实际问题的思想. 三、板书设计 【教学反思】 教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2的图象与性质,体会数学建模的数形结合的思想方法. 《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》教案 【教学目标】: 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 【重点难点】: 重点: 使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。 难点: 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 【教学过程】: 一、提出问题 1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 如果可以,应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象) 3.一次函数的图象是什么? 二次函数的图象是什么? 二、范例 例1、画二次函数y=ax2的图象。 解: (1)列表: 在x的取值范围内列出函数对应值表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在直角坐标系中描点: 用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点 (3)连线: 用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=x2的图象,如图所示。 提问: 观察这个函数的图象,它有什么特点? 让学生观察,思考、讨论、交流,归结为: 它有一条对称轴,且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念: 像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念: 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 三、做一做 1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点? 又有什么区别? 2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么? 3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么? 对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。 两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论。 交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x2的图象开口向上,函数y=-x2的图象开口向下。 对于2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个函数的图象的特点;教师可引导学生类比1得出。 对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论: 四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,它的顶点坐标都是(0,0). 四、归纳、概括 函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例,由函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象的共同特点,可猜想: 函数y=ax2的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类? 为什么? 让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空; 当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察下图,回答以下问题; (1)XA、XB大小关系如何? 是否都小于0? (2)yA、yB大小关系如何? (3)XC、XD大小关系如何? 是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何? (XA 其次,让学生填空。 当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值y=______ 以上结论就是当a>0时,函数y=ax2的性质。 思考以下问题: 观察函数y=-x2、y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a 它反映了当a 让学生讨论、交流,达成共识,当a 图象的这些特点,反映了当a 五、课堂练习: P6练习1、2、3、4。 六、作业: 1.如何画出函数y=ax2的图象? 2.函数y=ax2具有哪些性质? 3.谈谈你对本节课学习的体会。 《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》导学案 学习目标 1.知道二次函数的图象是一条抛物线; 2.会画二次函数y=ax2的图象; 3.掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用 教学重点 数形结合是学习函数图象的精髓所在,从图象上学习认识函数 教学难点 数形结合是学习函数图象的精髓所在,从图象上学习认识函数 教学方法 导学训练 学生自主活动材料 【学习过程】 一、依标独学: 1.画一个函数图象的一般过程是①;②;③。 2.一次函数图象的形状是;反比例函数图象的形状是. 二、围标群学 (一)画二次函数y=x2的图象. 列表: 在图(3)中描点,并连线 1.思考: 图 (1)和图 (2)中的连线正确吗? 为什么? 连线中我们应该注意什么? 2.归纳: ①由图象可知二次函数 的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线,即抛出物体所经过的路线,所以这条曲线叫做线; ②抛物线 是轴对称图形,对称轴是;③ 的图象开口______; ④与的交点叫做抛物线的顶点。 抛物线 的顶点坐标是; 它是抛物线的最点(填“高”或“低”),即当x=0时,y有最值等于0. ⑤在对称轴的左侧,图象从左往右呈趋势,在对称轴的右侧,图象从左往右呈趋势;即 <0时, 随 的增大而, >0时, 随 的增大而。 (二)例1在图(4)中,画出函数 , , 的图象. 解: 列表: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … 归纳: 抛物线 , , 的图象的形状都是;顶点都是__________;对称轴都是_________;二次项系数 _______0;开口都;顶点都是抛物线的最_________点(填“高”或“低”). 教学反思: 《21.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》同步练习 1.在同一直角坐标系中作出函数y=x2,y=2x2和y=3x2的图象,然后根据图象填空: 抛物线y=x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; 抛物线y=2x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; 抛物线y=3x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________. 可以发现,抛物线y=x2,y=2x2,y=3x2的开口大小由二次项系数决定,二次项系数的绝对值越大,抛物线的开口越________. 2.在同一直角坐标系中作出函数y=-x2,y=-2x2和y=-3x2的图象,然后根据图象填空: 抛物线y=-x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; 抛物线y=-2x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; 抛物线y=-3x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________. 可以发现,抛物线y=-x2,y=-2x2,y=-3x2的开口大小由二次项系数决定,二次项系数的绝对值越大,抛物线的开口越________. 3. (1)抛物线y=ax2的开口方向和开口大小由________决定,当a________0时,抛物线的开口向上;当a________0时,抛物线的开口向下; (2)抛物线y=ax2的顶点坐标是(),当a________0时,它是抛物线的最低点,即当x=________时,函数取得最小值为________;当a________0时,它是抛物线的最高点,即当x=________时,函数取得最大值为________; (3)抛物线y=ax2的对称轴是________. 4.在同一直角坐标系中作出函数y=-x2,y=-x2+2,y=-x2-3的图象,然后根据图象填空: 抛物线y=-x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; 抛物线y=-x2+2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; 抛物线y=-x2-3的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________. 可以发现,抛物线y=-x2+2,y=-x2-3与抛物线y=-x2的形状、开口大小相同,只是抛物线的顶点位置发生了变化.把抛物线y=-x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y=-x2+2;把抛物线y=-x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y=-x2-3. 5.填空(如果需要可作草图): (1)抛物线y=x2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; (2)抛物线y=x2+2的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________; (3)抛物线y=x2-3的顶点坐标是(),对称轴是________,开口向________. 可以发现,抛物线y=x2+2,y=x2-3与抛物线y=x2的形状、开口大小相同,只是抛物线的顶点位置发生了变化.把抛物线y=x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y=x2+2;把抛物线y=x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y=x2-3. 答案: 1.(0,0),y轴,上; (0,0),y轴,上; (0,0),y轴,上;小. 2.(0,0),y轴,下; (0,0),y轴,下; (0,0),y轴,下;小. 3. (1)a,>,<; (2)(0,0),>,0,0;<,0,0; (3)y轴. 4.(0,0),y轴,下; (0,2),y轴,下; (0,-3),y轴,下; 上,2;下,3. 5. (1)(0,0),y轴,上; (2)(0,2),y轴,上; (3)(0,-3),y轴,上;上,2;下,3. 思考·探索·交流 1.把抛物线y=x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y=3x2吗? 把抛物线y=-x2沿y轴向下平移3个单位能得到抛物线y=-3x2吗? 答案: 1.不能,不能.
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