最新人教版九年级数学全册教案.docx
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最新人教版九年级数学全册教案
全
册
教
案
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人教版九年级数学全册教案
第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程
?
教学整体设计?
【教学目标】【重点难点】
重点:
通过类比一元一次方程,了解一1.通过类比一元一次方程,了解一元二22,bx,c,元二次方程的概念及一般形式ax次方程的概念及一般形式ax,bx,c,
0(a?
0),分清二次项及其系数、一次项及其0(a?
0)和一元二次方程的解等概念,并能用系数与常数项等概念.这些概念解决简单问题.
难点:
一元二次方程及其二次项系数、2.了解一元二次方程的解的概念,会检
一次项系数和常数项的识别.验一个数是不是一元二次方程的解.
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、创设情境,导入新课
1.什么是方程,你能举一个方程的例子吗,
2.下列哪些方程是一元一次方程,并给出一元一
次方程的概念和一般形式.通过复习~建立新旧知识的联系~形
成知识体系~通过类比~让学生更易于接12
(1)2x,1;
(2)mx,n,0;(3),1,0;(4)x,1.x受新知识.
3.下列哪个实数是方程2x,1,3的解,并给出方
程的解的概念.
A.0B.1C.2D.3
二、师生互动,探究新知
根据题意列方程.
1.教材第2页问题1.列方程是很多学生的难点~在本节课提出问题:
安排一些列方程的内容~可以分散列方程
(1)正方形的大小由什么量决定,本题应该设哪这一教学难点~化整为零地培养由实际问个量为未知数,题抽象出方程模型的能力~为后面学习实
(2)本题中有什么数量关系,能利用这个数量关际问题与一元二次方程做好准备.系列方程吗,怎么列方程,
(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗,请说
出整理之后的方程.
2.教材第2页问题2.
提出问题:
将一元二次方程的具体例子与一元
(1)本题中有哪些量,由这些量可以得到什么,一次方程作比较~引导学生观察一元二次
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系,方程在形式上的特点~找出两类方程的相如果有5个队参赛,每个队比赛几场,一共有20同点和不同点~再类比一元一次方程的命场比赛吗,如果不是20场比赛,那么究竟比赛多名~学生可以很容易得出一元二次方程的少场,命名和概念~这样设计能让学生对一元二(3)如果有x个队参赛,一共比赛多少场呢,次方程的概念印象深刻~同时可以提高学3.归纳概念.生的学习兴趣.
提出问题:
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不
同点,
(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字,
(3)归纳一元二次方程的概念.
?
一元二次方程:
只含有______个未知数,并且未知数的最高次数是________,这样的______方程,叫做一元二次方程.
2?
一元二次方程的一般形式是ax,bx,c,
20(a?
0),其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.?
一元二次方程的解(根):
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解(根).
三、运用新知,解决问题
例1在下列方程中,属于一元二次方程的是______.
1122
(1)4x,81;
(2)2x,1,3y;(3),,2;x2x
2(4)2x,2x(x,7),0.
总结:
判断一个方程是否是一元二次方程的依据:
通过练习~引导学生进一步理解和掌
(1)整式方程;
(2)只含有一个未知数;(3)含有未知握本节重点难点——理解一元二次方程数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有及其有关概念~使学生逐步形成良好的审二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方题、解题习惯.程不是一元二次方程.
例2以,2为根的一元二次方程是()22A.x,2x,1,0B.x,x,2,022C.x,x,2,0D.x,x,2,0总结:
判断一个数是否为方程的根,可以将这个数代入方程,判断方程左右两边的值是否相等.
四、课堂小结,提炼观点引导学生回顾自己的学习过程~畅所
我们学习了一元二次方程的哪些知识,一元二次欲言~加强反思、提炼~帮助学生全面理
方程的一般形式是什么,一般形式中有什么限解、掌握所学的知识~培养学生自主归纳
制,你能解一元二次方程吗,的能力.
五、布置作业,巩固提升及时作业是巩固课堂学习知识的重1.必做题:
课本第4页习题21.1第1,2,3题.要环节~选做题是给学有余力的学生准备2.选做题:
课本第4页习题21.1第4,5,6题.的.
?
教学小结?
【板书设计】一元二次方程
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解(根)
21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
?
教学整体设计?
第1课时直接开平方法
【教学目标】【重点难点】2,重点:
运用开平方法解形如(x,m)1.理解一元二次方程降次的转化思想.
2n(n?
0)的方程,领会降次——转化的数学思2.会利用直接开平方法对形如(x,m),
想.n(n?
0)的一元二次方程进行求解.23.会用直接开平方法解简单的一元二次难点:
通过根据平方根的意义解形如x方程.,n的方程,将知识迁移到根据平方根的意2义解形如(x,m),n(n?
0)的方程.
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、创设情境,导入新课
多媒体展示问题:
印度古算中有这样一首诗:
“一群猴子分两
队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦
蹦跳跳树林里;其余十二叽叽喳,伶俐活泼
又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起.”
大意是说:
一群猴子分成两队,一队猴子数寓教于乐~可激发学生的探索欲望.1是猴子总数的的平方,另一队猴子数是12,8
那么猴子总数是多少,你能解决这个问题
吗,
学生互相讨论、分析理解.
教师点拨、启发、引导学生分析解题.
二、师生互动,探究新知
1.如图,在?
ABC中,?
B,90?
,点P从点B
开始,沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,
点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s
的速度移动,如果AB,6cm,BC,12cm,P,通过该活动引导学生探究、发现解一元二Q都从B点同时出发,几秒后?
PBQ的面积次方程的解法.通过根据平方根的意义解形如
22等于8cm?
x,n的方程~将知识迁移到根据平方根的意
2教师引导学生观察、分析、探索.义解形如(x,m),n(n?
0)的方程.学生小组内交流、探讨知识的发展变化,找
出规律,升华为理论知识.2.能否求下列方程的解,22
(1)(2t,1),8;
(2)4(x,3),225;22(3)9x,6x,1,0;(4)x,4x,4,1.
3.归纳总结——由感性到理性.
问题1:
你能和同伴交流吗,
降次的实质:
________________.
降次的方法:
________________.
降次体现了______思想.进一步体验充满探索与创造的数学活
问题2:
动~感受数学的严谨性和数学结论的确定性.22如果方程能化成x,p或(nx,m),p(p?
0)的
形式,那么可得x,________,或nx,m,
______.
学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同
探索.
三、运用新知,解决问题
教材第6页练习.通过练习~帮助学生熟练掌握开平方法教师引导,组织学生练习,巡回辅导,重点的应用~从而培养学生分析问题、解决问题问题进行强化、点拨方法、总结规律,对学的能力.生存在的共性问题做好补教.
四、课堂小结,提炼观点
1.这节课你感受到了什么,尽可能地让学生把自己的所思所想表达
2.根据本节课解方程的方法,你能谈谈你的收出来~以期共同提高.获吗,
五、布置作业,巩固提升
教材第16页习题21.2第1题.加深认识~深化提高.
?
教学小结?
【板书设计】
直接开平方法
降次转化一元二次方程――?
一元一次方程
思想
2(nx,m),pnx,m,?
p
(p?
0)
?
教学整体设计?
第2课时配方法的灵活应用
【教学目标】3.会用配方法解简单的一元二次方程.
【重点难点】1.理解配方法.
重点:
用配方法熟练地解二次项系数为2.会利用配方法熟练、灵活地解二次项
系数为1的一元二次方程.1的一元二次方程.
不为1的一元二次方程.难点:
灵活地运用配方法解二次项系数
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、复习旧知,导入新课
问题
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积2为16m,场地的长和宽应各是多少,
(1)如何设未知数,根据题目的等量关系如何列出方程,问题
(1)益于培养学生的应用意识~可激
2
(2)所列方程和之前我们学习的方程x,6x,发学生的探究欲,问题
(2)激起学生学习的欲
9,2有何联系与区别,望.2(3)你能由方程?
x,6x,9,2的解法联想到
2怎样解方程?
x,6x,16,0吗,
学生完成问题
(1),列出方程.如何解这个方程呢,学生观察问题
(2),找到联系与区别,教师可点拨启发.问题(3),学生思考、讨论.
二、师生互动,探究新知
2我们研究方程x,6x,7,0的解法:
2将方程视x,2?
x?
3,,7,222配方,得x,2?
x?
3,3,32,7,即(x,3),2,由此可得x,3,?
2,
所以x,,3,2,x,,3,2.12
?
教师引导学生观察、分析、发现和提出问题.让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法.
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一通过引导学生自主、合作、探究、验证~
元二次方程的方法,叫做配方法.培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.
总结发现:
用配方法解一元二次方程的步骤.2?
把原方程化为ax,bx,c,0(a?
0)的形式;?
方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;?
方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
?
把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
?
如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
三、运用新知,解决问题通过练习~帮助学生熟练掌握配方法的用配方法解方程:
应用~从而培养学生分析问题、解决问题的22
(1)x,8x,2,0;
(2)x,5x,6,0;能力.2(3)x,7,6x.
教师引导,组织学生练习,巡回辅导,重点
问题进行强化、点拨方法、总结规律,共性
问题做好补教.
四、课堂小结,提炼观点
梳理学习内容、方法、思路~养成系统1.本节课你有何感想,请你畅所欲言.
整理知识的习惯~形成知识体系.
2.本节课你有何收获,请你与同伴分享.
五、布置作业,巩固提升加深认识~深化提高~形成知识体系.教材第17页习题21.2第2,3题.
?
教学小结?
【板书设计】
配方法的灵活应用用配方法解一元二次方程的步骤:
2?
将原方程化为ax,bx,c,0(a?
0)的形式?
将二项系数化为1
?
方程两边同时加上一次项系数一半的平方
?
把左边化为完全平方式,右边化为常数
?
判断方程解的情况
21.2.2公式法?
教学整体设计?
元二次方程.【教学目标】
【重点难点】1.理解一元二次方程求根公式的推导过
重点:
求根公式的推导和公式法的应用.程.
难点:
一元二次方程求根公式的推导.2.会利用求根公式解简单数字系数的一
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、复习旧知,导入新课
用配方法解下列方程:
22
(1)6x,7x,1,0;
(2)4x,3x,52.通过复习引入~让学生回忆配方法的解总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总题思路~并通过两道练习题巩固所学知识~结,教师点评).同时为本节课的学习做好铺垫.安排两名学生板书.
教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程
的基本思路及基本步骤.
二、师生互动,探究新知让学生新自动学实验~探究结论~激发
2如果一个一元二次方程是一般形式ax,bx,兴趣.c,0(a?
0),你能否用配方法的步骤求出它的两根,请同学独立完成下面这个问题.22问题:
已知ax,bx,c,0(a?
0)且b,4ac?
0,试推导它的两个根x,1
b,b2,4ac,b,b2,4ac,x,.22a2a2解:
移项,得ax,bx,,c,培养学生爱动脑思考的好习惯.
二次项系数化为1,得
bc2x,x,,,aa
配方,得
bbcb22)2x,x,(),,,(.a2aa2a
b2,4acb2即(x,),.?
2a4a2
22因为a?
0,所以4a,0,式子b,4ac的值有以下三种情况:
b2,4ac2
(1)当b,4ac,0时,,0.4a2
由?
直接开平方,得
b2,4acbx,,?
,2a2a
b?
b2,4ac即x,.2a
方程有两个不等的实数根
b,b2,4ac,b,b2,4acx1,,x2,.2a2a
b2,4ac2
(2)当b,4ac,0时,,0,由?
可知,4a2
b方程有两个相等的实数根x,x,,.122a
b2,4ac2(3)当b,4ac,0时,,0,由?
可知4a2
b(x,)2,0,因此方程无实数根.2a
22一般地,式子b,4ac叫做方程ax,bx,c,0(a?
0)根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表
2示,即Δ,b,4ac,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一2般形式ax,bx,c,0,当Δ?
0时,将a,b,
b?
b2,4acc的值代入式子x,就能得到方2a
程的根;当Δ,0时就能得到方程无实数根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两
个实数根.
三、运用新知,解决问题
教材第11页例2.加深对所学知识的理解.找四位学生板书,教师巡视及时发现错误及
时纠正,对于部分学生给予适当鼓励.
四、课堂小结,提炼观点
1.本节课你有何感想,请你畅所欲言.梳理学习内容、方法、思路~养成系统2.本节课你有何收获,请你与同伴分享.整理知识的习惯~形成知识体系.
五、布置作业,巩固提升
教材第17页习题21.2第4,5题.巩固所学知识
?
教学小结?
【板书设计】
公式法
b?
b2,4ac一元二次方程的求根公式:
x,2a
2,4ac,0时,方程有两个不等的实数根当b
2当b,4ac,0时,方程有两个相等的实数根
2当b,4ac,0时,方程无实数根
21.2.3因式分解法
?
教学整体设计?
【教学目标】【重点难点】
重点:
应用因式分解法解一元二次方程.1.了解因式分解法的概念.
2.会利用因式分解法解某些简单数字系难点:
将方程化为一般形式后,对方程
左侧二次三项式进行因式分解.数的一元二次方程.
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、创设情境,导入新课
王庄村在测量土地时,发现了一块正方形的
土地和一块矩形土地,矩形土地的宽和正方
形的边长相等,矩形土地的长为80m,工作在这一问题情境中~学生根据已有经验人员说,正方形土地的面积是矩形面积的一设未知数并列出方程~然后解方程~在此基半,你能帮助工作人员计算一下正方形土地础上教师加以适当点拨自然引出课题.的面积吗,
引导学生列方程求解,从而引出本节课的课
题.
二、师生互动,探究新知
1.实验发现.
2
(1)如果方程x,3x,c,0有一个根为1,那
么c,______,该方程的另一个根为______,
该方程可化为(x,1)(x______),0.
(2)思考:
?
x(2x,1),0,?
3x(x,2),0.
问题:
(1)你能观察出这两题的特点吗,
(2)你知道方程的解吗,说说你的理由.
我们可以发现,上述两个方程中,其解法都通过练习让学生加深对所学知识的理不是用开平方降次,而是先因式分解使方程解并体会因式分解法与旧知识之间的联系.化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这
种解法叫做因式分解法.
2.探索.
2我们以方程x,4为例.
2移项,得x,4,0,2对x,4分解因式,得(x,2)(x,2),0.
我们知道:
A?
B,0?
A,0或B,0.
?
x,2,0或x,2,0.即x,,2,x,2.12
总结:
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
?
移项,使方程的右边为零;设计这种学生自主探索的方法~目的在于?
将方程的左边分解为两个一次因式的乘把课堂还给学生并发挥学生的主体作用~逐积;步培养学生解决问题的能力.?
令每个因式分别为零,得到两个一元一次
方程;
?
解这两个一元一次方程,它们的解就都是
原方程的解.
3.验证.
教材第14页例3.
学生先自主、再合作,完成解题过程.
三、运用新知,解决问题
教材第14页练习.让学生在巩固过程中~进一步加深对所组织学生练习,教师巡回辅导,对于重点问学知识的理解.题进行强化、点拨方法、总结规律,对于共
性问题做好补教.
四、课堂小结,提炼观点加强教学反思~帮助学生养成系统整理1.这节课你感受到了什么,知识的习惯.
2.本节课你有什么收获,请你谈一谈.
五、布置作业,巩固提升加深认识~深化提高~形成体系.教材第17页习题21.2第6题.
?
教学小结?
【板书设计】
因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
?
移项,使方程的右边为零;
?
将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
?
令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
?
解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
?
教学整体设计?
【教学目标】3.提高学生综合运用基础知识分析解决
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关较复杂问题的能力.
【重点难点】系.
重点:
一元二次方程根与系数的关系.2.灵活运用一元二次方程根与系数的关难点:
对根与系数的关系的理解和推导.
系解决实际问题.
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、复习旧知,导入新课
2我们知道,方程的根是由一元二次方程ax,bx,c,20(a?
0)的各项系数a,b,c决定的.我们还知道根是由b开门见山~引入新课.,4ac决定其情况的.今天我们来研究方程的两根的和及两根的积与a,b,c有怎样的关系,
教师引出新课并板书课题.
二、师生互动,探究新知
1.思考与归纳从下表中找出两根之和x,x与两根之积xx和a,b,c1212
的关系:
两根两个根x与x两根之积12之和方程
x,xxxxx1212122x,5x,6,0,2,3,56
2x,5x,6,0,1,665
2x,8x,9,0,1,99824423x,4x,4,02,,333
13122x,3x,1,01222
317126x,7x,3,0,,,2362教师引导学生先观察表格中前三行,看有什么共同规律,再观察后三行.学生观察、思考、归纳、总结.
2归纳:
(1)形如x,px,q,0的一元二次方程两根的和、积分别与系数有如下关系:
x,x,,p,xx,q.12122
(2)形如ax,bx,c,0(a?
0)的一元二次方程的两根的和、积分别与系数有如下关系:
bcx,x,,,xx,.1212aa2.推理验证
2验证ax,bx,c,0(a?
0)的两根x,x与a,b,c的关12
系.2设ax,bx,c,0(a?
0)的两根为x,x.12
b,b2,4ac,b,b2,4ac则x,,x,.12通过几个具体的方程~经过观2a2a
察、归纳得出一般规律.由此可知
b,b2,4ac,b,b2,4ac,2bbx,x,,,,,,122a2a2aa
b,b2,4ac,b,b2,4acxx,?
122a2a
,,b,2,,b2,4ac,c,.4a2a
通过推导证明渗透由特殊到一般
的认知规律.
三、运用新知,解决问题
教材第16页练习.巩固所学知识~培养学生能力.教师让学生尝试独立解决,师生共议.学生独立完成后,
小组交流.
四、课堂小结,提炼观点
梳理学习的内容、方法~加1.一元二次方程的根与系数有怎样的关系,
强反思~进一步提高教学效果.2.对本节课你还有什么困惑,
五、布置作业,巩固提升
必做题:
教材第17页第7题.复习巩固~查漏补缺.2选做题:
已知方程5x,kx,6,0的一个根是2,求它的
另一个根及k的值.
?
教学小结?
【板书设计】
一元二次方程的根与系数的关系
bc,2bb1.x,x,,,xx,.,,,,1212aa2aa
b,b2,4ac,b,b2,4ac,b,b2,4ac2.x,x,,xx,?
12122a2a2a
,,b,2,,b2,4ac,c,b,b2,4ac,,.4a2a2a
21.3实际问题与一元二次方程
?
教学整体设计?
第1课时解决代数问题
对方程的解必须要进行检验,方程的解是否【教学目标】
舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.1.经历用一元二次方程解决实际问题的【重点难点】过程,总结列一元二次方程解决实际问题的重点:
利用一元二次方程解决传播问一般步骤.题、百分率问题.
难点:
如何理解传播问题的传播过程和2.通过学生自主探究,会根据传播问题、百分率问题中的增长(降低)过程,找到传播百分率问题中的数量关系列一元二次方程问题和百分率问题中的数量关系.并求解,熟悉解题的具体步骤.
3.通过实际问题的解答,让学生认识到
?
教学过程设计?
教学过程设计意图
一、创设情境,导入新课
一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共多少人,分析:
设这个小组x人,那么每个人要送给除了他自己以外的______人,共送______张贺卡,由此可列方程:
__________.
提出问题:
列一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些,师生一起总结列一元二次方程解决实际总结:
(1)审:
认真审题,分清题意,弄清已问题的一般步骤~然后将列一元二次方程解知量和未知量,寻找相等关系;决实际问题的一般步骤与列一元一次方程解
(2)设:
设未知数,分直接设未知数和间接设决实际问题的一般步骤进行对比~发现解一未知数,到底选择何种方式设未知数,要以元二次方程很多时候有两个解~可能其中一有利于列出方程为准则;个不符合问题的实际意义需要舍去~由此我(3)列:
根据题目中的已知量和未知量之间的们可以推广到列方程解应用题的一般步骤都关系列出方程;是这六步.(4)解:
求出所列方程的解;
(5)验:
检验方程的解,首先检验计算是否正确,然后检验每个解是否符合问题的实际意义,再正确取舍;
(6)答:
对实际问题进行回答.
提出问题:
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些相同点和不同点,
二、师生互动,探究新知
例1教材第19页探究1传播问题.提出问题:
(1)本题中的已知量和未知量分别是什么,
(2)本题中我们设直接未知数还是间接未知数,传播问题的难
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