直线与圆的位置关系.docx
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直线与圆的位置关系.docx
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直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
知识点1直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系:
(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点;
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,直线
与⊙O相离。
直线与圆的位置关系的性质与判定:
直线与圆的位置关系
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
图形表示
公共点个数
0
1
2
d与r的大小关系
d>r
d=r
d<r
公共点名称
无
切点
交点
直线名称
无
切线
割线
例1、如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?
为什么?
变式:
已知⊙O的半径为5,点P在直线l上,OP=5,直线l与⊙O的位置关系是()
A.相切B.相交C.相离D.相切或相交
变式:
如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切于原点O,平行于y轴的直线交⊙P于M、N两点,若点M的坐标是(2,-1)。
则点N的坐标是()
A.(2,-4)B.(2,-4.5)C.(2,5)D.(2,-5.5)
知识点2切线的性质与判定(重点)
圆的切线垂直于过切点的半径。
注意:
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心;
(3)切线和圆只有一个公共点且圆心到切线的距离等于半径。
圆的切线的判定方法:
(1)定义:
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)数量关系:
圆心到直线的距离等于半径,则直线是圆的切
(3)判定定理:
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
如图,若直线l经过半径OD的外端D,且l⊥OD,则直线l与⊙O相切。
例2、如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,OP交⊙O于点C,连接BC,若∠P=30°,求∠B的度数。
例3、如图所示,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于E、F两点,点G是AD的中点。
求证:
GE是⊙O的切线。
变式:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB.
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由。
知识点3三角形的内切圆(难点)
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形。
内切圆的圆心叫做三角形的内心,它是三角形的三条角平分线的交点。
三角形的内心与外心的区别如下:
名称
确定方法
图形
性质
外心
三角形三条边垂直平分线的交点
①到三角形三个顶点的距离相等,即OA=0B=OC;
②锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形外部
内心
三角形三条角平分线的交点
①到三角形三边距离相等,即OE=OF=OG;
②OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;
③三角形的内心一定在三角形内部
例4、如图,点I是△ABC的内心,点O是△ABC的外心,∠BOC=140°,则∠BIC的度数为()
A.140°B.125°C.130°D.110°
变式:
如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是点D、E、F.已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是()
A.55°B.60°C.65°D.70°
变式:
如图,已知⊙O分别切△ABC三边于点D、E、F,若∠A=70°,则∠EDF=_________.
知识点4切线长定理(重点)
切线长定义:
经过圆外一点引圆的切线,这点与切点之间线段的长度,称为这点倒这个圆的切线长。
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这点与圆心的连线平分这条切线的夹
角。
切线长定理体现了圆的轴对称性。
例5、如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是点A、B,若PA=8,C是
上的一个动点(点C与点A、B不重合),过点C做⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E,则△PED的周长是__________.
变式:
一个钢管放在V形架内,下图是其截面图,O为钢管的圆心。
如果钢管的半径为25cm,∠MPN=60°,则OP的长为_____________.
要点归纳
要点1圆的切线性质定理的应用
例1、如图,AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线,B、D为切点。
求证:
AD∥OC.
变式:
如图,⊙O的半径为2,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,PA=2,若AB为⊙O的弦,且AB=
,则PB的长为___________.
例2、如图,AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3,BE=7.
求:
(1)半圆O的半径;
(2)线段DE的长。
变式:
如图,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
求证:
(1)DF⊥AC;
(2)FC=FE.
要点2圆的切线判定定理的应用
例3、如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上一点,AB=AE,连结BE交圆O于点C,且AD⊥CD,DC的延长线交AB的延长线于点P.
(1)求证:
PD切⊙O于点C;
(2)当AB:
BP为何值时,△ABE为等边三角形?
并说明理由。
变式:
过⊙O外一点P作⊙O的切线PA,A为切点,⊙O上另有异于点A的点B,满足PB=PA,则下列说法正确的是()
A.PB与⊙O一定相交B.PB与⊙O一定相切
C.PB与⊙O可能相交D.PB与⊙O可能相切
变式:
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,过点A作AP∥BC,交BO的延长线于点P.
求证:
AP是⊙O的切线。
例4、如图,BE是⊙O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为点C,连结OD,且∠AOD=∠APC.
(1)
求证:
AP是⊙O的切线;
(2)若OC:
CB=1:
2,且AB=9,求⊙O的半径及
的值。
变式:
如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,点O在AB上,BD⊥AB,点B是垂足,OD∥AC,连结CD。
求证:
CD是⊙O的切线。
例5、如图,⊙O的直径AB=4,过点B的直线MN是⊙O的切线,D、C是⊙O上的两点,连结AD、BD、CD和BC.
(1)求证:
∠CBN=∠CDB;
(2)若DC是∠ADB的平分线,且∠DAB=15°,求DC的长。
变式:
如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,过点P的任一直线交⊙O于点B、C,连结AB、AC,连结PO并延长交⊙O于点D、E.
(1)求证:
∠PAB=∠ACB;
(2)若PA2=PD·PE,当PA=2,PD=1时,求⊙O的半径。
点击中考
1、(2013·辽宁盘锦)如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
2、(2013·山东泰安)如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是
的中点,则下列结论不成立的是()
A.OC∥AEB.EC=BCC.∠DAE=∠ABED.AC⊥OE
3、(2013·贵州黔西南)如图,AB是⊙O的直径,∠CDB=20°,过点C做⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于()
A.50°B.40°C.60°D.70°
4、(2013·湖北咸宁)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=
⊙O的半径为1,P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线PQ的最小值为___________.
5、
(2013·云南昭通)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求证:
AE是⊙O的切线。
6、
(2013·江西南昌)如图,在平面直径坐标系中,以点O为圆心半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是⊙O外一点,连结AP,直线PB与⊙O相切于点B,交x轴于点C.
(1)证明PA是⊙O的切线;
(2)求点B的坐标。
7、
(2013·贵州安顺)如图,AB是⊙O直径,D为⊙O上一点,AT平分∠BAD交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.
(1)求证:
CT为⊙O的切线‘
(2)若⊙O半径为2,CT=
,求AD的长。
8、(2013·山东聊城)如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E。
过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=
,BE=2.求证:
(1)四边形FADC是菱形;
(2)FC是⊙O的切线.
随堂练习
1、如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,E、F、G、H是切点,P是优弧上异于E、H的点。
若∠A=50°,则∠EPH=____________.
2、如图,点O是△ABC的内心,E、F、G分别是边AB、BC、AC上的切点。
若AB=6,BC=7,AC=5,则AE=___________,BF=____________,CG=_____________.
3、如图,∠APB=30°,圆心在边PB上的⊙O半径为1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向移动,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为___________cm.
4、如图,⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为_________.
5、如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P=________.
6、如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm。
如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么⊙P与直线CD相切时运动时间为()
A.4秒B.8秒C.4秒或6秒D.4秒或8秒
7、已知⊙O中,AC为直径,MA、MB分别切⊙O于点A、B.
(1)如图1,若∠BAC=25°,求∠AMB的大小;
(2)如图2,过点B作BD⊥AC于点E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小。
8、如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向300km的B处,并以每小时
km的速度向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域。
⑴A城是否受到这次台风的影响?
为什么?
⑵若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
9、如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E.AE=2,ED=4.
(1)求证:
△ABE∽△ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到点F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由。
10、如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM与于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF。
(1)求证:
OD∥BE;
(2)猜想:
OF与CD有何数量关系?
并说明理由。
课后作业
1、如图所示,A、B是⊙O上的两点,AC是⊙O的切线,∠B=70°,则∠BAC的度数为()
A.70°B.35°C.20°D.10°
2、如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于中点D,DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结论中:
①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=
AC;④DE是⊙O的切线.正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、如图,已知PA是⊙O的切线,A为切点,PC与⊙O相交于B、C两点,PB=2cm,BC=8cm,则PA的长等于()
A.4cmB.16cmC.20cmD.
cm
4、如图,AB是⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于点P,Q是AC的中点,连结PQ。
求证:
QP是⊙O的切线。
5、如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D。
求证:
(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC2=AB·AD。
6、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F。
已知OA=3,AE=2,求:
(1)CD的长;
(2)BF的长。
7、如图,PA切⊙O于点A,PC交⊙O于点B、C,M是弧BC的中点,AM交BC于点D.求证:
PA=PD.
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