高中数学《方程的根与函数的零点》导学案.docx
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高中数学《方程的根与函数的零点》导学案
3.1.1 方程的根与函数的零点
1.函数零点的概念
函数的零点:
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
注意:
函数的零点不是一个点,而是f(x)=0的根.
2.方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根⇔
函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔
函数y=f(x)有零点.
3.零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
注意:
(1)函数y=f(x)在(a,b)内有零点,f(a)·f(b)<0不一定成立.
(2)若连续不断的曲线y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0,y=f(x)在(a,b)内一定有零点,但不能确定有几个.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点.( )
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).( )
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.( )
答案
(1)×
(2)× (3)×
2.做一做
(1)(教材改编P88T1)函数f(x)=x2+3x的零点是________.
(2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,f
(2)·f(5)<0,则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________.
(3)已知函数y=f(x)的定义域为R,图象连续不断,若计算得f
(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,则可以确定零点所在区间为________.
答案
(1)0和-3
(2)1 (3)(1.25,1.5)
『释疑解难』
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且在两端点处的函数值f(a),f(b)异号,则函数y=f(x)的图象至少穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数根c.
(2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数.如图
(1)
(2),虽然都有f(a)·f(b)<0,但图
(1)中函数在区间(a,b)内有4个零点,图
(2)中函数在区间(a,b)内仅有1个零点.
(3)零点的存在性定理是不可逆的,因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点.但是,已知函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3),虽然在区间(a,b)内函数有零点,但f(a)·f(b)>0.
(4)如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
探究
求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
(4)f(x)=
.
解
(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)=
=0,得x=-6,所以函数的零点为-6.
拓展提升
求函数零点的方法
函数的零点就是对应方程的根,求函数的零点常有两种方法:
(1)令y=0,解方程f(x)=0的根就是函数的零点;
(2)画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点.
【跟踪训练1】 若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值,并求函数f(x)其余的零点.
解 由题意知f(-3)=0,
即(-3)2-3-a=0,a=6,
∴f(x)=x2+x-6.
解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
探究
判断函数零点所在的区间
例2 若a
A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析 ∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),
∴f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),
∵a
∴f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
答案 A
拓展提升
确定函数零点所在区间的方法
(1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,并且是否存在f(a)·f(b)<0,若存在,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)对于连续函数f(x),若存在f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点,反过来,若f(a)与f(b)不变号,而是同号,即不满足f(a)·f(b)<0,也不能说函数无零点,如f(x)=x2,f(-1)·f
(1)=1>0,但0是f(x)的零点.
【跟踪训练2】 根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的最小区间为________.
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
答案 (1,2)
解析 解题的关键是ex与x+2的差的符号,构造函数f(x)=ex-x-2,将求方程ex-x-2=0的根所在的区间转化为求函数的零点问题.令f(x)=ex-x-2,由表格中数据知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f
(1)=2.72-3=-0.28<0,f
(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由于f
(1)·f
(2)<0,所以根据表格,可知根所在的最小区间为(1,2).
探究
判断函数零点的个数
例3 f(x)=
的零点个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 解法一:
方程x+2=0(x<0)的根为x=-2,方程x2-1=0(x>0)的根为x=1,所以函数f(x)有2个零点:
-2与1.
解法二:
画出函数f(x)=
的图象,如图所示,观察图象可知,f(x)的图象与x轴有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.
答案 C
拓展提升
判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断.
(2)结合函数图象进行判断.
(3)借助函数的单调性进行判断.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点,如图所示.
【跟踪训练3】 判断下列函数零点的个数.
(1)f(x)=x2-
x+
;
(2)f(x)=lnx+x2-3.
解
(1)由f(x)=0,即x2-
x+
=0,
得Δ=
2-4×
=-
<0,
所以方程x2-
x+
=0没有实数根,
即f(x)零点的个数为0.
(2)解法一:
函数对应的方程为lnx+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下,作出两函数的图象(如图所示).
由图象知,函数y=3-x2与y=lnx的图象只有一个交点.从而方程lnx+x2-3=0有一个根,
即函数y=lnx+x2-3有一个零点.
解法二:
由于f
(1)=ln1+12-3=-2<0,
f
(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,所以f
(1)·f
(2)<0,
又f(x)=lnx+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,
所以f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个.
探究
函数零点的应用
例4 已知关于x的方程x2-2ax+4=0,在下列条件下,求实数a的取值范围.
(1)一个根大于1,一个根小于1;
(2)一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内.
解
(1)方程x2-2ax+4=0的一个根大于1,一个根小于1,设f(x)=x2-2ax+4,结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得f
(1)=5-2a<0,解得a>
.
(2)方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函数的图象与性质及零点的存在
性定理得
解得
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