李庆扬数值分析第五版第7章习题答案0824汇编.docx
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李庆扬数值分析第五版第7章习题答案0824汇编
第7章
复习与思考题
1•什么是方程的有根区间?
它与求根有何关系?
P213,若f(x)C[a,b]且f(a)f(b):
:
:
0,根据连续函数性质可知f(x)=O在[a,b]内至
少有一个实根,这时称[a,b]为f(x)=0的有根区间。
2•什么是二分法?
用二分法求f(x)=0的根,f要满足什么条件?
P213
一般地,对于函数f(x)=0如果存在实数c,当x=c时,若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)=0的零点。
解方程即要求f(x)=0的所有零点。
假定f(x)=0在区间(x,y)上连续,
先找到a、b属于区间(x,y),使f(a)f(b)<0,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求
f((ab)/2),现在假设f(a)<0,f(b)0,a
1果f((a•b)/2)=0,该点就是零点,如果f((ab)/2^:
:
0则在区间[(ab)/2),b]内
有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果f((ab)/2)£,则在区间[a,(ab)/2)]内有零点,从①开始继续使用中点函数
值判断。
3这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。
4从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3•什么是函数「(x)=0的不动点?
如何确定(x)使它的不动点等价于f(x)的零点
P215.
将方程f(x)=0改写成等价的形式x「:
(x),若要求x*满足f(x*)=0,贝yx*「:
(x*);反之亦然,称X*为函数(x)的一个不动点。
4•什么是不动点迭代法?
(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
(x)的不动点
P215
求f(X)=0的零点就等价于求(x)的不动点,选择一个初始近似值X0,将它代入X=「(X)
的右端,可求得
X1h%X°),如此反复迭代有
Xk1二(Xk),k=0,1,2,...,
(X)称为迭代函数,如果对任何X。
•[a,b],由xk卜h%xk),k=0,1,2,...得到的序列
〈Xk1有极限
X
-
m
KHk
则称迭代方程收敛,且X*=®(x*)为®(X)的不动点故称
Xkq二(Xk),k=0,1,2,...为不动点迭代法。
5•什么是迭代法的收敛阶?
如何衡量迭代法收敛的快慢?
如何确定
Xk1二「(Xk)(k=0,1,2,...)的收敛阶
P219
设迭代过程Xk1'h%Xk)收敛于(X)的根X*,如果当k>时,迭代误差
ek=xk-x*满足渐近关系式
—tC,C=const式0e/
则称该迭代过程是p阶收敛的,特别点,当p=1时称为线性收敛,P>1时称为超线性收敛,
p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6•什么是求解f(x)=0的牛顿法?
它是否总是收敛的?
若f(X*)=0,X*是单根,f是光
滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。
Xk1=Xk
f(Xk)
f(Xk)
牛顿法:
当|f(Xk)卜J时收敛。
7•什么是弦截法?
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法(减少了倒数的计算量)
8•什么是解方程的抛物线法?
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?
P229
设已知方程f(x)=0的三个近似根,Xk,Xk^,Xk^2,以这三点为节点构造二次插值多项式p
(x),并适当选取p2(x)的一个零点Xk卅作为新近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线
法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618,小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9•什么是方程的重根?
重根对牛顿法收敛阶有何影响?
试给出具有二阶收敛的计算重根方
法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法?
它每步迭代要调用多少次标量函数(计算偏导数与计算函数值相当)
11.判断下列命题是否正确:
(1)非线性方程(或方程组)的解通常不唯一(正确)
(2)牛顿法是不动点迭代的一个特例(正确)
(3)不动点迭代法总是线性收敛的(错误)
(4)任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法(正确)
(5)求多项式p(x)的零点问题一定是病态的问题(错误)
(7)二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解(错误)
(8)牛顿法有可能不收敛(正确)
(9)不动点迭代法Xk1=「(Xk),其中八(x*),若|「(X*)卜:
1则对任意处置x0迭代都收敛。
(对)
(10)弦截法也是不动点迭代法的特例(正确)
习题
1、用二分法求方程x2_x-1=0的正根,要求误差:
:
0.05。
[解]令f(x)=x—X-1,则f(0)=-1,f
(2)=1,所以有根区间为0,2;
又因为,所以有根区间为1,2;
f(1.5)=1.5-1.5-1--0.25,所以有根区间为1.5,2;
f(1.75)M752-1.75-1=5•0,所以有根区间为1.5,1.75;
16
1
f(1.625)=1.6252-1.625-10,所以有根区间为1.5,1.625;
64
f(1_L)=(1_L)2—1_L—1=_旦c0,所以有根区间为V9,1.625i;
161616256<16丿
取x、1(1915)J9=1.59375,
216832
191
这时它与精确解的距离:
:
:
(1.625-19)=<0.05。
21632
2.为求方程x-X2-1=0在X。
=1.5附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
1)X=11/x2,迭代公式Xk1=11/x";
2)x3=1x2,迭代公式Xk1=3、1•X:
;
3)x2-——,迭代公式Xk1=1/•:
Xk-1;
xT
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1)设®(x)=1+$,则®(X)=~~3,从而I®(1.5)1=|-了23=盘*1,所以
迭代方法局部收敛。
2)
珥1.5)|=
2
22—一勺.5(1+1.52)3
3
O1,所以迭代方法局部收敛。
设(x)=31X2,则:
(x)二彳x(1x2)3,从而
1(0.5)_2
2
所以迭代方法发散。
3J
4)设「(X)=x3—1,则:
(x)x2(x3—1)2,从而
319丄9
4(1.5)|=3".5(号)=住>1,所以迭代方法发散。
28<38
3.比较求ex•10x—2=0的根到三位小数所需的计算量:
1)在区间0,1内用二分法;2)用迭代法Xk.1=(2—exk)/10,取初值X0=0
从而X*=(2393)=185=0.090332,共二分10次。
225610242048
2eXk2e°2e0.1
2)使用迭代法xk厂,则治=-0.1,x2=.=0.0894829,
101010
23
f(23^e--141
256128
:
0,
有根区间为
_256,32
f(:
2)
47
=e512
277
256
有根区间为蠢5:
;
f(
93
1024)
93
1024
559
512
有根区间为
国].
_256,1024'
c0.0894829小0.0906391
2—e2—e
x30.0906391,x40.0905126,
1010
即x*=x4=0.0905126,共迭代4次。
4.给定函数f(x),设对一切x,f(x)存在且0:
:
:
m乞f(x)岂M,证明对于范围
0:
:
:
■:
:
:
2/M内的任意定数■,迭代过程xkd=x^'-:
-f(xk)均收敛于f(x)=0的根
*
x。
[证明]由Xk1二Xk-f(Xk)可知,令「(X)二X-f(X),贝厂(x)=1一f(x),又因
2
为0 格式收敛。 5.用斯特芬森迭代法计算第2题中 (2)和(3)的近似根,精确到10出。 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。 是埃特金加速方法与不动点迭代结合。 6.设: : (x)二x-p(x)f(x)-q(x)f(x),试确定函数p(x)和q(x),使求解f(x)=0 且以: (x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 (3)抛物线法,取X0=1必=3,x2=2 f(Xk)二Xk [解]1)XkXk-v、 f(Xk) x;_3xk_12x3+1 3xk-3「2x“2, 3x: -3' Xi 3 221 322-3 J7=1.888889, 9 10555 5616「.87945,迭代停止。 Xk1二Xk f(Xk) 2) (Xk f(Xk)-f(Xk」) xk-3xk-1 -3xk_1)_(xk」3xkJ _1严") XkXkj(Xk-Xkj)-1 22 XkXkXkjXk」-3 Xi =1.9,x2 1.92(1.92)■1 -22~ 1.91.922-3 15.82 8.41 1582 841 =1.881094 X3 1582 汉1.9沢(+1.9)+1 841841 (1582)215821.9.1.92_3 841841 2 9558143.42841 1582 迭代停止。 "1582215821.98410.618412 J026542442=1.879411546204321 3)Xk1二Xk_ f(Xk) .2,其中 灼士普—4f(Xk)f[Xk,Xk』Xk』 =f[xk,xk4]f[xk,xkxk』(xk-xk4),Xo=人X1=3,X2=2 f(X0)=-3,f(X1)=17,f(X2)=1,f[X0,X1]: X1—X0 17十—0, 3-1 f[X2,X1]戸 f(X2)-f(xj X2_X1 一仃吨, 2-3 f[Xo,X1,X2】 f[X1,X2]- f[Xo,X1] X2_Xo 16一10=6,0=16+6(2-3)=10, 2-1 10102-4162 1 -1.9465745,下略。 10、76 8.分别用二分法和牛顿法求x-tanx=0的最小正根。 解: 0是函数的一个根,0〜二时,x单调递增,tanx单调递减,趋于负无穷。 2 在此区间内,函数没有根。 所以,最小正根大于-. 2 当x接近且大于二时,函数值为正,当x接近且大于时,函数值为负。 因此, 22 最小正根区间为(二,),选择x仁2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6,函数22 值为4.260>0 按二分法计算,略,x*=4.493424。 按牛顿迭代法,其迭代公式为 f(&)轨—tanx/ Xk1—XkXk… f(xk)(1-ctanxk),取初始值x=4.6,得x^4.493424 9.研究求/a的牛顿公式Xk1」(xk•a),X。 .0,证明对一切k=1,2,…, 2Xk xk_a且序列x1,x2/是递减的。 证: 减的。 10.对于f(x)=0的牛顿公式xk厂xk-f(xk)/f(xk),证明 r\**、.* Rk=(Xk-Xk」)/(Xk丄「XkR收敛到-f(x)/(2f(x)),这里x为f(x)=0的根。 证: 2Rk=(&-Xk4)/(Xk4-XkQ=-f(XkJ/f(Xk4)-(-f(X2)/f(Xk』2 2R1二区1-Xk)/(Xk-Xk"_-f(xj/f"(xj 「(-f(x」/fD2 、2 11.用牛顿法(4.13)和求重根迭代法(4.14)计算方程f(x“sinx—2的一个近似根,准确到10^,初始值Xo二二 2 xk1-xk-m f(Xk) f(xQ 二xk sinXk Xk sinx「Xk< k2 COSXk 牛顿法(4.13),m=2 需要计算到10出,取二=3.1415926。 x*=x⑺=1.8955 求重根迭代法(4.14) f(xQf(xQ Xk1二Xk-2 [f(Xk)]-f(Xk)f(Xk) 2 (sinx—0.5x)(2(sinx—0.5xcosx—0.5)) 注: matlab编程计算得出的结果。 12. 应用牛顿法于方程x3-a=0,导出求立方根3a的迭代公式,并讨论其收敛性。 3xk 3 Xk_a—Xk 3Xk2 13.应用牛顿法于方程f(x)=1一勒=°,导出求石的迭代公式,并求J15的 x 值。 <3axk2-1" 3axk-k I2axk‘ I2a丿 二Xk =Xk Xk 2aXk 3Xk3 k… 22a x°=1° X1=10.6522令X2=10.7231 x3=10.7238 x4=10.7238 f(Xk)Xkn—a Xk1讥「f(兀厂忑一nxL (n-1)Xkna n-1a Xkn4 (n-1) Xk n (需-xQ n-4 nxk 2 =lim字…) kj-2(na-Xk)nx: %'aXk十 nnxk (n-1) =lim一即严——=lim厂 k—"2n[nnax: -(n1)x: ]k—'2[nna-(n1)Xk] (n-1)「_1-』 2[nna-(n1)na]2na f(x^1xn0的迭代公式 f(Xk)1-aXk_ Xk1=XkXkn1 f(Xk)naxk一 (n1)aXk--1 n1 naxk-- n1xk Xk… nna ln厂(n+1)axk—Xk"_ a-xk1nanaa-(n1)axkxk lim2=lim2二lim2- kY(Va—Xk)kY(^a—Xk)jna(Ja—Xk) -(n+1)a+(n+1)x: (n+1)(x: -a)(n+1)nx: -1 =limlimlim kY-2na(2a_xk)^^-2na(需一xk)2na nA (n1)ann1二2a\na 16.用抛物线法求多项式p(x)=4x4-10x31.25x5x1.5的两个零点,再利用 降阶求出全部零点。 在(0.4,0.7)t 附近有一个解,构造一个不动 17.非线性方程组曲严2: 0 )3xjX2~'X1-d=0 点迭代法,使它能收敛到这个解,并计算精确到10』(按*: : ) X2y2=1T 18.用牛顿法解方程组2y2取x(0)=161.2T X一讨1 [解]1)使用二分法,令f(x)二ex・10x—2,则 f(0H-1,f (1)=e8,有根区间为0,11;f(0.5)=e0.530,有根区间为0,0.5〕; f(0.25^e0.250.50,有根区间为0,0.25〕; f(0.125)=e0.125-0.750,有根区间为0,0.125】; 1-13 陀八宀訂-。 .5605°有根区间为
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