函数的对称性与函数的图象变换总结.ppt
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函数的对称性与函数的图象变换总结.ppt
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函数的对称性函数的对称性函数的对称性函数的对称性有些函数有些函数其图像有着优美的对称性,其图像有着优美的对称性,同时又有着优美的对称关系式同时又有着优美的对称关系式1-3-1-2165432-xx78(偶函数)(偶函数)Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称知识回顾知识回顾l从从”形形”的角度看,的角度看,l从从“数数”的角度看,的角度看,f(-x)=f(x)XY1-3-1-216543278f(x)=f(4-x)f
(1)=f(0)=f(-2)=f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称f(3)f(4)l从从”形形”的角度看,的角度看,l从从”数数”的角度看,的角度看,xy-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1f(-1+x)=f(-1-x)思考思考?
若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称f(x)=f(-2-x)Yxly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称f(x)=f(-x)特例:
特例:
a=0轴对称性轴对称性思考?
思考?
若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于对称对称a+b2x=直线直线-xxxyof(-x)=-f(x)y=f(x)图像关于图像关于(0,0)中心对称中心对称中心对称性中心对称性类比探究类比探究al从从”形形”的角度看,的角度看,l从从”数数”的角度看,的角度看,f(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyoal从从”形形”的角度看,的角度看,l从从”数数”的角度看,的角度看,中心对称性中心对称性类比探究类比探究a+xa-xy=f(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称baf(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心对称性中心对称性y=f(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称类比探究类比探究xyo思考?
思考?
(1)若若y=f(x)满足满足f(a-x)=-f(b+x),
(2)若若y=f(x)满足满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于对称对称a+b2(,0)点点则函数图像关于则函数图像关于对称对称a+b2(,C)点点-xx函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称f(-x)=f(x)函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称f(a-x)=f(a+x)x=af(x)=f(2a-x)函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称f(-x)=-f(x)f(a-x)=-f(a+x)f(x)=-f(2a-x)轴对称轴对称中心对称性中心对称性a练习练习:
(1)若若y=f(x)满足满足f(-2-x)=f(-2+x),则函数图像关于则函数图像关于对称对称
(2)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=f(4+x)(4)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=-f(4+x)(3)若若y=f(x)满足满足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=3-f(4+x)函数图象是研究函数图象是研究函数的重要工具函数的重要工具,它能它能为所研究函数的数量为所研究函数的数量关系及其图象特征提关系及其图象特征提供一种供一种”形形”的直观的直观体现体现,是利用是利用”数形结数形结合合”解题的重要基础解题的重要基础.描绘函数图象的两种基本方法描绘函数图象的两种基本方法:
描点法描点法;(通过列表通过列表描点描点连线三个步骤完成连线三个步骤完成)图象变换图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与即一个图象经过变换得到另一个与之相关的函数图象的方法之相关的函数图象的方法)函数图象的三大变换函数图象的三大变换平移对称对称伸缩伸缩问题问题1:
如何由:
如何由f(x)=x2的图象得到下列各函的图象得到下列各函数的图象?
数的图象?
(1)f(x-1)=(x-1)2
(2)f(x+1)=(x+1)2(3)f(x)+1=x2+1(4)f(x)-1=x2-1Oyxy=f(x-1)y=f(x+1)y=f(x)-1y=f(x)+1函数图象的平移变换:
函数图象的平移变换:
左右平移左右平移y=y=f(xf(x)y=y=f(x+af(x+a)a0,向左平移a个单位a0,向右平移|a|个单位上下平移y=y=f(xf(x)y=y=f(x)+kf(x)+kk0,向上平移k个单位11-1-1同步练习同步练习:
若函数若函数f(x)恒过定点恒过定点(1,1),则函数则函数f(x-4)-2恒过恒过定点定点.若函数若函数f(x)关于直线关于直线x=1对称对称,则函数则函数f(x-4)-2关于直线关于直线对称对称.(5,-1)x=5问题问题2.设f(x)=(x0),求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)的解析式及其定义域,并分别作出它们的图象。
xxyo1y=f(x)xxyo1y=f(x)xxyo1y=f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=-f(-x)对对称称变变换换
(1)y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于对称;对称;
(2)y=f(x)与与y=-f(x)的图象关于的图象关于对称;对称;(3)y=f(x)与与y=-f(-x)的图象关于的图象关于对称;对称;x轴y轴原点练习:
说出下列函数的图象与指数函数练习:
说出下列函数的图象与指数函数y=2y=2xx的的图象的关系,并画出它们的示意图图象的关系,并画出它们的示意图.
(1)y=2-x
(2)y=-2x(3)y=-2-xOyOyOy11-11-1xxx1.函数函数y=f(-x)与函数与函数y=f(x)的图像关于的图像关于y轴对称轴对称2.函数函数y=-f(x)与函数与函数y=f(x)的图像关于的图像关于x轴对称轴对称3.函数函数y=-f(-x)与函数与函数y=f(x)的图像关于原点对称的图像关于原点对称4.函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(2a-x)的图像关于直线的图像关于直线对称对称函数图象对称变换的规律函数图象对称变换的规律:
思考思考:
“函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(2a-x)的图像关于直线的图像关于直线x=a对称对称”与与“函数函数y=f(x)满足满足f(x)=f(2a-x),则函数则函数y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称”两者间有何区别两者间有何区别?
对称变换是指对称变换是指两个两个函数图象之间的对称关系函数图象之间的对称关系,而而”满足满足f(x)=f(2a-x)或或f(a+x)=f(a-x)有有y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称”是指是指一个一个函数自身的性质属性函数自身的性质属性,两者不可混为一谈两者不可混为一谈.x=a问题问题3:
分别在同一坐标系中作出下列各组函:
分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象,并说明它们之间有什么关系?
数的图象,并说明它们之间有什么关系?
(1)y=2x与与y=2|x|Oxy由由y=f(x)的图象作的图象作y=f(|x|)的图象:
的图象:
y=2x保留保留y=f(x)中中y轴右侧部分,轴右侧部分,再加上再加上y轴右侧部分轴右侧部分关于关于y轴对称轴对称的图形的图形.1y=2|x|Oyx-414-1由由y=f(x)的图象作的图象作y=|f(x)|的图象:
的图象:
保留保留y=f(x)在在x轴轴上方部分,再加上上方部分,再加上x轴轴下方部分关于下方部分关于x轴轴对称到上方的图形对称到上方的图形函数图象的对称变换规律:
函数图象的对称变换规律:
(1)y=f(x)y=f(x+a)a0,a0,向左平移向左平移aa个单位个单位a0,a0,k0,向上平移向上平移kk个单位个单位k0,k0,向下平移向下平移|k|k|个单位个单位
(1)y=f(x)与与y=-f(x)的图象关于的图象关于对称;对称;
(2)y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于对称;对称;(3)y=f(x)与与y=-f(-x)的图象关于的图象关于对称;对称;函数图象的平移变换规律:
函数图象的平移变换规律:
(4)(4)由由y=y=f(xf(x)的图象作的图象作y=y=f(|xf(|x|)|)的图象:
保留的图象:
保留y=y=f(xf(x)中中部分,再加上这部分关于部分,再加上这部分关于对称的图对称的图形形.(6)(6)由由y=y=f(xf(x)的图象作的图象作y=|y=|f(xf(x)|)|的图象:
保留的图象:
保留y=y=f(xf(x)中中部分,再加上部分,再加上xx轴下方部分关于轴下方部分关于对对称的图形称的图形.x轴轴y轴轴原点原点yy轴右侧轴右侧yy轴轴xx轴上方轴上方xx轴轴左右平移练习:
已知函数y=f(x)的图象如图所,分别画出下列函数的图象:
yox1-1-212-0.5
(1)y=f(-x);
(2)y=-f(x).yox1-1-212-0.5y=f(-x)yox-1-1-2120.5y=-f(x)(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.练习:
已知函数y=f(x)的图象如图所,分别画出下列函数的图象:
yox1-1-212-0.5
(1)y=f(-x);
(2)y=-f(x).(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.yox1-1-212-0.5yox1-1-212-0.5y=f(|x|)y=|f(x)|例例1.将函数将函数y=2-2x的图象向左平移的图象向左平移1个单位,再作关于个单位,再作关于原点对称的图形后原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式求所得图象对应的函数解析式.y=2-2xy=2-2(x+1)-y=2-2(-x+1)y=-22x-2向左平移向左平移1个单位个单位关于原点对称关于原点对称x换成换成-xy换成换成-yx换成换成x+1例例2.已知函数已知函数y=|2x-2|
(1)作出函数的图象;)作出函数的图象;
(2)指出函数)指出函数的单调区间;的单调区间;(3)指出)指出x取何值时,函数有最值。
取何值时,函数有最值。
Oxy3211-1y=2xy=2x-2y=|2x-2|y=|2x-2|例例2.已知函数已知函数y=|2x-2|
(1)作出函数的图象;)作出函数的图象;
(2)指出函数)指出函数的单调区间;的单调区间;(3)指出)指出x取何值时,函数有最值。
取何值时,函数有最值。
Oxy3211-1y=|2x-2|1函数f(x)ln|x1|的图像大致是()解析:
函数f(x)ln|x1|的图像是由函数g(x)ln|x|向右平移1个单位得到的,故选B.答案:
B答案:
C4使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A(1,0)B1,0)C(2,0)D2,0)解析:
作出ylog2(x),yx1的图像知满足条件的x(1,0)答案:
A易错点一对“平移”概念理解不深导致失误【自我诊断】把函数ylog2(2x3)的图像向左平移1个单位长度得到函数_的图像解析:
由题意,得所求函数解析式为ylog22(x1)3log2(2x1)答案:
ylog2(2x1)易错点二判断图像的对称性失误【自我诊断】设函数yf(x)的定义域为R,则函数yf(x1)与yf(1x)的图像关于()A直线y0对称B直线x0对称C直线y1对称D直线x1对称解析:
方法一:
设(x1,y1)是yf(x1)图像上任意一点,则y1f(x11),而f(x11)f1(2x1),说明点(2x1,y1)定是函数yf(1x)上的一点,而点(x1,y1)与点(2x1,y1)关于直线x1对称,所以yf(x1)的图像与yf(1x)的图像关于直线x1对称,所以选D.方法二:
函数yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称,yf(1x)f(x1)把yf(x)与yf(x)的图像同时都向右平移1个单位长度,就得到yf(x1)与yf(1x)的图像,对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x1,故选D.方法三:
(特殊
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- 函数 对称性 图象 变换 总结
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