几何模型一线三等角模型.docx

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几何模型一线三等角模型

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一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类

全等篇

CD

DCC

APBAPBA

D

PB同侧

锐角

D

直角

D

钝角

D

A

B

P

A

P

B

A

B

P

C

相似篇

C

AP

锐角

D

C

D

D

CC

BAPBA

直角

D

C

异侧

D

P

B

同侧

钝角

D

A

B

C

P

A

BP

C

A

B

C

P

异侧

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三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图3-2

，当∠1=∠2=∠3，且

D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式

（了解）

如图3-3

，当∠1=∠2且BOC90

1

BAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构

2

造“一线三等角”.

如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

BOC

90

1

BAC这是内心的性质，反之未必是内心.

在图3-4

2

BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心.

（右图）中，如果延长

5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图3-5

其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？

不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

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四、“一线三等角”的应用

1.“一线三等角”应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.

体会：

感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角

或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

3.构造一线三等角的步骤：

找角、定线、构相似

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。

两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.

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解题示范

例1如图所示，一次函数yx4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上

一个动点（不包括A、B两端点），C是线段OB上一点，∠OPC=45°，若△OPC是等腰三角形,求点P的坐标.

例2如图所示，四边形ABCD中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC于E，∠

ADE=67.5°，AB=6,则CE=.

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例3如图，四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC

的长.

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例4如图，△ABC中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD的长.

一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，

比例不能少.巧设未知数，妙解方程好

还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

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例5如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AC=2AB,AD⊥AC交BC于点D，若AD=2，

求△ABC的面积

当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.

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大练身手：

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例7：

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．

y

B

D

E

COAx

例8：

如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC＝2AC，点P是抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；

（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．

y

B

C

A

Ox

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练1：

.如图，抛物线的顶点为C（－1，－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为－3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐标；

（3）若点E的坐标为（0，2），点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE＝45°？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

B

E

AOx

C

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课后作业：

如图，点A（0,-1）,B（3,0）,P为直线y=-x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标

在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.

如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：

BE+GC=3BC

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如图，△ABC△DBA,且AC=2BC,求证:

CD=2AB.

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长

如图，点A是反比例（X＞0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0，2），点△ABC是等边三角形时，求点A的坐标.

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2

＋

＋

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

如图，抛物线y＝ax

bx4

直线l：

y＝－

1

7

），点P是直线l上方的抛

2x＋m

经过点A，与抛物线交于另一点

D（5，－2

物线上的动点，连接PC、PD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）设△PCD的面积为S，请你探究：

使S的值为整数的点P共有几个，说明理由．

y

C

l

AOBx

D

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1.如图

y

4

x222

交于点A（3，6）.

1,已知直线y=kx与抛物线

27

3

（1）求直线y=kx的解析式和线段

OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点

过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不

重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：

线

段QM与线段QN的长度之比是否为定值？

如果是

求出这个定值,如果不是,说明

理由；

（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点

点E在线段OA上（与点O、A不重

合）,点D（m，0）是x轴正半轴上的动点

且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探

究：

m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是

1个、2个？

y

P

y

A

A

E

Q

N

B

O

M

x

OD

x

图1

图2

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2

如图，直线AC：

y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）

过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标；

yy

CC

OABxOABx

备用图

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