高考数学北师大版理科 第3章第7节 正弦定理和余弦定理学案.docx

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高考数学北师大版理科第3章第7节正弦定理和余弦定理学案

第七节　正弦定理和余弦定理

[考纲传真]　（教师用书独具）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

（对应学生用书第61页）

[基础知识填充]

1．正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

＝

＝

＝2R.（R为△ABC外接圆半径）

a2＝b2＋c2－2bc·cosA；

b2＝c2＋a2－2ca·cosB；

c2＝a2＋b2－2ab·cosC

变形形式

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

（2）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

（3）sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

cosA＝

；

cosB＝

；

cosC＝

2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA＜a＜b

a≥b

a＞b

解的个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形常用面积公式

（1）S＝

a·ha（ha表示边a上的高）；

（2）S＝

absinC＝

acsinB＝

bcsinA；

（3）S＝

r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．

[知识拓展]

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．

2．合比定理：

＝

＝2R.

3．在锐角三角形中①A＋B＞

；②若A＝

，则

＜B，C＜

.

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．（　　）

（2）在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．（　　）

（3）在△ABC中，若A＝60°，a＝4

，b＝4

，则B＝45°或135°.（　　）

（4）在△ABC中，

＝

.（　　）

[解析]　

（1）正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．

（2）错误．由cosA＝

＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．

（3）错误．由b＜a知，B＜A．

（4）正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．