二重积分习题.docx

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二重积分习题

第九章二重积分

习题9-1

1、设/,=JJ（x2+y2）\/cr,

其中^={（^^）1-1<^<1-2<>-<2};

又/2=ff（x2+/）3J

d2

其中D2={Uy）IO

试利用二重积分的几何意义说明/,与12之间的关系.

解：

由于二重积分1}表示的立体关于坐标面x=0及）•，=0对称，且Z,位于第一卦限部分与/2—致，因此/,=4/2.

2、利用二重积分的几何意义说明：

⑴当积分区域D关于y轴对称,/（x,y）为x的奇函数即/（-x,y）=-/（x,y）时，有］J/（x,y）〃b=O;

D

（2）当积分区域D关于,y轴对称J（x,〉，）为x的偶函数，即/（-x,y）=/（x,y）时，有JJ7（x,y）db=2口/（x,,其中D为D在.V>0的部分.

DD,

并由此计算下列积分的值，其中D={（x,y）\x2+y2

（I）jjxy\la；（II）jj-x?

-y2da;DD

3

解：

令Z=jJ/（x,y）d6/严JJ7（如刃〃6其中。

为D在x>0的部分，

DD,

（1）由于D关于y轴对称,/（x,刃为x的奇函数，那么I表示的立体关于坐标面工=0对称，且在x>0的部分的体积为人，在xv0的部分的体积为-1｝，于是/=0;

⑵由于D关于y轴对称,/（x,y）为x的偶函数，那么/表示的立体关于坐标面x=0对称，且在x>0的部分的体积为厶，在x<0的部分的体积也为，于是丿=2人.

（I）由于D=｛（X,y）IX2+y2

于是卜仏=0;

D

（II）由于£>=｛（x,y）l-v2+/

2）关于x轴对称，且

/（x,y）=yjHy为）,的奇函数，于是Jjy^R2-x2-y2da-=0;

D

（III）由于D=｛（x,y）IF+y2<^｝关于X轴对称，且/（x,y）=>'严,

1+疋+）厂为y的奇函数于是JJJ：

：

｝仏=0•

3、根据二重积分的性质上匕较下列积分的大小：

⑴人=JJ（x+y）2〃b与Z2=jj（兀+刃3"6其中D是由X轴、y轴与直线

DD

x+y=1所围成；

解：

由于在D,Ovx+yV1,有Ov（x+y）'v（x+y）［所以

/2=JJ（x+y）'〃b<

DD

（2）；!

=^h\（x+y）da^I2=^[]n（x+y）fda-t

DD

其中D={（x5y）l3

解:

由于在<3vx+y<6,有ln（x+y）>l,In（x+y）v[ln（x+y）F，所

人=JJln（x+y）d（y

DD

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：

⑴/=jjxy\x+y+l）〃b,

D

其中D={（x>y）\0

解：

由于D的面积为2,且在£>,0<心（尤+〉，+1）<8,那么

0=0x2

D

⑵/=0+对+9）〃6

D

其中D={（x,y）l-^2+/<4）；

解：

由于D的面积为4龙，且在Q,

93+4于+9S13+3y2<25,那么

36/r=9x4/rvJJ（x2+4y2+9）db<25x4^=100^.

Dd（y

100+cos2x+cos2y

其中D={（x,y）\lxl+1jl<10};

解：

由于D的面积为200,且在D,

竺=型可學—v型=2.

51102JJ100+cos2x+cos2y100习题9-21、计算下列二重积分：

⑴JJ（/+y2）db具中D是矩形区lxl

解：

JJ（A-2+r）db=£述（x2+y2）dy=（x2+^）dx=|.

d--■33

（2）JJdcr『其中D={（x,y）Ia

y2=jdx^（xyex~'）dy=—（e（i'~el）£xexdx.

d'2

D

解：

JJ（/+

D

1/少匕2,C2、

=-（e-e）（e-e）・

4

⑶Jj（3x+2y）〃b,具中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；

20

T

D

解：

||（3a+2y）da=[〃寸「（3j+2y）dy=]（4+2x-lx'）（lx=D

区域.

解：

||.rcos（j+y）da=Jdx|\rcos（.r+y）dy=J.r（sin2x-sinx）dx=

八0d22、画出积分区域，并计算下列二重积分：

⑴jjx辰6其中D是由两条抛物线.V=坂,y=X2所围成的闭区域；D

解:

JJx*db=$dx^Xy^dy=|j^（xz+x4）dx=善•⑵j]F其中D是由直线_y=x,y=2x及x=1,x=2所围成的闭区域；解:

肿沧叮忒診=却：

皿丐.

⑶JJ（2x+y）〃6其中D是由y=x,y=-及y=2所围成的闭区域；

DX

解：

JJ（2兀+）'）血（2x+y）dx=f（2y2t-=普•

dyy°⑷JJ严〉〃才其中£）是由IxI+1yIS1所确定的闭区域.

D

解：

JJ*严db=『；心严'心+£心「:

e'^dy

=f（^2v+l一『）dx+「（e—戶t）Jx=--—+-+—=e--JtJo2N22e£

a:

=0・・l;

b:

=x-l..-x+l;

f:

=exp（x+y）;

int（f,y=b）;

int（int（ty=b）fx=a）;

simplifyC'）;

3、如果二重积分的被积函数/（x,y）是两个函数⑴及

D

f2（y）的乘积，即/（x,y）=/i（x）/2（y），积分区域

D={（x,y）^<-v<^c

JJ7（x,y）〃b=『fx[ff2（y）dy.

证明：

=j\x,y'）dx=^'dx^久⑴/；。

）®

D

=J：

f、a）[J：

f2（y）心]dx=[J：

⑴心]•『▲（y）心]

4、化二重积分I=JJ/（x,y）da-为二次积分（分别列出对两个变呈先后次序

D

不同的两个二次积分）,其中积分区域D是：

（1）由曲线y=lnx、直线工=2及x轴所围成的闭区域；

图形〉

plot（[ln（x）,0,[[2,0],[2Jn

（2）]]],x=0..2,y=0..0.8,color=l）;

「2rln.vfin2『2

解吐/（匕刃dy=£dy^J^y^dx.

⑵由y轴及右半圆x=—b所围成的闭区域；

图形A

plot（[（l-xA2）A（l/2）f-l*（l-xA2）A（l/2）]/x=0..1/color=l）;

解：

I=TdxV

⑶由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成的闭区域.图形〉plot（[xA2,3-2*x]/x=-3..1/color=l）;

（1）

>“y）？

耦二Hvvdy.（AAKyKx」

解：

I=j\/x£nr/（x,y）J>'.

解：

/=f厶匸:

f（x,y）dy.

■

（4）j/x£/（x,y）dy+/（x,y）dy;

・■€（？

A.SECI^VVelp

SH」O一szd.oHXsl:

丄dro2d50、x）u¥・（x）£SD-5_dAl二pfai（s）

SH」0_CDT・OHA7・・OHX・xxCMD10_dAB•«迢S-WIR宅懸低V+HH（iW）Q理酌

”昊xHi7Hi+x述Mfflaw凶Egt逅1C腆®*®，9

•xx?

）；=pT+

II

uh」o_o:

>7・・ohxUCT7二0750二）vx&cnrcvx-x&mo-dA论回

（9）

解：

m=p（x,y）e/cr=|''（x2+y2）dx

aa283、,4

=比_幼+4*_卫）心=亍

7、求由平面x=0,y=0,z=1,x+y=1及z=1+x+y所围成的立体的体积.图形〉with（plo⑸:

A:

=plot3d（[xyl],x=0・ly=0・・l-x）:

B:

=plot3d（[x/l-x/z]rx=0..1/z=1..2）:

F:

=plot3d（[x/0/z]/x=0..1/z=l..l+x）

■

■

G:

=plot3d（[0/y/z]/y=0..l/z=l..l+y）:

H:

=plot3d（[xry,l+x+y]/x=0..1fy=

0..1-X）:

display（{A,B,F,G,H},grid=[25,20]/axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR）;

解：

U=JJ[（l+x+y）j】db=f城'（x+y）dy=1j'（1-a2）Jx=|.

d23

&为修建高速公路，要在一山坡中辟岀一条长500〃?

盍20m的通道，据测星,以出发点一侧为原点，往另一侧方向为x轴（0

图形〉plot3d（10*sin（Pi*y/500）+sin（Pi*x/2O）,y=O..5OO,x=O..2O）;

解：

V=J|zclb=J（10siny+sin寿x）dy=70028.

9、画出积分区域，把积分/=jj/（%,y）db表示为极坐标形式的二次积分，其

D

中积分区域D是:

（l）£）={（x,y）lx2+y2<«\x>0}（a>0）；

图形〉plot（[（l-xA2）A（l/2）r-（l-xA2）A（l/2）]rx=0..1fcolor=l）;

解：

I=f（rcos^rsm0）rdr.

（2）D={（x9y）\x2+y2<2y};

图形〉plot（[l+（l-xA2）A（l/2）rl-（l-xA2）A（l/2）Lx=-l..l#color=l）;解：

x2+y2=2y<=>i2=2rsin&Or=2sin&于是

I=jf（rcos^,rsin0）rclr・

（3）D={（x,y）l/

图形〉plot（[（l-xA2）A（l/2）r-（l-xA2）A（l/2）f

（4-xT）八（1/2）厂（4吠八2）八（：

1/2）]"—2・2810「“）;

（4）D={（x,y）IO

图形aplot（[xA2,[[lf0],[l,l]]],x=0..1,color=l）;

解：

y=x‘Orsin^=r2cos2^<=>厂=sec&tan&,

x=\<=>rcos^=1<=>r=sec0于是

10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

⑴何心刃心;

图形〉plot（[[0r0]/[0/l]Jl/l]/[lr0]/[0/0]]/color=l）;

解：

x=\<=>厂cos&=1<=>r=sec^,

y=1<=>rsin^=1<=>广=csc&,于是

N出£sc&

If（rcos^rsiii6）rdr+^d0^f（rcos^,rsin0）rdr・⑵（dx^~X'f^x2+y2）dy；

图形〉plot（[（l-xA2）A（l/2）fl-x]/x=0..1rcolor=l）;

解：

y=1—兀<=>广sin&=1—rcos^<=>r=!

，于是

sin&+cos&

/=^4'»f（r）rdr.

sintf+costf

11.

把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：

图形〉plot（（2*x-xA2）A（l/2）fx=0..2/color=l）;

解：

y=^2ax-x1<=>rsin^=^2nrcos^-r2cos2<=>r=2cicosOt

于是/=[r3dr=cos40=-7Hi\

图形〉plot（[3A（l/2）*x/x]/x=0..1/color=l）;

解：

x=\<=>厂cos&=l<=>厂=sec。

■于是

F创Z'J"++丘严匸V^x2+y2dy.

图形〉plot（[3A（l/2）*x/3z（l-xA2）A（l/2）]/x=0..1ry=0..0.5,color=l）;解：

x=l<=>rcos^=1<=>r=sec。

于是

/=rdr=—JO=—a\

JoJo3Jo18

12.利用极坐标计算下列各题：

⑴JJ、〔RSb，其中D为圆域x2+y20）；D

图形〉plot（[（x-xA2）A（l/2）r（x-xA2）A（l/2）]/x=0..1/color=l）;解：

x2+y2=Rx<=>r2=RrcosOOr=Rcos0r于是

I二£闻：

2J"-八Mr二gR'5-》

2

⑵|Jln（l+/+y2）dcrf其中D为圆疋+y2=1及坐标轴所围成的在第一象D

限的闭区域；

图形〉plot（（l-xA2）A（l/2）,x=0..1/color=l）;

解：

/=F〃&J：

ln（l+7J）u“=?

（21n2-l）.

⑶||arctan-e/cr，其中D为圆周x2+y2=\tx2+y2=4及直线DX

y=o,y=X所围成的在第一象限的闭区域.

图形〉plot（[（l-xA2）A（l/2）/-（l-xA2）A（l/2）f

■严I=“（£+g-申乙）J=xp{S+zx）"J®J=/：

搦

f（T=JO|OD/£"0=X,£-0=x/[[l，0]/[E?

],[S/£],[l,T],[l，0]]）lo|d<纽囿

:

何因因阴樂国a

塑（0vu）%=KF=«力+x=爪T=A第亘甲舌Q出旨Q"Q（+产）口（£）•占9-="丿I"化;役J=/:

搦

r（T=JO|Oor7-=x*[（?

/T）vVx-t7）-*（?

/T）V（2Vx-t7）

'（乙/Dv（乙vX-D-'（乙/Dv（乙vx-i）]））o|dv擁

a

'严">/+猶El纽匕團者a申茸'qp/+片wsJJ⑵

：

（T=JO|O37-，0=A?

-0=xl[fc7J/k/T?

]]/x/T/x]）lO|dv飓

Ka

:

如因回凹樂国％I=心羽聊氐r=«z=x算阜者a出肖eff（i）

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凰号fi&Q蘆44四兩阴宗虫封热'ST

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搦

t戸£7

：

（T=jO|O3/（?

/T）vr0=A7，T-=x

WZ/l）v（?

vx-fr）-X3/T）v（?

vx-|7）

图形〉plot（[（l-xA2）A（l/2）r-（l-xA2）A（l/2）f

（4-xA2）A（l/2）,-（4-xA2）A（l/2）],x=-2..2,color=l）;解：

/=dG^（1-r2）rdr+f"f（r2_1）几"=吕+等=5/r.

14.计算以xOy面上的圆周x2+y2=处围成的闭区域为底，而以曲面Z=疋+尸为顶的曲顶柱体的体积.

图形〉plot（[（x-xA2）A（l/2）r（x-xA2）A（l/2）]/x=0..1/color=l）;解：

x2+y2=ax<=>r1=arcosO<=>/=ccos&■于是

15、某水池呈圆形，半径为5米，以中心为坐标原点，距中心距离为厂处的水深为丄r米，试求该水池的蓄水呈.

1+厂

图形〉plot（[（x-xA2）A（l/2）f-（x-xA2）A（l/2）]fx=0..1/color=1）;

解：

U=do[;z/r=5^-（1112+11113）=16.29（米3）.

16、讨论并计算下列广义二重积分：

⑴JI肇厂其中D={（x,y）l®ni,xni}；

oxy

「yoii-4-xip-q>oi

解：

心』〃叫E—

即当p>q>\时，广义二重积分收敛，且

/=!

.

（9一1）（"一Q）

其中D={（x,y）lx2+r>l}；

“f-x12p-\>\兀

解:

/=Ldei严〃==丙・

即当p>1时，广义二重积分收敛，且I=—.

”一1