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三角形培优练习题
1已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
2已知:
BC=DE,/B=/E,/C=/D,F是CD中点,求证:
A
3已知:
/1=/2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
4已知:
AD平分/BAC,AC=AB+BD,求证:
/B=2/C
5已知:
AC平分/BAD,CE丄AB,/B+/D=180°,求证:
AE=AD+BE
6如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分/ABC、/BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
7已知:
AB=CD,/A=/D,求证:
/B=/C
8.P是/BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB 9已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC 10.如图,已知AD//BC,ZPAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 11如图,△ABC中,AD是/CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: /C=2/B 12如图: AEBC交于点MF点在AMk,BE//CF,BE=CF 求证: 人皿是厶ABC的中线。 E 13已知: 如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F。 求证: BE=CD. C 14在厶ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D, BEMN于E•⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC也CEB: ②DEADBE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立, 请给出证明;若不成立,说明理由 15如图所示,已知AE! AB,AF丄AC,AE=ABAF=AC求证: (1)EC=BF (2)EC丄BF BC 16.如图,已知AC//BD,EA、EB分别平分/CAB和/DBA,CD过点E,贝UAB与AC+BD相等吗? 请说明理由 17.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,/ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: /ADC=ZBDE. 图9 全等三角形证明经典(答案) 1.延长AD至UE,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 即: 10-2<2AD<10+24 又AD是整数,则AD=5 2证明: 连接BF和EF。 因为BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,/CBF=/DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以/EBF=/BEF。 又因为/ABC=/AED。 所以/ABE=/AEB。 所以AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中, AB=AE,BF=EF, /ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。 所以/BAF=/EAF(/1=/2)。 3证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G 则/DEG=/DCA,/DGE=/2 又•••CD=DE •••/ADC6GDE(AAS) •••EG=AC •/EF//AB •••/DFE=/1 •••/1=/2 •••/DFE=/DGE •EF=EG •EF=AC 4证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED •/AD平分/BAC •••/EAD=/BAD 又•••AE=AB,AD=AD •••/AED6ABD(SAS) •••/AED=/B,DE=DB •/AC=AB+BD AC=AE+CE •CE=DE •••/C=ZEDC •••/AED=/C+/EDC=2/C •••/B=2/C 5证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF 因为CE丄AB 所以/CEB=ZCEF=90° 因为EB=EF,CE=CE, 所以△CEB◎△CEF 所以/B=ZCFE 因为/B+ZD=180°,/CFE+ZCFA=180° 所以/D=ZCFA 因为AC平分ZBAD 所以ZDAC=ZFAC 又因为AC=AC 所以△ADC也厶AFC(SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF+FE=AD+BE 6证明: 在BC上截取BF=BA,连接EF. ZABE=ZFBE,BE=BE,贝U"ABE也△FBE(SAS),ZEFB=ZA; AB平行于CD,则: ZA+ZD=180°; 又ZEFB+ZEFC=180,则ZEFC=ZD; 又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故"FCEADCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD. 7证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD AD>BC时,E点是射线AB,DC的交点)。 则: △AED是等腰三角形。 所以: AE=DE 而AB=CD 所以: BE=CE(等量加等量,或等量减等量) 所以: △BEC是等腰三角形 所以: 角B=角C. 8作B关于AD的对称点B;因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短) 因为PC 9作AG//BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5 AGFsCDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 10证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, •/PA//BC •••/PAB+/CBA=180; 又•••;AE;BE均为/PAB和/CBA的角平分线 •••/EAB+/EBA=90AEB=90;EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE丄BF,且AE为/FAB的角平分线•三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, /EBC=/DFE,且BE=EF,/DEF=/CEB; •三角形DEF与三角形BEC为全等三角形;•DF=BC •AB=AF=AD+DF=AD+BC 11证明: 在AB上找点E;使AE=AC •/AE=AC,/EAD=/CAD;AD=AD •△ADE◎△ADC。 DE=CD,/AED=/C •/AB=AC+CD;•DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE /B=/EDB /C=/B+/EDB=2/B 12证明: •/BE||CF •••/E=/CFM,/EBM=/FCM •/BE=CF •△BEM◎△CFM •BM=CM •AM是厶ABC的中线. 13证明: 因为AB=AC, 所以/EBC=/DCB 因为BD丄AC,CE丄AB 所以/BEC=/CDB BC=CB(公共边) 则有三角形EBC全等于三角形DCB 所以BE=CD 14 (1)证明: •••/ACB=90, •••/ACD+/BCE=90, 而AD丄MN于D,BE丄MN于E, •••/ADC=/CEB=90,/BCE+/CBE=90, •••/ACD=/CBE. 在Rt△ADC和Rt△CEB中,{/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB, •Rt△ADC也Rt△CEB(AAS), •AD=CE,DC=BE, •DE=DC+CE=BE+AD; (2)不成立,证明: 在△ADC和厶CEB中,{/ADC=/CEB=90/ACD=/CBEAC=CB, •△ADC◎△CEB(AAS), •AD=CE,DC=BE, •DE=CE-CD=AD-BE; 15 (1)证明;因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=ABAF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F (2)延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证) 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC垂直BF 16在AB上取点N,使得AN=AC /CAE=/EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以/ANE=/ACE 又AC平行BD 所以/ACE+/BDE=180 而/ANE+/ENB=180 所以/ENB=/BDE /NBE=/EBN BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 17证明: 作CG平分/ACB交AD于G •••/ACB=90 •••/ACG=/DCG=45 •••/ACB=90AC=BC •••/B=/BAC=45 •••/B=/DCG=/ACG •/CF丄AD •••/ACF+/DCF=90 •••/ACF+/CAF=90 •••/CAF=/DCF •/AC=CB/ACG=/B •△ACG◎△CBE •CG=BE •••/DCG=/BCD=BD •△CDG也厶BDE •••/ADC=/BDE
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