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高考数学模拟卷葛军命题含答案
旗开得胜
高考数学模拟卷
(一)
命题人:
葛军
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)
1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-x-6≤0},,那么集合 A∩(
UB)=( )
A. [-2,4)B. (-1,3]C. [-2,-1]D. [-1,3]
2.若复数 z 满足 z(-1+2i)=|1+3i|2(i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于()
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知共面向量 、 、 满足
小值,则当 变化时,
, ,且 ;若对每一个确定的向量 ,记 ( )的最
的最大值为( )
A.B. 2C. 4D. 6
4.已知为函数的导函数,且,若,方程有且
只有一个根,则 的取值范围是()
A.B.C.D.
5.已知椭圆的方程为,(注:
若椭圆的标准方程为,则椭圆的面积为 πab.)将该椭圆绕坐
标原点逆时针旋转 45°后对应曲线的方程设为 f(x,y)=0,那么方程 f(|x|,y)=0 对应的曲线围成的平面
区域如图所示,现往曲线f(|x|,y)=0 围成的平面区域内投放一粒黄豆(大小忽略不计,可抽象为一个点),
那么该粒黄豆落在四边形 ABCD 内的概率为()
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A.
6.若
A.
B. C. D.
,则在 的展开式中,含 项的系数为( )
B. C. D.
7.已知函数 f(x)=sinωx-cosωx(ω>0),若方程 f(x)=-1 在(0,π)上有且只有三个实数根,则实数 ω 的取
值范围是()
A.
8.已知
A.
B. C. D.
, ,平面 内的动点 , 满足 , ,则 的最大值是( )
B. C. D.
9.已知△ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt△ACD 与 Rt△BCD)组成的三角形,如右图所示.其中,
∠CAD=45°,∠BCD=60°.现将 Rt△ACD 沿斜边 AC 进行翻折成 D
AC(D1 不在平面 ABC 上).若 M、N 分别为
BC 和 BD1 的中点,则在△ACD 翻折过程中,下列命题不正确的是()
A. 在线段 BD 上存在一定点 E,使得 EN 的长度是定值
B. 点 N 在某个球面上运动
C. 存在某个位置,使得直线 AD1 与 DM 所成角为 60°
D. 对于任意位置,二面角 D1—AC—B 始终大于二面角 D1—BC—A
10. 已知定义域为正整数集的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+1,f
(1)=1,则数列{(-1)nf(n)f(n+1)}(n∈N*)的
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前 99 项和为( )
A. -19 799B. -19 797C. -19 795D. -19 793
11. 已知函数是定义在 上的奇函数,当时,.若,,
则实数 的取值范围为()
A.B.C.D.
12. 执行如图示的程序框图,输出的 的值等于()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
13. 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn>0,且
(n∈N*),则实数 t 的取值范围是________.
,其中 n≥2 且 n∈N*.若
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14. 设为不共线的非零向量,且
旗开得胜
.定义点集 .当 ,且不在直
线 AB 上时,若对任意的恒成立,则实数 的最小值是.
15. 形如这样的数叫做“五位波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由数字 0,1,
2,3,4,5,6,7 可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为.
16. 已知函数,,若函数与的图象上至少存在一对关于 轴
对称的点,则实数 的取值范围是________.
三、解答题(本大题共 7 小题,共 84.0 分)
17. 如图 1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形ABCD,AB,AD 的长分别为 2m 和 4 m,上部是圆心为 O
的劣弧 CD,∠COD= .
(1) 求图 1 中拱门最高点到地面的距离;
(2) 现欲以点 B 为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直,如图 2、图 3、图 4
所示.设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 θ.记拱门上的点到地面的最大距离为 h,试用 θ 的函数表示 h,并求出
h 的最大值.
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18. 在如图所示的多面体中,平面 ABB1A1⊥平面 ABCD,四边形 ABB1A1 是边长为 2 的菱形,四边形 ABCD 为直
角梯形,四边形 BCC1B1 为平行四边形,且 AB∥CD,AB⊥BC,CD=1.
(1)若 E,F 分别为 A1C1,BC1 的中点,求证:
EF⊥平面 AB1C1;
(2)若∠A1AB=60°,AC1 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求二面角 A1-AC1-D 的余弦值.
19. “工资条里显红利,个税新政人民心”.随着 2019 年新年钟声的敲响,我国自 1980 年以来,力度最大的一
次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019 年 1 月 1 日实施的个税新政主要内容包括:
(1)
个税起征点为 5000 元;
(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除;(3)专项附加
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扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.
新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点 3500 元)新个税税率表(个税起征点 5000 元)
每月应纳税所得额(含税)=收入-
每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征
缴税级数
税率(%) 税率(%)
个税起征点
点-专项附加扣除
1不超过 1500 元部分3不超过 3000 元部分3
2超过 1500 元至 4500 元部分10超过 3000 元至 12000 元部分10
3超过 4500 元至 9000 元的部分20超过 12000 元至 25000 元的部分20
4超过 9000 元至 35000 元的部分25超过 25000 元至 35000 元的部分25
5超过 35000 元至 55000 元部分30超过 35000 元至 55000 元部分30
……………
随机抽取某市 1000 名同一收入层级的 IT 从业者的相关资料,经统计分析,预估他们 2019 年的人均月收入
24000 元.统计资料还表明,他们均符合住房专项扣除;同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩
子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、
只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 2:
1:
1:
1;此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:
住房1000 元/月,子
女教育每孩 1000 元/月,赡养老人 2000 元/月等.
假设该市该收入层级的 IT 从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的 IT 从业者的人均月收
入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想,解决如下问题:
(1)设该市该收入层级的 IT 从业者 2019 年月缴个税为 X 元,求 X 的分布列和期望;
(2)根据新旧个税方案,估计从 2019 年 1 月开始,经过多少个月,该市该收入层级的 IT 从业者各月少缴交
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的个税之和就超过 2019 年的月收入?
20. 在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆
交于点 ( 在 轴上方),且 .设
点 在 轴上的射影为 ,三角形
的面积为 2(如图 1).
(1)求椭圆的方程;
(2)设平行于的直线与椭圆相交,其弦的中点为 .
①求证:
直线的斜率为定值;
②设直线与椭圆相交于两点在 轴的上方),点 为椭圆上异于
一点,直线 交 于点 , 交
于点 ,如图 2,求证:
为定值.
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21. 已知函数
, , ,且 的最小值为 .
(1)求 的值;
(2)若不等式对任意恒成立,其中 是自然对数的底数,求 的取值范围;
(3)设曲线与曲线交于点,且两曲线在点 处的切线分别为 , .试判断 ,
与 轴是否能围成等腰三角形?
若能,确定所围成的等腰三角形的个数;若不能,请说明理由.
22. 已知在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为
xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数).
,在直角坐标系
(1)设曲线 C 与直线 l 的交点为 A,B,求弦 AB 的长度;
(2)若动点 Q 在曲线 C 上,在
(1)的条件下,试求△QAB 面积的最大值.
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23. 已知函数
(1)若不等式的解集为 A,且,求实数 的取值范围;
(2)若不等式对一切实数 x 恒成立,求实数 的取值范围.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题,是基础题.
解不等式求出集合 A、B,根据补集与交集的定义写出 A∩(∁ UB).
【解答】
解:
全集 U=R,集合 A={x|x2-x-6≤0}={x|-2≤x≤3},
={x|x<-1 或 x≥4},
∴∁ UB={x|-1≤x<4},
∴A∩(∁ UB)={x|-1≤x≤3}=[-1,3].
故选:
D.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘法运算化简复数 z,求出 z 在复平面内对应的点的坐标得答案.
【解答】
解:
由 z(-1+2i)=|1+3i|2,
得
=
,
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则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为:
(-2,-4),位于第三象限.
故选 C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的在几何中的应用,考查了学生的转化能力和计算能力,属于难题.
根据向量的平行四边形法则和三角形的面积公式以及平行四边形的性质可得b2+2c2=36,即可得到
=c,利用基本不等式即可求出最值.
【解答】
解:
如图,设= ,=,=,
∵ + =2 ,
∴M 为 BD 的中点,
∴S ABD •3•2=3,
∵| |=| - |,
∴AD=BD,
设 AB=c,AD=b,
∴在ABCD 中,2[(AB)2+(AD)2]=AC2+BD2,
∴b2+2c2=36,①,
∵S ABD •c•= •c•,
将①代入可得,S ABD •c•=c,
∴3=c,
∴=c≤=2,当且仅当 c2=8 时,取等号,
故选 B.
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4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则和参数的取值范围,考查了学生的分析问题,解决问题的能力,属于难题.
先根据导数的运算法则求出 f(x),再求出 g(x),根据方程 g(ax)-x=0,转化为 ax=lnx.利用数形结合的思
想即可求出答案.
【解答】
解:
∵f(x)= x2-f(0)x+f′
(1)ex-1,
∴f(0)=f′
(1)e-1,
∴f′(x)=x-f(0)+f′
(1)ex-1,
∴f′
(1)=1-f′
(1)e-1+f′
(1)e1-1,
∴f′
(1)=e,
∴f(0)=f′
(1)e-1=1,
∴f(x)= x2-x+ex,
∴g(x)=f(x)- x2+x= x2-x+ex- x2+x=ex,
∴g(ax)-x=0,
即 eax-x=0 有一个根,
即 y=eax 与 y=x 只有一个交点,
当 a≤0 时,在同一坐标系作出两函数图象如图
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只有一个交点符合题意,
当 a>0 时曲线 f(x)应与 y=x 相切,
设切点坐标为,
则 aeam=1,且 m=eam,
截得 a= .
综上 a 的取值范围为
故选 D.
5.【答案】C
.
【解析】【分析】
本题考查椭圆、面积、旋转等综合知识,考查几何概型的应用,题目新颖,难以理解,难度较大.
根据椭圆的对称性可得封闭曲线的面积为 πab,还原椭圆位置及 ABD 三点位置 A'B'D',则 B'D'为直线 y=x 与椭圆
的交点,联立方程求解,可得 B'D'=
,同理可得 ,则四边形 ABCD 面积可求,利用几何概型概率公式
求解即可.
【解答】
解:
根据题意及椭圆的对称性知图中封闭曲线的面积为 S=
还原椭圆位置及 ABD 三点的位置
则直线所在直线方程为 y=x,
即 B'D'为直线 y=x 与椭圆的交点,
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联立,
解得
则,
同理可得,
根据对称性
故概率
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查定积分的基本性质和二项展开式的特定项与特定项的系数,属于中档题.
先由,求出 m,再求的展开式中含 项的系数即可.
【解答】
解:
由,得,
∴,解得 m=2,
∴=,
对于,
对于,
∴的展开式中含 项的系数为:
=-80-160=-240.
故选 D.
7.【答案】A
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【解析】【分析】
本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,考查两角和与差的三角函数公式,属于中档题.
根据两角和与差的三角函数公式将函数恒等变形,化为正弦型函数,进而根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质即
可求出结果.
【解答】
解:
f(x)=sinωx-
令 f(x)=-1 得 2sin(
cosωx=2sin(
)=-1,
),
即 sin(
)= ,
所以
=
( )或 =
(
),
所以 x=
(
)或 x=
(
),
当 x 取正数时,从小到大依次为:
因为 f(x)=-1 在(0,π)上有且只有三个实数根,
所以
,
所以
故选 A.
,
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了点的轨迹方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题,如图所示,建立直角坐标系,求出得到M
轨迹为以 N 为圆心, 为半径的圆,当 B,N,M 三点共线时,|BM|为最大值,问题得以解决.
【解答】
解:
如图所示,建立直角坐标系,取 AC 中点 N,
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旗开得胜
∵,,
∴||= ,从而 M 轨迹为以 N 为圆心, 为半径的圆,
∴B,N,M 三点共线时,|BM|为最大值.
又因为,,则,则,
∴||的最大值为 3+ = ,
∴的最大值是 ,
故选 D.
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的结构特征,以及空间角的求解,属难题.
关键在于确定二面角的平面角和异面直线所成角,
【解答】
解:
如图:
设 AD=1,取 AB 中点 E,易知 E 落在线段 BD 上,
且,
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旗开得胜
所以点 N 到点 E 的距离始终为 ,
即点 N 在以点 E 为球心,半径为 的球面上运动,因此 A、B 选项正确;
C:
作,交线段 BC 于 P,
AD1 可以看成以 AC 为轴线的圆锥的母线,
易知与落在同一个轴截面上时,取的最大值,
则的最大值为,
此时落在平面 ABC 上,因为 D1 不在平面 ABC 上,
所以,
即与 DM 所成角始终小于,
所以 C 选项不正确;
D:
易知当二面角不为锐二面角,
二面角始终大于二面角,
当二面角为锐二面角时,
如图所示于点 R,
作
分别交 AC,BC 于 O,S,
则二面角的平面角,
二面角的平面角为,
且,
又因为 OR 所以二面角始终大于二面角,故 D 正确. 故选 C. 10.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查抽象函数和数列的问题,以及数列的求和公式,考查了函数思想,转化思想,属于中档题. 17 读万卷书 行万里路 旗开得胜 先令 x=n,y=1,可得数列{f(n)}的首项为 1,公差为 2 的等差数列,从而 f(n)=2n-1,(-1)nf(n)f(n+1) =4(-1)nn2-(-1)n,即可求出前 99 项和. 【解答】 解: 令 x=n,y=1,可得 f(n+1)=f(n)+f (1)+1, 则 f(n+1)-f(n)=f (1)+1=2, 则数列{f(n)}的首项为 1,公差为 2 的等差数列, 从而 f(n)=2n-1, 则(-1)nf(n)f(n+1)=(-1)n(4n2-1)=4(-1)nn2-(-1)n, 则{(-1)nf(n)f(n+1)}(n∈N*)的前 99 项和为 4(-12+22-32+42+…-972+982-992)-(-1), =4[(1+2)+(3+4)+…+(97+98)-992]+1, =4[-992]+1, =4×99×(49-99)+1, =-19799, 故选: A. 11.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查不等式恒成立问题,考查分段函数、函数的奇偶性及数形结合思想的应用. 当 时,去绝对值得出 f(x)的解析式,由 为奇函数,可得 的图象,由图象可得,当 时, , 当 时,令 ,得 ,又不等式恒成立,可知 ,解得 a 的范围. 【解答】 解: 当时, 读万卷书 行万里路 18 旗开得胜 因为为奇函数,所以的图象如图所示, 由图象可得,当时,, 当时,令,得. 又,,可知, 解得, 故选 B. 12.【答案】A 【解析】【分析】 本题程序框图的循环结构,两角和与差的三角函数公式,累加法,属于中档题. 先由程序框图知输出的 S=,再利用累加法求解即可. 【解答】 解: 模拟程序进行运算可知,输出的 S=, ∵, ∴, ∴, , 19 读万卷书 行万里路 旗开得胜 …… 将上述 100 个式子相加得,100+ = , ∴S= 故选 A. 13.【答案】(0,1] = . 【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系、数列的函数性质的运用,属于难题. 根据所给递推关系推出 化简变形,可解得 【解答】 解: ,令 由此可得 ,代入前面式子 再利用题中的条件求出 m 的范围,则实数 t 的取值范围可求. , 所以两式相除可以得到 令 (2) , (1) ,(3) 由 (1) (2)(3)化简有 , 根据项的系数可知 , 所以 或 当 时, 上式化为 恒成立, 读万卷书 行万里路 20 旗开得胜 则 m=0, 不满足 Sn>0,舍去此种情况; 当 时, 则 , 又 代入上式化简得 又 , 所以 故答案为(0,1]. 14.【答案】 . 【解析】【分析】 本题考查向量共线定理的运用,考查向量的数量积的几何意义,考查函数的单调性的运用,属于中档题. 由,可得 A,B,C 共线,再由向量的数量积的几何意义可得 PC 为∠APB 的平分线,可得 ,可得 P 的轨迹为圆,求得圆的直径与 AB 的关系,即可得到所求最值. 【解答】 解: 由 可得 A,B,C 共线, 当点 P 不在直线 AB 上时, , 由 , 可得 即有∠APC=∠BPC, 则 PC 为∠APB 的平分线, 根据正弦定理易得 , 21 读万卷书 行万里路 旗开得胜 以 AB 所在直线为 x 轴,以线段 AB
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