高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换.docx
- 文档编号:27190810
- 上传时间:2023-06-27
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:47.25KB
高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换.docx
《高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换
第2讲 三角恒等变换与解三角形
[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:
1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.
热点一 三角恒等变换
例1
(1)若cos=,则cos=________.
答案 -
解析 ∵cos=,
∴cos=sin=sin=,
∴cos=1-2sin2=-.
(2)在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作角α,角α+的终边经过点P(-2,1).
①求cosα的值;
②求cos的值.
解 ①由于角α+的终边经过点P(-2,1),
故cos=-,sin=,
∴cosα=cos
=coscos +sinsin =-.
②sinα=sin
=sincos -cossin =,
则sin2α=2sinαcosα=-,
cos2α=cos2α-sin2α=-,
cos=cos cos2α+sinsin2α=.
思维升华
(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况.
(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.
跟踪演练1
(1)已知cos=3sin,则tan=________.
答案 2-4
解析 ∵cos=3sin,
∴-sinα=-3sin,
∴sinα=3sin=3sinαcos +3cosαsin
=sinα+cosα,
∴tanα=,
又tan =tan=
==2-,
∴tan=
==2-4.
(2)(2018·江苏如东中学等五校联考)已知α∈,且cos=,则sinα的值是________.
答案
解析 ∵α∈,∴α-∈,
给合同角三角函数基本关系式有:
sin==,
则sinα=sin
=sincos +cossin
=×+×=.
热点二 正弦定理、余弦定理
例2 (2018·江苏泰州中学调研)如图,在圆内接△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足acosC+ccosA=2bcosB.
(1)求B的大小;
(2)若点D是劣弧AC上一点,AB=3,BC=2,AD=1,求四边形ABCD的面积.
解
(1)方法一 设外接圆的半径为R,则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
代入得2RsinAcosC+2RsinCcosA=2×2RsinBcosB,
即sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,
所以sinB=2sinBcosB.
所以sinB≠0,所以cosB=.
又B是三角形的内角,
所以B=.
方法二 根据余弦定理,得a·+c·=2b·cosB,
化简得cosB=.
因为0
(2)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC
=9+4-2×3×2×=7,
所以AC=.
因为A,B,C,D四点共圆,所以∠ADC=.
在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,
代入得7=1+CD2-2·CD·,
所以CD2+CD-6=0,解得CD=2或CD=-3(舍).
所以SABCD=S△ABC+S△ACD
=AB·BCsin∠ABC+AD·CDsin∠ADC
=×3×2×+×1×2×=2.
思维升华 关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.
跟踪演练2 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.
(1)求角B的大小;
(2)已知=4,△ABC的面积为6,求边长b的值.
解
(1)由已知得bcosA+acosB=bsinC,
由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=sinBsinC,
∴sin(A+B)=sinBsinC,
又在△ABC中,sin(A+B)=sinC≠0,
∴sinB=,∵0
(2)由已知及正弦定理得c=4,
又S△ABC=6,B=,∴acsinB=6,得a=6,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得b=2.
热点三 解三角形与三角函数的综合问题
例3 (2018·江苏三校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC.
(1)求b的值;
(2)若B=,S为△ABC的面积,求S+8cosAcosC的取值范围.
解
(1)由正弦定理、余弦定理知sinAcosC=3cosAsinC可等价变形为a·=3c·,
化简得a2-c2=.
因为a2-c2=2b,所以b=4或b=0(舍去).
(2)由正弦定理=得S=bcsinA=×4×sinAsinC=8sinAsinC,
所以S+8cosAcosC=8cos(A-C)
=8cos.
在△ABC中,由得A∈.
所以2A-∈,
所以cos∈,
所以S+8cosAcosC∈(-8,8).
思维升华 解三角形与三角函数的综合题,要优先考虑角的范围和角之间的关系;对最值或范围问题,可以转化为三角函数的值域来求解.
跟踪演练3 已知函数f(x)=2cos2x+sin-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=,若b+c=2a,且·=6,求a的值.
解
(1)f(x)=sin+2cos2x-1
=-cos2x+sin2x+cos2x
=cos2x+sin2x=sin.
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
可解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(A)=sin=,可得
2A+=+2kπ或2A+=+2kπ(k∈Z).
∵A∈(0,π),∴A=,
∵·=bccosA=bc=6,
∴bc=12,
又∵2a=b+c,
∴cosA==-1=-1=-1,
∴a=2.
1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是________.
答案
解析 由sinA+sinB=2sinC,
结合正弦定理得a+b=2c.
由余弦定理得cosC=
==≥=,
故≤cosC<1,
故cosC的最小值为.
2.(2018·全国Ⅲ改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=________.
答案
解析 ∵S=absinC==
=abcosC,
∴sinC=cosC,即tanC=1.
又∵C∈(0,π),∴C=.
3.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
答案
解析 ∵bsinC+csinB=4asinBsinC,
∴由正弦定理得
sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.
又sinBsinC>0,∴sinA=.
由余弦定理得cosA===>0,
∴cosA=,bc==,
∴S△ABC=bcsinA=××=.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC,并且a=,则△ABC的面积为________.
答案
解析 因为0 所以sinA==. 又由cosC=sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC知,cosC>0, 并结合sin2C+cos2C=1,得sinC=,cosC=. 于是sinB=cosC=. 由a=及正弦定理=,得c=. 故△ABC的面积S=acsinB=. 5.已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为. (1)求ω的值; (2)在△ABC中,sinB,sinA,sinC成等比数列,求此时f(A)的值域. 解 (1)f(x)=sin2ωx-(cos2ωx+1) =sin-, 因为函数f(x)的最小正周期为T==, 所以ω=. (2)由 (1)知f(x)=sin-, 易得f(A)=sin-. 因为sinB,sinA,sinC成等比数列, 所以sin2A=sinBsinC,所以a2=bc, 所以cosA== ≥=(当且仅当b=c时取等号). 因为0 所以0 所以- 所以-1 所以f(A)的值域为. A组 专题通关 1.(2018·全国Ⅲ改编)若sinα=,则cos2α=________. 答案 解析 ∵sinα=,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×2=. 2.tan70°+tan50°-tan70°tan50°的值为________. 答案 - 解析 因为tan120°==-, 即tan70°+tan50°-tan70°tan50°=-. 3.(2018·江苏泰州中学调研)已知sinθ+2cosθ=0,则=________. 答案 1 解析 由题设可知sinθ=-2cosθ, 则原式= ==1. 4.在△ABC中,若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离为1,则此三角形为________三角形.(填“直角”“锐角”“钝角”) 答案 直角 解析 由已知可得,=1, ∴sin2C=sin2A+sin2B,∴c2=a2+b2, 故△ABC为直角三角形. 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB+bcosA=2ccosC,c=,且△ABC的面积为,则△ABC的周长为________. 答案 5+ 解析 在△ABC中,acosB+bcosA=2ccosC, 则sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC, 即sin(A+B)=2sinCcosC, ∵sin(A+B)=sinC≠0, ∴cosC=,∴C=, 由余弦定理可得,a2+b2-c2=ab, 即(a+b)2-3ab=c2=7, 又S=absinC=ab=,∴ab=6, ∴(a+b)2=7+3ab=25,a+b=5, ∴△ABC的周长为a+b+c=5+. 6.若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是________. 答案 解析 ∵sin2α=,α∈, ∴cos2α=-且α∈, 又∵sin(β-α)=,β∈, ∴cos(β-α)=-, ∴sin(α+β)=sin[(β-α)+2α] =sin(β-α)cos2α+cos(β-α)sin2α =×+×=-, cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α =×-×=, 又α+β∈,∴α+β=. 7.设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则cosC=________;当BC=1时,△ABC的面积等于________. 答案 - 解析 ∵sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4, ∴a∶b∶c=2∶3∶4. 令a=2t,b=3t,c=4t(t>0), 则cosC==-, 又∵C∈(0,π), ∴sinC=. 当BC=1时,AC=, ∴S△ABC=×1××=. 8.如图,在△ABC中,BC=2,∠ABC=,AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D,E两点,且DE=,则BE2=________. 答案 + 解析 如图,连结CD,由题设,有∠BDC=2A, 所以==, 故CD=. 又DE=CDsinA==, 所以cosA=,而A∈(0,π),故A=, 因此△ADE为等腰直角三角形, 所以AE=DE=. 在△ABC中,∠ACB=, 所以=, 故AB=+1, 在△ABE中,BE2=(+1)2+2-2×(+1)××=+. 9.(2018·江苏)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解 (1)因为tanα=,tanα=, 所以sinα=cosα. 又因为sin2α+cos2α=1, 所以cos2α=, 因此,cos2α=2cos2α-1=-. (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-,所以α+β∈, 所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2. 因为tanα=, 所以tan2α==-. 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)] ==-. 10.(2018·江苏扬州中学调研)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=,且m·n=1. (1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2,求sin的值. 解 (1)由题意得m·n=cos2A+2cos2=2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA, 又因为m·n=1,所以2cos2A+cosA=1, 解得cosA=或cosA=-1,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 二轮 复习 专题 三角函数 平面 向量 三角 恒等 变换