近世代数复习提纲.docx
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近世代数复习提纲
近世代数复习提纲
群论部分
一、基本概念
1、群的定义(四个等价定义)
2、基本性质
(1)单位元的唯一性;
(2)逆元的唯一性;
(3) (ab)-1 = b-1a-1 ,(a-1)-1 = a ;
(4) ab = ac ⇒ b = c ;
(5) ax = b ⇒ x = a-1b ; ya = b ⇒ y = ba-1 。
3、元素的阶
使 am = e 成立的最小正整数 m 叫做元素 a 的阶,记作| a |= m ;若这样的正
整数不存在,则称 a 的阶是无限的,记作| a |= ∞ 。
(1)| a |=| a-1 | ,| a |=| g -1ag | (∀g ∈ G) 。
(2)若 am = e ,则
①| a |≤ m ;
②| a |= m ⇔ 由 an = e 可得 m | n 。
(3)当群 G 是有限群时, ∀a ∈ G ,有 | a |< ∞ 且 | a | | G | 。
(4) | a |= n ⇒| ar |=
n
d
,其中 d = (r , n) 。
r|rdn d
n r
n
d
。
另一方面,因为 (ar )k = ark = e ,所以 n rk ,从而
n r
d d
r n
d d
) = 1,
所以
n
d
k ,故 k =
n
d
。
1
注:
1︒
| ab |≠| a || b | ,但若 ab = ba ,且 (| a | , | b |) = 1 ,则有
| ab |=| a || b | (P70.3)。
/
2︒ | G |< ∞ ⇒ ∀a ∈ G , | a |< ∞ ;但 ∀a ∈ G , | a |< ∞ ⇒| G |< ∞ 。
例 1令 G = {a ∈ C | ∃n ∈ Z , ∍ an = 1} ,则 G 关于普通乘法作成群。
显然,
1 是 G 的单位元,所以 ∀a ∈ G ,有 | a |< ∞ ,但 | G |= ∞ 。
二、群的几种基本类型
1、有限群:
元素个数(即阶)有限的群,叫做有限群。
2、无限群:
元素个数(即阶)无限的群,叫做无限群。
3、变换群:
集合 A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群,叫做集合 A 上的变
换群。
(1)变换群的单位元是 A 的恒等变换。
(2) A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成 A 上最大的变换群。
(3)一般地,变换群不是交换群。
(4)任一个群都与一个变换群同构。
4、置换群:
有限集合 A 上的一一变换叫做置换,若干置换作成的变换群叫做置
换群。
即有限集合上的变换群叫做置换群。
例 2设α = (123) , β = (13)(24) 是 S5 中元素,求αβ 。
αβ= (123)(13)(24) = ç ⎪ç ⎪ç ⎪ = ç ⎪ = (142)
解
⎛1 2 3 4 5⎫ ⎛1 2 3 4 5⎫ ⎛1 2 3 4 5⎫ ⎛1 2 3 4 5⎫
⎝ 2 31 4 5⎭ ⎝ 3 2 1 4 5⎭ ⎝1 4 3 2 5⎭ ⎝ 4 1 3 2 5⎭
(1) n 元集合 A 的所有置换作成的置换群,叫做 n 次对称群,记作 Sn 。
(2) | Sn |= n!
。
(3)每个 n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。
(4) (i1i2 L ik )-1 = (ik L i2i1) 。
(5)任一有限群都与一个置换群同构。
5、循环群:
若群 G 中存在元素 a ,使得 G = (a) = {an | n ∈ Z} ,则称 G 是循环群。
2
(1)循环群是交换群(P61.1)。
(2)素数阶群是循环群(P70.1)。
(3)循环群的子群是循环群(P65.4)。
(4)当 | G |= ∞ 时, G ≅ Z ⇒ G = {L , a-2 , a-1 , e = a0 , a , a2 , L };
当 | G |= n 时, G ≅ Zn ⇒ G = {e = a0 , a , a2 , L , an-1}。
(5) | G |=| a |
(6)当 | G |= ∞ 时, G 有且仅有两个生成元 a , a-1 ;
当 | G |= n 时, G 有且仅有ϕ (n) 个生成元,这里ϕ (n) 表示小于 n 且与
n 互素的正整数个数。
且当 (m , n) = 1时, am 是 G 的生成元。
(7)若 G 与 G 同态,则
1︒ G 也是循环群;
2︒ 当ϕ (a) = a 时, G = (a) ;
3︒ G 的阶整除 G 的阶。
例 3(P79、3)
三、子群
1、定义:
设 H 是群 G 的非空子集,若 H 关于 G 的于是也构成群,则称 H 是
G 的子群,记作 H ≤ G 。
2、等价条件
(1)群 G 的非空子集 H 是子群⇔ ∀a , b ∈ H ,有 ab , a-1 ∈ H
⇔ ∀a , b ∈ H ,有 ab-1 ∈ H
(2)群 G 的非空有限子集 H 是子群⇔ ∀a , b ∈ H ,有 ab ∈ H 。
3、运算
(1)若 H1 , H2 ≤ G ,则 H1 I H2 ≤ G (可推广到任意多个情形)。
(2)若 H1 , H2 ≤ G ,则 H1 U H2 未必是 G 的子群。
3
(3)若 H1 , H2 ≤ G ,则 H1H2 = {h1h2 | h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2} 未必是 G 的子群。
(4)若 H1 , H2 ≤ G ,则 H1 - H2 不是 G 的子群。
4、陪集
设 H ≤ G ,则 G 的子集 aH = {ah | h ∈ H} 叫做 H 的包含 a 的左陪集; G 的子
集 Ha = {ha | h ∈ H} 叫做 H 的包含 a 的右陪集。
(1)一般地, aH ≠ Ha 。
(2) aH = bH ⇔ b-1a ∈ H ;
Ha = Hb ⇔ ab-1 ∈ H ; aH (Ha) = H ⇔ a ∈ H 。
(3) aH (Ha) ≤ G ⇔ a ∈ H 。
(4) aH ≠ bH (Ha ≠ Hb) ⇔ (aH ) I (bH ) = φ [(Ha) I (Hb) = φ ] 。
(5){aH | a ∈ G} 是 G 的一个分类,{Ha | a ∈ G} 也是 G 的一个分类。
即
G = U aH ,且 (aH ) I (bH ) = φ (当 aH ≠ bH 时)
a∈G
或
G = U Ha ,且 (Ha) I (Hb) = φ (当 Ha ≠ Hb 时)
a∈G
5、指数:
群 G 的子群 H 的左陪集(右陪集)个数叫做 H 的指数,记作[G :
H ] 。
当 | G |< ∞ 时,有 | G |=| H | [G :
H ] 。
6、不变子群
设 H 是群 G 的子群,若 ∀a ∈ G ,都有 aH = Ha ,则称 H 是 G 的不变子群,
记作 H 群 G 的子群 H 是不变子群⇔ ∀a ∈ G ,有 a-1Ha = H ⇔ ∀a ∈ G , ∀h ∈ H ,有 a-1ha ∈ H 。 例 4(P74、1) 例 5(P74、3) 4 1〫不变子群的交是不变子群。 2〫交换群的子群是不变子群。 3〫群 G 的中心 C(G) = {a ∈ G | ∀x ∈ G , xa = ax} 是 G 的不变子群。 4〫设 H 1 , H 2 ≤ G 且有一个是不变子群,则 H1H2 7、商群设 H (aH )(bH ) = (ab)H 则它是 G H 的代数运算,叫做陪集的乘法。 G H 关于陪集的乘法作成群,叫 做 G 关于 H 的商群。 当 | G |< ∞ 时,有 | G H |= | G | | H | 。 四、群同态设ϕ 是群 G 到 G 的同态满射,则 1、 G 也是群; 2、ϕ (e) = e ; 3、ϕ (a-1) = [ϕ (a)]-1 ; 4、 | ϕ (a) | | a | ; 5、 ker ϕ = {a ∈ G | ϕ (a) = e} σ 6、 G ker ϕ ≅ G (σ : a ker ϕ → ϕ (a)) ; 7、 H ≤ G ⇒ ϕ (H ) ≤ G ; 8、 H 9、 H ≤ G ⇒ ϕ -1(H ) ≤ G ; 10、 H 注: 若 H a → aH (∀a ∈ G) 是 G 到 G H 的同态满射,叫做自 然同态。 5 (6) (∑ a i ) o(∑ b j ) = ∑ ∑ a i ob j ; 环论部分 一、基本概念 1、环的定义 设 R 是一个非空集合,“+”与“。 ”分别是加法与乘法运算,若 (1) R 关于“+”作成交换群(叫做加群); (2) R 关于“。 ”封闭; (3) ∀a , b , c ∈ R ,有 a o(b oc) = (a ob) oc ; (4) ∀a , b , c ∈ R ,有 a o(b + c) = a ob + a oc (b + c) oa = b oa + c oa 则称 R 关于“+”与“。 ”作成环。 2、基本性质 (1) a o(b - c) = a ob - a oc , (b - c) oa = b oa - c oa ; (2) 0 oa = a o0 = 0 ; (3) (-a) ob = a o(-b) = -(a ob) ; (4) (-a) o(-b) = a ob ; (5) a o(b1 +L + b n ) = a ob1 +L + a ob n , (b1 +L + b n ) oa = b1 oa +L + b n oa ; mnm n i=1j=1i=1 j=1 (7) a oa = a mnm+n (a m )n = a mn ; (8)当 R 是交换环时, ∀a , b ∈ R ,有 1 (a + b)n = an + C nan-1b +L + C n -1ab n-1 + b n 。 3、环的几种基本类型设 R 是环 (1)交换环: ∀a , b ∈ R ,有 ab = ba 。 6 例 6(P89.2) (2)有单位元环: 存在1∈ R ,使得 ∀a ∈ R ,有1a = a1 = a 。 (3)无零因子环: ∀a , b ∈ R ,当 a ≠ 0 , b ≠ 0 时, ab ≠ 0 。 注: 无零因子环的特征: 无零因子环 R 中的非零元关于加法的阶,叫做 R 的特 征。 1︒无零因子环 R 的特征,或是 ∞ 或是素数; 2︒当无零因子环 R 的元素个数 | R | 有限时, R 的特征整除 | R | 。 (4)整环: 有单位元无零因子的交换环。 (5)除环: 有单位元1 (≠ 0) ,且非零元都有逆元。 (6)域: 交换的除环。 二、两类特殊的环 1、模 n 剩余类环: Z n = {[0] , [1] , [2] , L , [n]} 。 (1) Z n 是有单位元的交换环,且[1] 是 Z n 的单位元; (2) ∀[a]∈ Z n ,[a] ≠ [0] ,则[a] 不是零因子⇔ (a , n) = 1 ; (3) Z n 无零因子⇔ n 是素数; (4) ∀[a]∈ Z n ,[a] ≠ [0] ,则[a] 不是零因子⇔[a] 是可逆元; (5) Z n 是域⇔ n 是素数。 2、多项式环: R[x] = { f (x) = an xn +L + a1x + a0 | an , L , a1 , a0 ∈ R} 。 例 7(P109.2) 三、理想 1、定义: 设U 是环 R 的非空子集,若 (1) ∀a , b ∈U ,有 a - b ∈U ; (2) ∀a ∈U , ∀r ∈ R ,有 ar , ra ∈U 。 则称U 是环 R 的理想子环,简称理想。 注: 1︒理想一定是子环,但子环不一定是理想。 7 2︒当是有单位元环时,;R( ) {|,}iiiiax ayxyR=∈∑ 2︒环的中心是子环,但未必是理想。 2、运算 (1)若U1 , U2 是环 R 的理想,则U1 I U2 也是环 R 的理想(可推广到任意多个 情形)。 (2)若U1 , U2 是环 R 的理想,则U1 UU2 未必是环 R 的理想。 (3)若U1 , U2 是环 R 的理想,则U1 + U2 = {u1 + u2 | u1 ∈U1 , u2 ∈U2} 也是环 R 的理想。 (4)若U1 , U2 是环 R 的理想,则U1 -U2 不是环 R 的理想。 3、生成理想: 设 A 环 R 的一个非空子集,则 R 的所有包含 A 的理想的交仍是 R 的理想,这个理想叫做由 A 的理想,记作 ( A) 。 (1) ( A) 是 R 的包含 A 的最小理想。 (2)当 A = {a} 时,记 ( A) = (a) ,叫做由 a 生成的主理想。 1︒当 R 是交换环时, (a) = {ra + na | r ∈ R , n ∈ Z} ; m i=1 3︒当 R 是有单位元的交换环环时, (a) = {ra | r ∈ R} 。 (3) A = {a1 , a2 , L , an},记 ( A) = (a1 , a2 , L , an ) 。 且有 (a1 , a2 , L , an ) = (a1) + (a2 ) +L + (an ) 例 8(P113.例 3) 例 9(P114.3) 4、最大理想: 设U 是环 R 的理想,且U ≠ R 。 若包含U 的环 R 的理想,只有 U 与 R ,则称U 是环 R 的最大理想(极大理想)。 (1)环 R 的理想U (≠ R) 是最大理想 ⇔ 当 R 的理想 B 适合U ⊆ B ⊆ R 时,必 有 B = U 或 B = R 。 (2)环 R 的理想U (≠ R) 是最大理想 ⇔ 商环 R U 只有平凡理想。 8 (3)设 R 是有单位元的交换环,则 R 的理想U (≠ R) 是最大理想 ⇔商环 R U 是域。 例 10(P119.1) 已知: R = {a + bi | a , b ∈ Z} 。 求证: R (1+ i) 是域。 证明: 因为 R 是有单位元的交换环,所以 ∀a + bi ∈ (1+ i) ,存在 x + yi ∈ Z (i) 使得 a + bi = (x + yi)(1+ i) = (x - y) + (x + y)i 所以 a = x - y , b = x + y ,由此可见,当 x , y 奇偶性相同时, a , b 同为偶 数;当 x , y 一奇一偶时, a , b 同为奇数。 反之,当 a , b 的奇偶性相同时,取 x = a + b a - b 2 2 ,就有 a + bi = (x + yi)(1+ i) ∈ (1+ i) 所以 (1+ i) = {a + bi | a , b ∈ Z 且 a , b 奇偶性相同}≠ R 设U 是 R 的理想,且 (1+ i) ⊆ U ,若U ≠ (1+ i) ,则存在 a + bi ∈U ,但 a + bi ∉ (1+ i) ,所以 a , b 奇偶性不同,从而 a +1 , b 奇偶性相同,因而有 (a +1) + bi ∈ (1+ i) ⊆ U 于是1 = (a +1) + bi - (a + bi) ∈U ,因而U = R ,从而 (1+ i) 是 R 的最大理想。 故 R (1+ i) 是域。 9
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