一轮复习正弦定理和余弦定理.ppt
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第七节正弦定理和余弦定理正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容=2R(R=2R(R是是ABCABC外接外接圆的半径圆的半径)在在ABCABC中,有中,有aa22=_;=_;bb22=_=_;cc22=_=_bb22+c+c22-2bccosA-2bccosAcc22+a+a22-2cacosB-2cacosBaa22+b+b22-2abcosC-2abcosC定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理变形变形公式公式a=_,b=_,a=_,b=_,c=_c=_;sinsinAsinAsinBsinBsinCC=_=_;sinA=sinB=_,sinA=sinB=_,sinC=_sinC=_;coscosAA=;coscosBB=;coscosCC=2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinCabcabc定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决的解决的问题问题已知两角和任一边,求已知两角和任一边,求其他边和角其他边和角已知两边和其中一边的已知两边和其中一边的对角,求其他边和角对角,求其他边和角已知三边已知三边,求各角求各角已知两边和它们的夹已知两边和它们的夹角角,求第三边和其他角求第三边和其他角判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).
(1)
(1)在在ABCABC中,中,AABB必有必有sinAsinAsinB.()sinB.()
(2)
(2)正弦定理对钝角三角形不成立正弦定理对钝角三角形不成立.().()(3)(3)在在ABCABC中共有三个角、三个边六个量,可以已知三个量求中共有三个角、三个边六个量,可以已知三个量求另外三个量另外三个量.().()(4)(4)余弦定理对任何三角形均成立余弦定理对任何三角形均成立.().()(5)(5)正弦定理可以实现边角互化,但余弦定理不可以正弦定理可以实现边角互化,但余弦定理不可以.().()【解析解析】
(1)
(1)正确正确.A.AB,aB,ab,b,由正弦定理可得由正弦定理可得又又sinBsinB0,0,sinAsinAsinB.sinB.
(2)
(2)错误错误.正弦定理对任意三角形均成立正弦定理对任意三角形均成立.(3)(3)错误错误.当已知三个角时不能求三边当已知三个角时不能求三边.(4)(4)正确正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.(5)(5)错误错误.余弦定理可以实现角化边,也能实现边化角余弦定理可以实现角化边,也能实现边化角.答案:
答案:
(1)
(1)
(2)
(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1.1.在在ABCABC中,中,a=3,A=30a=3,A=30,B=60,B=60,则,则bb等于等于()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选A.A.由正弦定理得由正弦定理得2.2.在在ABCABC中,中,a=4,C=30a=4,C=30,则边,则边cc等于等于()()(A)(B)2(C)(D)3(A)(B)2(C)(D)3【解析解析】选选B.B.由余弦定理得由余弦定理得c=2.c=2.3.ABC3.ABC满足满足acosacosB=B=bcosbcosAA,则,则ABCABC的形状为的形状为()()(A)(A)直角三角形直角三角形(B)(B)等边三角形等边三角形(C)(C)等腰三角形等腰三角形(D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形【解析解析】选选C.C.由由acosacosB=B=bcosbcosAA及正弦定理得,及正弦定理得,sinsinAcosAcosB=sinB=sinBcosBcosAA,即即sinsinAcosAcosB-B-coscosAsinAsinB=0,B=0,故故sin(Asin(A-B)=0.-B)=0.A,BA,B为为ABCABC的内角,的内角,A-B=0A-B=0,A=B,A=B,所以所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.4.4.在在ABCABC中,中,BB3030,CC120120,则,则abcabc_._.【解析解析】AA18018030301201203030,由正弦定理得,由正弦定理得,abcabcsinsinAsinAsinBsinBsinCC答案:
答案:
5.5.在在ABCABC中,已知中,已知aa22bb22bcbccc22,则角,则角AA等于等于_._.【解析解析】由已知得由已知得bb22cc22aa22bcbc,又又00AA,答案:
答案:
考向考向11正弦定理的应用正弦定理的应用【典例典例11】
(1)(2013
(1)(2013唐山模拟唐山模拟)在在ABCABC中中,a=1,b=,a=1,b=则则B=()B=()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)
(2)(2013
(2)(2013岳阳模拟岳阳模拟)如图如图,在在ABCABC中,点中,点DD在在BCBC边上,边上,求求sinABDsinABD的值的值;求求BDBD的长的长.【思路点拨思路点拨】
(1)
(1)利用正弦定理求解即可利用正弦定理求解即可.
(2)
(2)利用利用ABD=ADC-BADABD=ADC-BAD及两角差的正弦公式求解;及两角差的正弦公式求解;利用正弦定理求解利用正弦定理求解.【规范解答规范解答】
(1)
(1)选选C.C.由正弦定理可得由正弦定理可得,又又或或
(2)
(2)因为因为所以所以sinADCsinADC因为因为所以所以因为因为ABD=ADC-BAD,ABD=ADC-BAD,所以所以sinABDsinABD=sin(ADCsin(ADC-BAD)-BAD)=sinADCcosBAD-cosADCsinBADsinADCcosBAD-cosADCsinBAD=在在ABDABD中,由正弦定理,中,由正弦定理,得得所以所以【规律方法规律方法】1.1.三角形解的情况三角形解的情况已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,解三角形时解三角形时,注意解的情况注意解的情况.如已如已知知a,b,Aa,b,A,则有两解、一解、无解三种情况则有两解、一解、无解三种情况.2.2.解三角形中的常用公式和结论解三角形中的常用公式和结论
(1)A+B+C=.
(1)A+B+C=.
(2)0
(2)0AA,BB,CC,sin(A+B)=sinCsin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosCcos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC.tan(A+B)=-tanC.(3)(3)三角形中等边对等角三角形中等边对等角,大边对大角大边对大角,反之亦然反之亦然;三角形中任意三角形中任意两边之和大于第三边两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边.【变式训练变式训练】在在ABCABC中,中,求角求角AA,CC和边和边c.c.【解析解析】由正弦定理得由正弦定理得,aab,A=60b,A=60或或A=120A=120.当当A=60A=60时,时,C=180C=180-45-45-60-60=75=75,当当A=120A=120时,时,C=180C=180-45-45-120-120=15=15,考向考向22余弦定理的应用余弦定理的应用【典例典例22】
(1)(2013
(1)(2013台州模拟台州模拟)在在ABCABC中,中,(2a-c)cosB=(2a-c)cosB=bcosbcosC,C,则角则角BB等于等于()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)
(2)(2013
(2)(2013济南模拟济南模拟)已知已知ABCABC中,中,sinsinAsinAsinBsinBsinC=C=324324,则,则coscosCC等于等于()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)(3)(3)在在ABCABC中,角中,角AA,BB,CC所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c,且满足,且满足则边则边a=()a=()(A)(B)(C)(D)4(A)(B)(C)(D)4【思路点拨思路点拨】
(1)
(1)利用余弦定理代入整理转化可求利用余弦定理代入整理转化可求.
(2)
(2)利用已知条件及正弦定理得利用已知条件及正弦定理得a,b,ca,b,c的关系,再利用余弦定理可的关系,再利用余弦定理可求求.(3)(3)利用已知可得利用已知可得coscosAA及及bb,cc的值,从而利用余弦定理可求的值,从而利用余弦定理可求a.a.【规范解答规范解答】
(1)
(1)选选C.C.由由(2a-c)cosB=(2a-c)cosB=bcosbcosCC得得得得aa22+c+c22-b-b22=ac,=ac,又又00BB,
(2)
(2)选选B.B.由由sinAsinBsinC=324,sinAsinBsinC=324,及及得得abc=324.abc=324.故设故设a=3k,a=3k,则则b=2k,c=4k,b=2k,c=4k,故故(3)(3)选选C.C.因为因为所以所以由由得得bccosA=3bccosA=3,所以,所以bc=5.bc=5.由由bc=5bc=5,且,且b+c=6b+c=6,解得,解得由余弦定理得由余弦定理得aa22=b=b22+c+c22-2bccosA=20,-2bccosA=20,故故【互动探究互动探究】若将本例题若将本例题(3)(3)中的中的“b+cb+c=6=6”改为改为“”,如何求,如何求a?
a?
【解析解析】由由得得故故又由又由得得故故即即【规律方法规律方法】正、余弦定理的相互转化正、余弦定理的相互转化正、余弦定理在应用时正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化可相互转化.如如aa22=b=b22+c+c22-2bccosA-2bccosA可以转化为可以转化为sinsin22A=sinA=sin22B+B+sinsin22C-2sinBsinCcosAC-2sinBsinCcosA,利用这些变形可进行等式的化简与证,利用这些变形可进行等式的化简与证明明.【加固训练加固训练】在在ABCABC中,中,a,ba,b,cc分别是角分别是角AA,BB,CC的对边,且的对边,且
(1)
(1)求角求角BB的大小的大小.
(2)
(2)若若a+c=4a+c=4,求,求a,ca,c的值的值.【解析解析】
(1)
(1)由余弦定理知:
由余弦定理知:
将上式代入将上式代入得:
得:
整理得:
整理得:
aa22+c+c22-b-b22=-ac.=-ac.BB为三角形的内角为三角形的内角,
(2)
(2)将将代入代入bb22=a=a22+c+c22-2accosB,-2accosB,得得bb22=(a+c)=(a+c)22-2ac-2accosB,-2ac-2accosB,ac=3.ac=3.由由故故a=1,c=3a=1,c=3或或a=3,c=1.a=3,c=1.考向考向33利用正、余弦定理判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的形状【典例典例33】
(1)(2013
(1)(2013哈尔滨模拟哈尔滨模拟)在在ABCABC中,若中,若a=2bcosCa=2bcosC,则,则ABCABC是是()()(A)(A)锐角三角形锐角三角形(B)(B)等腰三角形等腰三角形(C)(C)钝角三角形钝角三角形(D)(D)直角三角形直角三角形
(2)
(2)在在ABCABC中,中,aa,bb,cc分别为内角分别为内角AA,BB,CC的对边,且的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sin
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- 一轮 复习 正弦 定理 余弦
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