同步北师大高中数学必修二培优新方案课件第二章222圆的一般方程.docx
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同步北师大高中数学必修二培优新方案课件第二章222圆的一般方程
2.2
的一般方程
读教材
预习新知
一、预习教材•问题导入
预习课本P81〜82,思考并完成以下问题
(1)圆的方程除了标准方程的形式外,还有没有其他的表现
形式?
如果有,是什么形式?
二、归纳总结•核心必记
二元二次方程X2+j2+Dx+Ey+F=0表示的图形
⑴变形:
把方程戏+長+皿+£>+尸=0配方可得
x+y2+Uf2=
DE}
③当Z)2+e2_4fvo时,方程无实数解,所以不表示任何图形.当沪+应一4F>0时,称二元二次方程?
+y2+血+妙+F=0为的般方程
(1)圆的标准方程明确地表达了圆的圆心与半径,而一般
方程则表现出了明显的代数结构形式,经过一定的代数运算才可以求出圆心与半径・
(2)二者可以互化:
将圆的标准方程展开成二元二次方程
三、基本技能•素养培优
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“,错误的打“X”)
⑴二元二次^x2+j2+Dx+Ej+F=0一定是某个圆的方程.
+j2+«x—lay=0过原点・
a谭尿
~ 削迪関"'価,圖&_普編聊站竺峯0=血+心_兀+”+严辛华皋了 3. H|x24-j2+2x—3y=0的圆 A. 2) C・(2,3) 答案: A 加+2丿=0的周 答案: 2a/2tt 心坐标为 B.1,| kA D.1, k 3) 2) 考点一圆的一般方程的理解 [典例]判断方程x2+j2—4mx+2mj+20m—20=0能否表 [解]法一: 由方®x2+j2—4/wx+2/wj+20zw—20=0,可知£)=_4加,E=2m9F=20加_20, •••Z>2+庆一仃=16加2+4加2一go加+80=20(加_2几 因此,当加=2时,它表示一个点; 当加工2时,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2加,—/w),半径为尸^D2-\-E2—^F=\l5\m—2\. 法二: 原方程可化为(X—2/w)2+(y+m)2=5(zw—2)2, 因此,当加=2时,它表示一个点;当加工2时,表示圆的方程. 此时,圆心(2加,—/w),半径/=书1加一21・ 解决这种类型的题目,一般先看这个方程是否具备 圆的一般方程的特征,即: ①午与y2的系数是否相等; (2)不含与项. 当它具有圆的一般方程的特征时,B<£>2+E2- 4F>0是否成立,也可以通过配方化成“标准”形式后,观察等号右边是否为正数. [针对训练]若^8x2+y2+2mx—2y+m2+5m=Q表示圆,求: (1)实数加的取值范围; ⑵圆心坐标和半径. 解: ⑴据题意知。 2+炉一4尸=(2加)2+(_2)2—4(加2+5加)>0, 即4th2+4—4iw2—20zn>0,解得加v;,⑵将方®x2+j2+2mx—2j+zw2+5/w=0写成标准方程为(x+fw)2+(y—1)2=1—5/w,故圆心坐标为(一%1),半径尸=寸1_5加・ [典例]已知点A(0,2),B(4,0),求过点4,B及原点O的圆 的方程・ [解]法一: 设所求的圆的一般方程^/x2+/+Dx+E>+F=0. 因为4,B,O在圆上,有 D=-4, E=—2, F=0. 2E+F+4=0, «4D+F+16=0, f=q9 所以所求圆的方程Mx2+j2—4x—2y=0. 法二: 设圆心为M,VA,B,O构成直角三角形,其外 接圆的圆心应在斜边的中点上.又A(0,2),B(4,0), 的标准方 AM(2,1)•L4BI=a/16+4=2a/5,•••半径f=a/5,[ 程为(兀一2)2+3—1)2=5, 所以所求圆的一般方程为x2+y2—4x—2y=Q. [类题通法] 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 ①根据题意,选择标准方程或一般方程; 2根据条件列出关于a,b,『或D,E,F的方程组; 3解出a,b,/或D,E,F,代入标准方程或一般方程. [针对训练] 求经过两点A(4,2),B(—1,3),且在两坐标轴上的四个截距之 和为2的圆的方程. 解: 设圆的一般方程为/+丁2+皿+型+尸=0,令y=0,^x2+Dx+F=0,所以圆在兀轴上的截距之和为小+兀2=-D; 令兀=0,得犷+酊+尸=0,所以圆在y轴上的截距之和为yi+y2=—E; 由题设,兀1+兀2+丿1+丿2=—(D+E)=2, 所以D+E=-2. 又A(4,2),B(—l,3)两点在圆上, 所以16+4+4D+2E+F=0, ② l+9-D+3E+F=0, ③ 由①②③可得D=—2,E=0,F=—12, 故所求圆的方程为才+/-2x-12=0. 考点三 的方程的实际应用 m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 20m,拱高OP=4 求支柱42卩2的高度(精确到0.01m). [解]建立如图所示的直角坐标系,使 圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0,方),圆的 半径是厂,那么圆的方程是掰=/・ 因为八B都在圆上,所以它们的坐椒0,4),(10,0嘟满足方程 02+(4-Zi)2=r2,102+(0-Z>)2=r2. 解得〃=—10・5,r2=14.52. 所以,圆的方程是r? +(y+10.5)2=J4.52. 把点戶2的横坐标兀=一2代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52, 即丿+10.5=714.52—(—2)2(匕的纵坐输>o,平方根取正值).所以y=寸IE—(—2)2—10.5 ^14.36-10.5=3・86(m). 故支柱A2P2的高度约为3・86m. 在解决圆在实际生活中的应用问题时,借助坐标 系,利用方程求解可取得简便、精确的效果.应用解析 法的关键是建系,合理适当的建系对问题的解决会有很 大帮助. [针对训练]如图所示,一座圆拱桥,当水面在图示位置时,拱顶离水面2m, 水面宽12m,当水面下降lm后,水面宽多少米? 因为原点在圆上,所以F=0. 另外点A,点B在圆上,所以 40+6Z>-2E=0, 40-6Z>-2E=0. AD=O,E=20, •'•圆的方程为x2+j2+20y=0. 当水面下降lm后,可设点A'的坐标为do,-3)(x0>0),如图所示,将4’的坐标(m—3)代入圆的方程,求得兀()=书I, 所以,水面下降lm后,水面宽为2x0=2^51(m). “多练悟•素养提升”见“课时跟踪检测(二十二)” (单击进入电子文档)
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- 同步 北师大 高中数学 必修 二培优新 方案 课件 第二 222 一般方程