人教A版高中数学必修五综合测试.docx
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人教A版高中数学必修五综合测试
高中数学学习材料
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必修5综合测试
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设a
A.a2 C.a2 答案 B 2.关于数列3,9,…,2187,…,以下结论正确的是( ) A.此数列不是等差数列,也不是等比数列 B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列 C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列 D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列 解析 记a1=3,a2=9,…,an=2187,… 若该数列为等差数列,则公差d=9-3=6, an=3+(n-1)×6=2187,∴n=365. ∴{an}可为等差数列. 若{an}为等比数列,则公比q==3. an=3·3n-1=2187=37,∴n=7. ∴{an}也可能为等比数列. 答案 B 3.在△ABC中,若sin2A+sin2B=2sin2C,则角C为( ) A.钝角B.直角 C.锐角D.60° 解析 由sin2A+sin2B=2sin2C,得a2+b2=2c2. 即a2+b2-c2=c2>0,cosC>0. 答案 C 4.定义新运算a*b=例如1]( ) A.(-∞,+∞)B.(-∞,1) C.(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞) 解析 或解得x<1. 答案 B 5.在下列函数中,最小值等于2的函数是( ) A.y=x+ B.y=cosx+ C.y= D.y=ex+4e-x-2 解析 A中当x<0时不成立,B、C中y取不到2,因此A、B、C均错,D正确.y=ex+4e-x-2≥2-2=2, 当且仅当ex=,即当ex=2,x=ln2时,取等号. 答案 D 6.不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,而点(4,4)在此区域内,则b的范围是( ) A.-8≤b≤-5B.b≤-8或b>-5 C.-8≤b<-5D.b≤-8或b≥-5 解析 ∵4>3×3+b,且4≤3×4+b,∴-8≤b<-5. 答案 C 7.已知实数m,n满足不等式组则关于x的方程x2-(3m+2n)x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是( ) A.7,-4B.8,-8 C.4,-7D.6,-6 解析 两根之和z=3m+2n,画出可行域,当m=1,n=2时,zmax=7;当m=0,n=-2时,zmin=-4. 答案 A 8.已知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列,b,y,c成等差数列,则+的值等于( ) A.B. C.2D.1 解析 用特殊值法,令a=b=c. 答案 C 9.制作一个面积为1m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(够用、又耗材最少)是( ) A.4.6mB.4.8m C.5mD.5.2m 解析 设三角形两直角边长为am,bm,则ab=2,周长C=a+b+≥2+=2+2≈4.828(m). 答案 C 10.设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数列,且a1=b1,a2n+1=b2n+1,则( ) A.an+1>bn+1B.an+1≥bn+1 C.an+1 解析 an+1=≥==bn+1. 答案 B 11.下表给出一个“直角三角形数阵”: , ,, …… 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则a83等于( ) A.B. C.D.1 解析 第1列为,=,,…,所以第8行第1个数为,又每一行都成等比数列且公比为,所以a83=××=. 答案 C 12.已知变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( ) A.4B.2 C.1D.-4 解析 先作出约束条件满足的平面区域,如图所示. 由图可知,当直线y+2x=0,经过点(1,0)时,z有最大值,此时z=2×1+0=2. 答案 B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.共20分.把答案填在题中横线上) 13.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于________. 解析 ∵B=45°,C=60°,∴A=180°-B-C=75°. ∴最短边为b.由正弦定理,得b===. 答案 14.锐角△ABC中,若B=2A,则的取值范围是__________. 解析 ∵△ABC为锐角三角形, ∴∴ ∴A∈(,).∴==2cosA.∴∈(,). 答案 (,) 15.数列{an}满足a1=3,an+1-2an=0,数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn=(-1)n(n∈N*),则bn=________. 解析 ∵a1=3,an+1=2an, ∴数列{an}为等比数列,且公比q=2.∴an=3·2n-1. 又an·bn=(-1)n.∴bn=(-1)n·=. 答案 16.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围是________. 解析 令f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象是开口向上的抛物线,要当x∈(1,2)时,f(x)<0恒成立,只要解得m≤-5. 答案 m≤-5 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知全集U=R,A=,B={x|3x2-4x+1>0},求∁U(A∩B). 解 A={x|3x2-4x-4<0}=, B=. A∩B=, ∁U(A∩B)={x|x≤-,或≤x≤1,或x≥2}. 18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值. 解 (1)由bsinA=acosB及正弦定理=,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=. (2)由sinC=2sinA及=,得c=2a. 由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-ac. 所以a=,c=2. 19.(12分)已知函数f(x)=ax2-bx+1. (1)是否存在实数a,b使不等式f(x)>0的解集是{x|3 (2)若a为整数,b=a+2,且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值. 解 (1)∵不等式ax2-bx+1>0的解集是{x|3 ∴方程ax2-bx+1=0的两根是3和4, ∴解得a=,b=. 而当a=>0时,不等式ax2-bx+1>0的解集不可能是{x|3 (2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1. ∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0, ∴函数f(x)=ax2-bx+1必有两个零点. 又函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点, ∴f(-2)·f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0,
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