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整理振型向量正交性
第五节振型向量正交性
对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别.只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了.因此,在研究多自由度系统振动问题时,应找由一种便于分析的方法,这就是模态分析法〔振型叠加法〕为此,首先讨论有关耦合与解耦的方法.
一、耦合与解耦〔教材6.7和6.8〕
举例说明什么是耦合与解耦.
如下图是一刚性杆AD,用刚度分别为匕和卜2的弹簧支承与A、D两端.
(1)取质心C点的垂直位移yC和刚性杆绕C点的转角日为广义坐标.那么刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示.由几何关系,得
11yD12yA
•yc=
\Va=yc-1i0I1+I2
yD=yc3-yD-yA
1u=
1112
由牛顿运动定律,的系统的振动微分方程为
myc=kiyA-k?
yD
a(a)
JkiyAli-k2yD12
式中m是刚性杆AD的质量,J是刚性杆AD绕质心C的转动惯量.整理式(a),得
myck1k2yck212-k111口=0
122⑸
Jk212-k111yck1112k21;口=0
写成矩阵的形式
m0yckik2k212-ki1iyc0
二,HJI"I22I"L'r?
(c)
_0Jk212-ki1iki1i2k21〞I10
在上式中,质量矩阵是一个对角矩阵,反映在方程组中,就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数(加速度)yc,第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数由,这种加速度(惯性力)之间没有耦合的情况,称之为惯性解耦.刚度矩阵是非对角矩阵,反映在
方程组中,也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐
标yC和日,这种坐标之间有耦合的情况,称之为弹性耦合(静力耦合).
(2)如果在杆上另取一点B,令AB=l3=11-e,31
BD=I4=I2+e,其中e=BC,且令
以B点的纵坐标yB和杆的转角日为广义坐标,那么系统的振动微分方程为
myBmJI〔k「k2〕yB=0
meyB〔Jme2〕』〔kKkzl:
尸=0写成矩阵形式
mmeyBk1k20yBIT0
22.2
_meJme0k1l3k2141riJ0
在新的坐标写生的方程中,刚度矩阵是一个对角矩阵,
反映在方程组中,就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标yB,第二个方程仅包含另一个广义坐标日,这种坐标之间没有耦合的情况,称之为弹性解耦〔静力解耦〕.
而质量矩阵是非对角矩阵,反映在方程组中,也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标的二阶导数yC和JI,这
种加速度〔惯性力〕之间有耦合的情况,称之为惯性耦合.
(3)假设以弹簧支承处的位移y』DyD为广义坐标,那么振
动微分方程为
m12yAml』Dk1〔l1l2〕yAk2〔lil2〕yD=0
-JyAJyD-k1〔l1l2〕liyAk2〔l1l2〕l2yD=0
写成矩阵形式
ml2
-J
ml1/ak1〔l1l2〕
.Hu+i.zi.xi
J」!
yDIL-k[〔l1L〕l1
k2〔l1l2〕yA0
k2〔l1*l2>21IyDJI0J
由此可见此时,刚度矩阵和质量矩阵都不是对角矩阵,即方程组中同时存在着惯性耦合和弹性耦合
有以上分析可以看由,同一个振动系统可以选择不同的广义坐标来建立它的运动方程.但假设选择的坐标不同,系统的运动方程的形式和耦合情况也不同.这说明:
运动方程的
耦合并不是振动系统所固有的本性,而完全取决于坐标的选
择.即〔k】和IM】与选取的坐标系有关.换句话说,描述系统的坐标系不同,那么Ik1和[M]也不同.
我们知道,求解一个耦合的运动方程是十分复杂的,尤其是实际工程问题,有的系统自由度多达上百数千,因此即使利用计算机求解这样一个耦合的方程组,也是十分困难的.但如果选取的坐标恰好使系统的运动微分方程组的耦合项全等于零,既无弹性耦合,又无惯性耦合,也就是使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵,那么n个联立的微分方程就成为n个独立的微分方程了,于是求解就很容易了.
二、振型正交性(教材6.12)
一个n个自由度系统具有n个固有频率和n组对应的振
型向量.设第i阶固有频率为«对应的振型为{uL,那么有
।Ili
如下的关系
〔kMUj=切.[MMu-(a)
同样缶nj和Q}j也满足
1】{田j=.2j[M]{u}j(b)
用〈u'j前乘以(a)两端,用Uu\前乘以(b)两端,得
{/:
Ik】{u'=屋叱皿】“(c)
:
u「kHu)j=QuJmMu](d)
由于Ik1和【M】都是对称矩阵,那么将(d)式两边转置,得
UTIkHuL=WQ}T【MMuL(e)
j।njj।
(c)—(e),得
(2i-;j):
u>MMu'i=0(f)
在一般情况下,当i,j时,6nl=缶nj,所以有
\}丁[MHuL=0(4-45)
ji\,
将上式代入(e)式,得
(u1:
[kM/j=0(4-46)
对应于不同固有频率的两个振
式(4-45)和(4-46)表示,
型向量之间存在着对质量矩阵IM】和刚度矩阵Ik1的正交
性.这个性质就称为振型向量正交性.
将式(a)两边前乘以1/j,得
..TT..
{5.【kKuL=eni{/.【MKuL(g)
।iniii
令
Mi=U:
[MMu[(i=1,2,,n)(h)
因质量矩阵IM】是正定的,那么Mj总是一个正实数.称为第i阶主质量.
Ki=U:
比几;(i=1,2,,n)称为第i阶主刚度.
那么由式(g),得
由此可见,第i阶固有频率的平方就等于第i阶主刚度除以第i阶主质量
、主质量矩阵和主刚度矩阵
把n个振型向量依次排列,构成一个n阶方阵,记为
U)1P)2।卜
U1U1
称为振型矩阵.那么
Mi
那么上式变成
M10III0
UT〔MH-ui
0M2III0
IIIIIII
00IIIMn
称为主质量矩阵〔模态质量矩阵〕
K10III0
0K2III0
IIIIIIII
_00IIIKn
称为主刚度矩阵〔模态刚度矩阵〕
例题2:
验证振型正交性.
对于图示系统〔例1〕
m1=m2=m3=m,k1=k2=k3=k4=k
m002k-k0
质量矩阵[M,m0,刚度矩阵[k】=j-k2k-k
_00m_0k2k
系统的三个固有频率
22-\2k五22\5k
'n1=:
'n2'I,'n3=\
im\m।m
振型向量为
111
'u'=\2,*u,2=0,'u'3=一'2
IdIdIdI
工1,「1,L1,
证:
m001
U:
[MHu)=1V2"0m0;l0?
L--J
W0m」[-1.
1
=Lm五mmj{0}=m+0-m=0
-1J
2k-k01
u:
*八)2=1V21k2k-k0
W-k2kJ[-1
1
=[(2-6)k2(2-V2)k(2-V2)k「0,
-1.
=(2-\2)k0-(2-\2)k=0
m001
M1={/:
[M=172110m0;?
.IIl_」
00m1
1
=m2mm=4m
、2
1
2k-k01
Ki=3:
[k"*=[1V2"-k2k-k;?
.
0-k2k1
1
二(2-Q)k2(\2-1)k(2-\2)k\2
1
=(2-\2)k2\2(\2-1)k(2-\2)k
=4(2-'2)k
2」=4(2=2)k=(2-\2)k
n1一/一一
M14mm
Mi
四、正那么振型向量和正那么〔主〕坐标
1.正那么振型向量
由于振型向量仅表示各坐标间幅值的相对大小.因此,只有通过归一化,这才能确定振型向量中元素的具体数值.
所以,如果归一化不同,那么由振型向量构成的振型矩阵,按下式计算时
M10III0
」T……0M2III0
uMu=:
uIIIIII
00IIIMn
求得的主质量Mi的值各不相同.
故为了方便起见,将各阶振型向量正那么化,令
1.,
{中}二^^{/[(i=1,2,III,n)(6-48)
Mi
称为第i阶正那么振型向量
T,1,T1..
i'M卜i=-=ui'M7"
(6-49)
VMi\/Mi
即正那么振型向量所对应的主质量等于1
T1T1
「k『u「ki''u;
6-50)
1,Mi\/Mi1
1
Ki=ni(i=1,2,III,n)
M,
把n个正那么振型向量依次排列,构成一个n阶方阵,记
那么矩阵心】称为正那么振型矩阵
由于正那么振型向量是振型向量中的特定一组,因此正那么振型向量也满足振型向量正交性.即
「T'MH:
=0(i,j=1,2,IIIn,i二j)
=0(i,j=1,2,IIIn,i=j)
所以有
[Jm「
.2
n1
〈X(t)}=体]{z(t)}(6-51)
那么(z(t)}=以z211141T称为正那么主坐标,简称正
那么坐标.将(6-51)式代入多自由度系统的振动微分方程,
得
1M:
:
Z(tyk":
I;z(t))=:
F(t):
上式两边前乘以[①
1:
1TlMM」z(ty」'1T1"一‘Nt)「匕-F(ty
令
中⑴}=[①lT{F(t)}(6-53)
为对应于正那么坐标的鼓励力.那么有
(6-52)
:
Zt>[」z(t))=:
P(t>
展开上式,得
.ZnJnZ,二Pn(t)
上式是采用正那么坐标来描述的系统振动微分方程,是最简单
的运动方程式,它是n个独立的微分方程.因而求解就很容易了.
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- 整理 向量 正交