一三节点三角形单元docx.docx
- 文档编号:27176336
- 上传时间:2023-06-27
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:299.97KB
一三节点三角形单元docx.docx
《一三节点三角形单元docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一三节点三角形单元docx.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一三节点三角形单元docx
有限元课程总结
一三节点三角形单元
1位移函数
移函数写成矩阵形式为:
确定六个待定系数
56>=b.
「2A'7
ui
匕・
宀=[N]{5丫
V7
a4
v玉>
矩阵形式如下:
J“=TV,0Nj0NmbJ_0TV,0Nj0
2单元刚度矩阵的计算
1)单元应变和节点位移的关系
由几何方程可以得到单元的应变表达式,
2)单元应力与单元节点位移的关系
[sMdIb.]=
E
2A(1-Z/2)
Mi
Ci
%
2z
Et
4(1—“2)A
地C$+
[KJ=[Br]T[D][Bs]
brbs+—crcsts2*s
“也+与仏
(T=i,jjn;s=i,jjn)
3)
[DfBi
%
[K加
[K如
6
单元刚度矩阵
卩心][K“]
[K]J[K}i][K〃]
[心][Kmj]
3载荷移置
1)集中力的移置
如图3所示,
图3
由虚功相等可得,
(㈤丁附=(qYJW{p}
由于虚位移是任意的,则皿}"=["卩{鬥
2)体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为{〃}=
由虚功相等可得,
({J*r)r{7?
r=^}>f[N]r{p}tdxdy
{R}e=\\[N]r{p}tdxdy
3)分布面力的移置
设在单元的边上分布有面力{可二[片了r,同样可以得到结点载荷,
{R}e=\[N]T{P}tds
4.引入约束条件,修改刚度方程并求解
1)乘大数法处理边界条件
图3・4所示的结构的约束和载荷情况,如图3・7所示。
结点1、4上有水平方向的位移约束,结点4、6上有垂直方向的约束,结点3上作用有集中力(',匕)。
整体刚度矩阵[K]求出后,结构上的结点力可以表示为:
{F}=[K]{5}
根据力的平衡,结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。
用{»}表示结
点载荷和支杆反力,则可以得到结点的平衡方程:
[K]0}={P}(3.4)
这样构成的结点平衡方程组,在右边向量{P}中存在未知量,因此在求解平衡方程之前,要根据结点的位移约束情况修改方程(3-4)o先考虑结点n有水平方向位移约朿,与n结点水平方向对应的平衡方程为:
+^2w-1.2Vl+…+©几_[.2幵-1冷+笛”_1.2必+••co
根据支承情况,方程(3-5)应该换成下面的方程:
^=°(3-6)
对比公式(3-5)和(3-6),在式(3-4)中应该做如下修正:
在[K]矩阵中,第2n・l行的对角线元素©s改为1,该行中全部非对角线元素改为0;在{P}中,第2n・l个元素改为0。
为了保持[K]矩阵的对称性,将第2ml列的全部非对角元素也改为0。
同理,如果结点n在垂肓方向有位移约束,则(3-4)中的第2n个方程修改为,
=0
在[K]矩阵中,第2n行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为
10000
****
***
**
*
*00
*00
*00
10000
1000
***
0Er
0T
0
0
对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式,
如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移知,这时的约束条件为,
(3-7)
在[K]矩阵中,第2n・l行的对角线元素並12灯乘上一个大数A,向量{P}中的对应换成人笛“一…—心,其余的系数保持不变。
方程改为,
^2n-\,\U\+^2n-\,2V\+••・+^^2tt-\,2n-\Un+^2n-\.2nVn+•••匕^^2n-\,2n-\(3・8)
A的取值要足够大,例如取1010c只有这样,方程(3-8)才能与方程(3-7)等价。
二四面体单元
如图1所示的四面体单元,单元结点的编码为i,j,m,no每个结点的位移具有三个分量u,v,wo这样单元结点的位移列阵可表示成:
m
1T
单元的位移模式采用线性多项式
u=ccx+cc^x+oc3y+
q=冬+ochx+cr7y+^z8n
VP=6Z9+0()乂+C]1y+
式中,为待定系数,由单元结点的位移和坐标决定。
将四个结点的坐标(xi,yi,zi)>(xj,yj,zj)、(xm,ym,zm)>(xn,yn,zn)和结点位移(ui,vi,wi)>(uj,vj,wj)>(um,vm,wm)>(un,vn,wn)代入
(2)式可得12个联立方程,解方程组便可求出。
将这十二个系数回代到
(2)式,则得到由结点位移和形函数表示的
单元内任一点的位移表达式:
二NJNjlNmINnl]{3}e=[N]{疔
式中,[I]为三阶单位阵,[N]为形函数矩阵。
上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。
1单元应变和应力
知道单元内任意一点位移后,可利用几何方程确定单元内该点的应变。
其中
单元的应力列阵:
{b}=[»]{£}=辺旬伪=[s]伪=区—SjSm-s十疗
式中:
[S]为四面体单元的应力矩阵,其分块形式为:
「6
A£?
A&
6
A】
[sz]_[Q]0]—
6A3
V
46
A》®
6
O
(i,j,m,n)
O
A^di
AqC,
O
其中
4—
1—"-
1
—2JLl
A=
左(1—Q)
—2(1—“)
~36(1-+-
")(1一2")
2单刚矩阵
对于四面体单元,利用虚功原理,采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵
其中:
[K]e为单元刚度矩阵
山厂=JTfwr[Z)][B\cbcclyclz{d>}]6{d>}
写成分块形式为
g=川可[D^B^cbcdydz=[jB]t[Z?
][jB]V
—kin
rin
仏+&(g+d/J
+A2brcs
A\db+A2ht.ds
+&c/$crcs+AAdrds+brbs)\drcs+\crds
AM+\drds
+\drcs£d$+企如+g)
式屮子矩阵[Krs]*下式计算
可以看出,单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的,是一个常数矩阵。
如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点,再经过类似于平而问题的组集过程,就可以得到弹性空间问题的平衡方程
{穴}=[尺]{£}
三平面四节点四边形单元
矩形单元也是一种常用的单元,它采用了比常应变三角形单元次数更高位的模式,因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。
矩形单元1234如图3・1所示,其边长分别为2a和2b,两边分别平行于x,y轴。
若取该矩形的四个角点为节点,因每个节点位移有两个分量,所以矩形单元共有8个自由度。
阴(5)
"2(6)
V2(^2)
"4(〃4)
2b
AV4(V4)
图3-1
矩形单元1234
在局部坐标系中,节点i的坐标是(i,i),其值分别为±1。
取位移
模式
U=+6Z3?
7+心4百77
v=a5+cz7+a疋r/
由几何方程可以求得单元的应变
[S,
E
Aab{l—/LC)
碍(1+77。
)
M彳(1+%)
二^々77,(1+©)
4久(1+氐)W(l+£o)严碍(1+%)
对于平血应力问题
k\1
k\2
k\4
若将单元刚度矩阵写成分块形式
则其中的子矩阵可按下式进行计算
[ku]=JI[Q]'[Q][6]山5
E/1・2
如果单元厚度t是常量,则
同样,对于平面应变问题,只要将上式屮的E
1-即可。
四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为
[可附十}
四8节点六面体单元分析
一、形函数与坐标变换
1)形函数
Z,=—(1T-厂匚厂)•(1-4-0三0)•(1T-疋”疋)
2)坐标变换
3)位移插值函数与几何矩阵
三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量
殆[v]・W〕
di
N\
0
0
0
0
N\
0…他00…0他n2…0
di
di
dx
6N\
0
0
ON2
0
0
0
0
dx
dx
dx
0
8NX
0
0
dN2
0
0
dN.
0
1
6
Sy
0
0
6N\
0
0
dN2
0
0
沁
dz
dz
dz
6N\
6N\
0
dN2
dN2
0
6N塔
0
労
dx
dx
dx
dx
0
6N\
6N\
0
dN2
8N2
0
沁
dz
Sy
dz
Qy
dz
6N\
0
6N\
dN2
0
dN2
■■■■■■■
0
8z
dx
dz
dx
dz
8x
[dNt]
<、
dr
dx
>—D]・v
ds
_ly」v
f
dNt
dNt
dt
Jy
.dz丿
写成矩阵形式有:
单元刚度矩阵可以表示为:
[Ke]=JJJ[Bf[D][B]・dv=JJJ[BY[D][B]・dxdydz
veve
进一步写成数值积分形式为:
k]二£££恢苗训[功・恢护屛)]・卩(的,讣/1側上IJ=1曰
单元体力载荷向量可以表示为
底H川町•{/;}"=jjj[N]■{Fh}-\j\drdsdt
五其他常用单元位移函数和自由度
单元名称及
适用情况
杆单元
桁架
单元图形
位移模式
平面梁单元
平面刚架
(荟^点)起始瑤
u=ax+a2x
v=a3+a4x+a5x2+a6x3
u=ax+a2x+a3yv=a4+a5x+ahy
平面四边形单
元
平面应力或应
变
平面三角形单
元
平面应力或应
变
u=ax+a2^+a3ri+a^rj
2°5+必+如77+。
向
矩形板单元薄板弯曲问题
三角形板单元薄板弯曲问题
w=+a2x+a3y
2
+a4x+a5xy
+a6y2+如兀'
22+asxy+a9xy
+aiOy3+anx3y+a]2xy3
w=a}L}+a2L2+«3L3+a4£2+a5厶3厶+a6L|L2
+©(厶2厶;一厶厶;)
+aK(LyL\-厶厶;)
+a()(L|L~2—L2L\)
u=a】+a2e+a^ri+a4^
v=a5+ab£+tz77+
w=ag+a]o£+4]〃+Q]2:
u=a}+a2c+57++
5科+唧:
+6©+a亦
v=a9++q[〃+mg
+5印+5皿+gQ+仏釦:
w=al7+als£+alg^+a2OC
+a?
何+a22i^+幺+5品
有限元中,梁单元的节点有6个自由度,壳单元节点有5个自由度,而体单元节点有3个自由度。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三节 三角形 单元 docx