物理场的熵及其自发减小现象.docx

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物理场的熵及其自发减小现象

物理场的熵及其自发减小现象

张学文（新疆气象科学研究所）

在科学发展史上某些人们创立的概念的含义一再扩大，这显示了这些概念在描叙物质世

界中有着重要意义•质量和能量这两个概念就属这种事例

霍顿（G.Hoiton）[l]，说“某些概念之所以重要是由于它们反复出现在许多描叙和定律中，而且往往波及离最初表述很远的领域内”•这一段论述完全符合熵这个极为重要的概念在一

百多年中的发展史•

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在热力学中，人们用熵测度微观的分子运动的混乱（无序）程度•在信息论中，熵被用来计

量信息源发出的每个代码含有多少信息量•在物理学中人们广泛研究某些物理量在空间中的

分布及其演变•这里我们引用熵来描述物理量在空间中分布状态的丰富程度•这为物理学的研

究提供了一种新的方法，而且由于它与热力学第二定律有关，因而向我们提出了一系列问题

这显然对物理学和第二定律的发展都有重要意义

一、历史的回顾

“熵”这个概念是在1865年研究热机效率时被引入的一个物理量•人们发现它仅与物质

现时存在的状态有关，而与过去经历的热力过程无关.在可逆的热力过程中，物质的熵（S）

的增量由下式给出:

这里T为物质的绝对温度,

dQ为物质在元过程中吸收的热量.可是在不可逆的过程中，人

们发现

dS睾

综合这些情况，就得出了微分形式的热力学第二定律

dS_罕

（1）

在一切孤立系统中，物质与外界的热交换不存在，即dQ=0•故有

dS_0

（2）

由这里得出在著名的孤立系统中熵仅能增大或不变的论断•一百多年来它一直被广为引用•

熵是什么？

大约在1870年，玻尔兹曼从分子运动的角度对热力学的熵给出了科学解释

他指出熵是分子运动混乱程度大小的一种测度.物质吸收了热，分子运动就更乱，分子运动

速度就更加分散，变成各种大小不等的数值•这时熵就更加大了一些•如果承认分子的每种微

观状态出现的机会都相等的话，人们看到不仅一个系统的每一种宏观态与极其众多的微观态对应，而且发现熵与该宏观状态下对应的微观状态的个数Q的对数之间存在线性关系，

即

S二kInQ（3）

k就是玻尔兹曼常数.上式就是著名的玻尔兹曼关系•在这里，就物质的状态问题（不是分子个

数问题），在宏观量熵与微观量之间建立了一个重要桥梁

给定的物质系统共有Q个微观状态，而每个微观状态出观的概率又相等，所以每一个微观状态出现的概率就是1/Q.这样就使我们在熵与概率之间建立起关系来•实际上上式还

可以改写成

S--k'鳥In（^）（4）

1/Q是微观态出现的概率•因而，由⑶式改写成的⑷式已经建立了一种熵与概率之间的关系•这无疑对理解什么是熵有重要意义•如按一般记法，概率用p表示，则在这里就有p=1/Q故

s=-k'plnp（5）

至此我们看到，熵这一概念已经从可逆过程中热量吞吐与绝对温度的比值，扩展到了微

观状态等新领域•

事隔近百年，人们在研究通讯问题时，遇到了测度从某一信息源传来的信息量大小的问

题.现代信息论创始人申农（C.E.Shannon）不仅把他的目光转向了概率论，而且天才地指

出，如果一个信息源中某种信号出现的概率是pi,那么它带来的信息量就是-Inpi.如果信

息源表示信息用的信号仅有n种，每种信号出现的概率又相等（都是p）,那末该信息源每个

信号带来的信息就是-'•:

plnp•这个表达式与玻尔兹曼对熵的理解是非常相似的•照理而

言，每个新学科的创始人都有权为他提出的新概念使用由他命名的词汇；但申农由于看到通

讯中的信息与热力学的熵本质上面一致性，所以他直接就用热力学中的熵这个词来测度他所

研究的信息.

当信息源发出的不同信号有着不同的出现概率时，申农把信息源的熵H以下式来定义

[2]:

n

H--C，1piln口（6）

这个式子在外形上是（5）式的自然推广•在各口相等时，它在外形上与（5）式完全一致•这里H仍称为熵，但右侧的系数C不是玻尔兹曼常数•当H以纳特（nat）为单位时，C值取为1•在

通讯与计算机术语中H常以比特（bit）为单位•此时C取值为1/In2•即平时如以Iog2代替In,C就是1.

申农把熵用于通讯理论中，使得熵的概念得到又一次扩展.在这个扩展中我们看到熵不

仅不必与热力学过程相联系，而且也不必与微观的分子运动相联系.熵概念的扩展使我们再

次看到它与概率论的密切关系，而且我们认为它最本质的东西是对物质系统的“状态”给出

了一个科学的计量方法.这个状态可以是热学的，也可不是热学的，可以是微观分子的，也可以是宏观的•

在概率论中，广泛地研究着离散型的随机变量和连续型的随机变量・（6）式给出的实际上

是离散型随机变量的熵之表达式•仿照（6）式不难得出连续型的随机变量的熵之表达式应当是

qQ

H=-C__f（x）lnf（x）dx（7）

其中只f（x）是连续型随机变量x的概率密度分布函数•

一枚硬币落下来后，它正面向上、反面向上的概率都是1/2.故依（6）式知其熵是

H=-

掷一枚骰子对应于一信息源有六个等概率结局，其熵为六个-；|n；之和，即In6.一

个遵守正态分布的连续型随机变量，当其标准差为b时，依⑺式可求得其熵为In•.2二e匸•而一个连续变量x,如等概率地出现在从a到b的区间上，那么可算得它的熵为In（b-a）纳

特•

这些例子中所谓熵都是从集合中进行一次抽样时（对信息源进行一次观测），对抽样结果

的不确性的测度•从数学上看只要知道了变量的概率分布（或概率密度）就可以得出对应的熵

值•即熵是概率（密度）分布的泛函•

二、物理场的熵

回顾熵的历史，使我们看到实际上最初是用它描述了微观分子运动状态这个群体的丰富程度

只是在信息论中，用它来描述一个信号状态的丰富程度•从这里我们看到在不同场合熵都是

描述事物状态的丰富程度的•而科学史也证明用熵来度量某一事物的状态之丰富程度是十分合理、十分科学的•

图1加热使铁片上的温度场的状态变得丰富（熵增大）

图1中有一块圆铁片，如不用酒精灯加热，它的温度是均一的•各处温度相同，表明温度状态十分简单•这时我们说它的状态的丰富程度（也就是熵）为零•当用灯加热园心部分以

后，铁片土的温度场复杂化了•它的状态多样化了•这时它的熵值也应当加大，这个熵就描述了铁片上温度分布的复杂（丰富或说混乱）程度•

一池湖水静止不动就说它的熵为零•如其上下左右以不同速度在运动，那它的熵就大了

海洋中的洋流、大气中的气流，不同经纬度处的海拔高度、燃烧炉内的温度分布、反应炉中

不同部分、不同化学成分的不同浓度、生物体内不同部位的不同组成、人口中的不同年龄、不同职业……,几乎可以说我们看到一切物质系统的内部有差异的地方，都可以提出一个用

熵计量其状态丰富程度的问题•一一这就是要研究的物理场的熵.

图2有不同水温T/、T2、T3的三块稻田（0.4,1.0,0.7，是它们分别占有的面积）

图2中共有三块稻田•每块田内由于灌水迟早不一，因而它们的温度也不一样•试问这稻

田中水温的熵是多少.

我们设想对稻田进行一次随机抽样•每次抽得的温度可以是「、T2或Tg.这些温度就是

随机变量.Ti、T2或Tg被抽中的概率是多少？

由于每一小块稻田被抽中的概率是相等的，所以「、T2或Ta被抽中的概率就与三块地的面积成正比•三块地的面积和为0.4+1.0+0.7=2.1

故三块地分别被抽中，即「、T2或Tg被抽中的概率就是0.4/2.1,1/2.1和0.7/2.1.

将这个概率分布代从（6）式，可求得温度的熵为

H=-黔1门°1-2?

1n右-翳1n^=1.03纳特

这样，对于系统中每一点都有一个确定值的物理量的场，我们可算出它的熵•请注意，这里提问题时并未涉及概率问题•仅是为了求熵，我们才设想了一个引出随机变量的纯随机

抽样试验来的•

根据上述，可把求物理场的熵的步骤归纳如下：

1.设想对物质系统（物理场）的总体进行一种纯随机抽样.由此就可以在确定问题中引出

随机变量•

2•依照物质系统总体中每一小部分被抽中的概率都相等的观点，计算随机变量取某特定值的概率（或概率密度）.

3.以⑹式或（7）式从已知的概率分布计算熵.

现以酒精灯加热的圆铁片为例（图3）,沿上述步骤求熵•这里假设圆铁片的半径为R,从

圆心向外温度T的分布仅与该处离圆心的距离r有关.T与r有如下关系：

T二To-ar

根据上述关系，在圆片上的等温度线实际上是以圆片中心为圆心的一簇同心圆•依前述

步骧求熵时首先假想一个在圆片上进行纯随机抽样的实验•这种抽样使温度成为随机变量.而

在每小块面积被抽中的概率都相等的随机抽样中（任一小块无权被过多地抽中或不被抽中），

抽得温度为TfT+△T者的概率依古典概率定义温度出现于T—T+△T者的概率p是它占

据的面积与圆盘总面积的比

也S2兀rdr

上式中的就是温度改变AT时r的改变量•该例中，△T>0时Ar0，故式中加了一个负号，以保证概率为正值•

以AT除上述概率，即得相应的概率密度（单位增量时概率的增量）•让我们以吾代替-咅并用|dT代替前面加的负号，最后得概率密度f（T）为

*dT

代入前式得

f仃）J（To-T）

Ra

计算表明上式具有概率密度的归一性

HT=1nRa■I

在园铁片半径R,系数a取值为2时，显然圆铁片不大，它内外温度差也不大•此时求

得熵H为1.19纳特•如果R为20,a也是20,则熵H的值变成了5.8纳特1.这时圆盘变大了，温度的状态也更丰富了•它的熵值加大就反映出温度场的状态更为丰富（或说更复杂、更为混

乱）•

在连续随机变量的熵的计算中，应当注意选好变量的单位，否则可能岀现负值，造成这种结果不合理结果的原因请参看：

张学文《气象预告问题的信息分析》，科学出版社（1981）10-11・

计算物理场的熵.这个熵可以通过一个假想的随机抽样方法从x在场上的分布逐步按熵的基

本公式算出来.

据此我们就可以对一系列物质系统提出一个新的研究对象一一熵.物质系统可以是一汪

湖水的温度，也可以是海洋的盐分浓度、大气中的水汽含量、人的财产，昆虫的密度等•在大干世界数不清的物质系统中，熵各是多少？

它有什么内在规律?

从这种研究中为我们带来多少新认识？

带来多大利益？

笔者在此仅想作一个估计，即研究物理场的熵将为我们带来的好处，不会低于人们研究

物质系统能量时为我们带来的好处.

三、物理场熵自发减少现象

在一个孤立系统中，热力学的熵总是自行增大，最后终止在熵达到极大值的状态下

是在研究热力过程时人们得出的著名的热力学第二定律•这个定律已经在化学、光学，相变，

热机等研究领域中取得了一系列成绩•然而至今人们对它仍有不少不理解之处•普里高津甚至

说，“热力学第二定律在它建立了一百五十年之后看起来仍然像一个发展的规划，极其不像是一个通常含义的所谓的已完善的理沦.因为对S的产生来说，除了给出符号外，严格地说

就什么也没有讲•”⑷

我们注意到熵自发增加原理是针对热力学过程归纳出来的•热力学中的熵对应着微观尺度状态的丰富程度（即常说的分子运动的无序程度）•

本文中所研究物理场的熵与热力学第二定律研究的热力学熵是不同的.一般而言，这个场是个宏观场（像DNA分子一类的对象自然也可以）•那么这个宏观场的熵有什么变化规律呢?

下面我们很容易看到，这个物理场的熵在系统被孤立起来之后，它的熵值是自动减小的，直到对应的熵值变成极小值为止•

在前述的三块稻田地里水的温度不相等的例子中，我们求得温度熵为

凭日照和风吹，三块田里的水温最后要达到同一个值仅有一个温度，从而使随机抽样时出现该温度的概率为式算出的熵值必然为零•

换言之，自发进行的过程使原有的温度差异消失了极小值.这种宏观物理场的熵与热力学第二定律预言的热力学熵加大恰恰是相反的

前面计算的圆铁片上温度场的熵也有相同结果.无论是我们关掉酒精灯，或是把圆铁片

完全与外界孤立起来，圆铁片靠着热传导总会使它的温度均一化.这种均一化也就是人们惯

称的达到了平衡态.此时宏观温度场的熵降到了它的最低值-----零（当然它的分子尺度的热力

学熵达到了它的极大值）•

一只杯子中有正在旋转着的半杯水，由于不同部位液面高度不等，以及不同部位水流速

度不等，因而存在着液面高度和水流速度两个不为零的熵.在杯中水自发地停止转运后，以

上两个熵也自动地降到最低值——零.这个宏观物理场的熵也是自行减小的•

如果一个物质系统中存在着物质宏观的浓度、温度、化学成分等方面的差别，这种差别

也就是不平衡.这种不平衡就可以用一个宏观的正值的熵来度量.自发进行的过程达到平衡

后，这个熵值就减小为零•

可以认为，一切过去热力学过程中所研究的从非平衡态向平衡的过渡都伴有这种宏观熵的减小现象（此过程中热力学熵则按热力学第二定律自动加大到极大值）

实际上我们说的熵减小现象还不止上述过程.例如一张色彩分明的图画，其反射光波波

长的分布不均一，就也有个正熵值.天长日久颜色退去，最后成了一片灰暗，也属熵减小过

程•

H・在自发进行的

综合上述情况，我们可以说：

非平衡态下的物理场存在着一个正的熵过程中H会自行减小.表达成公式为

H<0,H-0（12）

当系统达到平衡态时，H=0,H=0

这里把自发两字理解为外界无该物理系统可吸收的信息•天文望远镜对准某一星空，在

目镜处放一个感光片，它的物理场的熵不是自动减小•原因很简单，该系统吸收了来自星空

的信息.

四、讨论

1.我们认为把物质的质量，物质的能量和物质的状态看作是物质的基本属性这种观点

是十分科学的和符合客观实际的.这样讲是想说明它们都至少有相对独立的含义，并有同等

的重要性.一般而言，描叙一个物质系统，这三项缺一不可.差别仅是不同系统中人们关注的

重点有所不同.对质量的计量常用公斤、克；对能量的计量常用焦耳，尔格.对状态的计量应

当用熵.因而对物质系统的熵之计量是人类在对状态研究过程中由定性走向定量的重要一步.

人类在定量计算了化学变化中物质质量的多少后，认识了质量守恒定律和一系列定量的化学知识.人类在定量计算了物理，化学等变化过程中物质能量的变化后，又认识了一大批客观规律.

如果我们承认熵（或说信息）与质量，能量有着同样重要的地位，并进而在各种场合尽量对状态的丰富程度用熵来做定量计量，想必也会为人类带来一大批新成果.这可能会在科学研究上引起一个新的跃进.应当说，人们所谓的信息革命已经为这个新时代的到来打了前阵.

2．我们并不否认热力学第二定律在微观尺度上的熵变化中所指出的熵增大现象，我们也承认从玻尔兹曼以来对熵的本质的认识.并且正是沿着这一认识，申农把宏观信号源的信

息用熵来计量.我们也正是沿着这一思路研究了物理场的熵.我们认为物质的形态是多种多样的，因而熵也不仅有一种.它可以有微观的，也可以有宏观的.质量守恒律约束着不同形态物质的质量，能量守恒律约束着不同形态的能量，而关于熵的定律应当不仅约束着一种形态的

熵．它应当在统一的尺度下约束着不同形态的熵.也就是说，应当把熵的定律进—步扩大到包括物质系统中一切形态的熵中去.

五、结束语

本文是一篇讨论物理场熵的文章，文中给出了计算物理场熵值的公式.结论是：

1．物理量（实际也可以是化学的，生物的，社会的）在一物质系统内部的空间（或说集合）

上的不均匀分布可用熵来度量.这种度量扩大了熵概念的应用领域，又一次使人们承认熵有

不同的存在形态，而不应把它局限于热运动的这—局部问题中.这个熵愈大说明物理场的状态愈丰富.

2．在自发进行的过程中这种物理场的熵是减小的.物理量在系统内部的均一化，也可说成是它达到了平衡态.在平衡态，物理场的熵减小到极小值.这与热运动中的熵在达到平衡态时呈现极大值是相反的.

3．把熵概念广泛用于各类物质系统的研究中，找出不同形态熵的总变化规律，可能使不少学科的研究水平提高一大步.物理场熵的研究为这些学科带来的好处，可能不会小于能

量研究为某些学科已带来的好处.因而在众多学科中开展物理场熵的研究可能是件带有方向

性，开创性的工作.

[1]HoltonG.,《物理科学的概念和理论导论》，上册，人民教育出版社（1983）285

[2]RazaF.M.,AnIntroductiontoinformationTheory,McGraw-Hill（1961）77

[3]张学文，《气象学报》，44,2（1986）214

[4]湛垦华．沈小峰，《普里高津与耗散结构理论》，陕西科学技术出版社（1982）114

（

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