离散数学集合论部分综合练习.docx
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离散数学集合论部分综合练习
离散数学集合论某些综合练习
本课程综合练习共分3次,分别是集合论某些、图论某些、数理逻辑某些综合练习,这3次综合练习基本上是按照考试题型安排练习题目,目是通过综合练习,使同窗自己检查学习成果,找出掌握薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。
本次是集合论某些综合练习。
一、单项选取题
1.若集合A={a,b},B={a,b,{a,b}},则().
A.A⊂B,且A∈BB.A∈B,但A⊄B
C.A⊂B,但A∉BD.A⊄B,且A∉B
2.若集合A={2,a,{a},4},则下列表述对的是().
A.{a,{a}}∈AB.{a}⊆A
C.{2}∈AD.
∈A
3.若集合A={a,{a},{1,2}},则下列表述对的是().
A.{a,{a}}∈AB.{2}⊆A
C.{a}⊆AD.∅∈A
4.若集合A={a,b,{1,2}},B={1,2},则().
A.B⊂A,且B∈AB.B∈A,但B⊄A
C.B⊂A,但B∉AD.B⊄A,且B∉A
5.设集合A={1,a},则P(A)=().
A.{{1},{a}}B.{
{1},{a}}
C.{
{1},{a},{1,a}}D.{{1},{a},{1,a}}
6.若集合A元素个数为10,则其幂集元素个数为().
A.1024B.10C.100D.1
7.集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上关系R={
A},则R性质为().
A.自反B.对称
C.传递且对称D.反自反且传递
8.设集合A={1,2,3,4,5,6}上二元关系R={
a,b
⎢a,b
A,且a+b=8},则R具备性质为().
A.自反B.对称
C.对称和传递 D.反自反和传递
9.如果R1和R2是A上自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有()个.
A.0B.2C.1D.3
10.设集合A={1,2,3,4}上二元关系
R={
1,1
,
2,2
,
2,3
,
4,4
},
S={
1,1
,
2,2
,
2,3
,
3,2
,
4,4
},
则S是R()闭包.
A.自反B.传递C.对称D.以上都不对
11.设集合A={1,2,3,4,5}上偏序关系
哈斯图如图一所示,若A子集B={3,4,5},
则元素3为B().
A.下界B.最大下界
C.最小上界D.以上答案都不对
12.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上整除关系,B={2,4,6},则集合B最大元、最小元、上界、下界依次为().
A.8、2、8、2B.无、2、无、2
C.6、2、6、2D.8、1、6、1
13.设A={a,b},B={1,2},R1,R2,R3是A到B二元关系,且R1={,},R2={,,},R3={,},则()不是从A到B函数.
A.R1和R2B.R2C.R3D.R1和R3
二、填空题
1.设集合A有n个元素,那么A幂集合P(A)元素个数为.
2.设集合A={a,b},那么集合A幂集是.
应当填写:
{∅,{a,b},{a},{b}}
3.设集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B二元关系,
则R有序对集合为 .
4.设集合A={0,1,2},B={0,2,4},R是A到B二元关系,
则R关系矩阵MR=
.
5.设集合A={a,b,c},A上二元关系
则(R∙S)-1= .
6.设集合A={a,b,c},A上二元关系R={,,,
7.若A={1,2},R={
8.设集合A={1,2},B={a,b},那么集合A到B双射函数是
.
9.设A={a,b,c},B={1,2},作f:
A→B,则不同函数个数为.
三、判断阐明题(判断下列各题,并阐明理由.)
图一
1.设A、B、C为任意三个集合,如果A∪B=A∪C,判断结论B=C与否成立?
并阐明理由.
2.如果R1和R2是A上自反关系,判断
结论:
“R-11、R1∪R2、R1⋂R2是自反”与否
成立?
并阐明理由.
3.若偏序集哈斯图如图一所示,
则集合A最大元为a,最小元不存在.
4.若偏序集哈斯图如图二所示,
则集合A最大元为a,最小元不存在.
图二
5.设N、R分别为自然数集与实数集,f:
N
→R,f(x)=x+6,则f是单射.
四、计算题
1.设集合A={a,b,c},B={b,d,e},求
(1)B⋂A;
(2)A⋃B;(3)A-B;(4)B⊕A.
2.设A={{a,b},1,2},B={a,b,{1},1},试计算
(1)(A-B)
(2)(A∪B)(3)(A∪B)-(A∩B).
3.设集合A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(A-B);
(2)(A∩B);(3)A×B.
4.设A={0,1,2,3,4},R={
5.设A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},R是A上整除关系,B={2,4,6}.
(1)写出关系R表达式;
(2)画出关系R哈斯图;
(3)求出集合B最大元、最小元.
6.设集合A={a,b,c,d}上二元关系R关系图
如图三所示.
(1)写出R表达式;
(2)写出R关系矩阵;
(3)求出R2.
7.设集合A={1,2,3,4},R={
(1)写出R有序对表达;
(2)画出R关系图;
(3)阐明R满足自反性,不满足传递性.
五、证明题
1.试证明集合等式:
A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C).
2.试证明集合等式A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C).
3.设R是集合A上对称关系和传递关系,试证明:
若对任意a∈A,存在b∈A,使得∈R,则R是等价关系.
4.若非空集合A上二元关系R和S是偏序关系,试证明:
也是A上偏序关系.
参照解答
一、单项选取题
1.A2.B3.C4.B5.C6.A7.B8.B
9.B10.C11.C12.B13.B
二、填空题
1.2n
2.{∅,{a,b},{a},{b}}
3.{<2,2>,<2,3>,<3,2>},<3,3>
4.
5.{
6.反自反
7.{<1,1>,<2,2>}
8.{<1,a>,<2,b>},{<1,b>,<2,a>}
9.8
三、判断阐明题(判断下列各题,并阐明理由.)
1.解:
错.
设A={1,2},B={1},C={2},则A∪B=A∪C,但B≠C.
2.解:
成立.
由于R1和R2是A上自反关系,即IA⊆R1,IA⊆R2。
由逆关系定义和IA⊆R1,得IA⊆R1-1;
由IA⊆R1,IA⊆R2,得IA⊆R1∪R2,IA⊆R1⋂R2。
因此,R1-1、R1∪R2、R1⋂R2是自反。
3.解:
对的.
对于集合A任意元素x,均有
(或xRa),因此a是集合A中最大元.
按照最小元定义,在集合A中不存在最
小元.
4.解:
错误.
集合A最大元不存在,a是极大元.
5.解:
对的.
设x1,x2为自然数且x1≠x2,则有f(x1)=x1+6≠x2+6=f(x2),故f为单射.
四、计算题
1.解:
(1)B⋂A={a,b,c}⋂{b,d,e}={b}
(2)A⋃B={a,b,c}⋃{b,d,e}={a,b,c,d,e}
(3)A-B={a,b,c}-{b,d,e}={a,c}
(4)B⊕A=A⋃B-B⋂A={a,b,c,d,e}-{b}={a,c,d,e}
2.解:
(1)(A-B)={{a,b},2}
(2)(A∪B)={{a,b},1,2,a,b,{1}}
(3)(A∪B)-(A∩B)={{a,b},2,a,b,{1}}
3.解:
(1)A-B={{1},{2}}
(2)A∩B={1,2}
(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,
<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,
<2,{1,2}>}
4.解:
R=∅,
S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}
R∙S=∅,
R-1=∅,
S-1=S,
r(R)=IA.
5.解:
(1)R=I⋃{<1,2>,<1,3>,…,<1,12>,
<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,10>,<2,12>,<3,6>,<3,9>,
<3,12>,<4,8>,<4,12>,<5,10>,<6,12>}
(2)关系R哈斯图如图四
(3)集合B没有最大元,最小元是:
2
6.解:
7.解:
(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,
<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}
(2)关系图如图五
(3)由于<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R,
即A每个元素构成有序对均在R中,故R在
A上是自反。
因有<2,3>与<3,4>属于R,但<2,4>不属于R,
因此R在A上不是传递。
五、证明题
1.证明:
设,若x∈A⋃(B⋂C),则x∈A或x∈B⋂C,
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.
即x∈A⋃B且x∈A⋃C,
即x∈T=(A⋃B)⋂(A⋃C),
因此A⋃(B⋂C)⊆(A⋃B)⋂(A⋃C).
反之,若x∈(A⋃B)⋂(A⋃C),则x∈A⋃B且x∈A⋃C,
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
即x∈A或x∈B⋂C,
即x∈A⋃(B⋂C),
因此(A⋃B)⋂(A⋃C)⊆A⋃(B⋂C).
因而.A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C).
2.证明:
设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C),若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈T,因此S⊆T.
反之,若x∈T,则x∈A∩B或x∈A∩C,
即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,因此T⊆S.
因而T=S.
3.设R是集合A上对称关系和传递关系,试证明:
若对任意a∈A,存在b∈A,使得∈R,则R是等价关系.
证明:
已知R是对称关系和传递关系,只需证明R是自反关系.
∀a∈A,∃b∈A,使得∈R,由于R是对称,故∈R;
由元素a任意性,知R是自反.
因此,R是等价关系.
4.若非空集合A上二元关系R和S是偏序关系,试证明:
也是A上偏序关系.
证明:
.①
,因此
有自反性;
②
由于R,S是反对称,
因此,R⋂S有反对称性.
③
,由于R,S是传递,
因此,
有传递性.
总之,R是偏序关系.
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