行程问题解题技巧.docx
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行程问题解题技巧.docx
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行程问题解题技巧
行程问题解题技巧
行程问题
在行车、走路等类似运动时,已知其中的两种量,按照速度、路程和时间三者之间的相互关系,求第三种量的问题,叫做“行程问题”。
此类问题一般分为四类:
一、相遇问题;二、追及问题;三、相离问题;四、过桥问题等。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人(或事物)的数量和运动方向上。
相遇(相离)问题和追及问题当中参与者必须是两个人(或事物)以上;如果它们的运动方向相反,则为相遇(相离)问题,如果他们的运动方向相同,则为追及问题。
相遇问题
两个运动物体作相向运动,或在环形道口作背向运动,随着时间的延续、发展,必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为:
甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后甲,乙在途中相遇,实质上是两人共同走了A、B之间这段路程,如果两人同时出发,那么:
A,B两地的路程=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间=速度和×相遇时间
基本公式有:
两地距离=速度和×相遇时间
相遇时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相遇时间
二次相遇问题的模型为:
甲从A地出发,乙从B地出发相向而行,两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回,乙继续走到A地后返回,第二次在D地相遇。
则有:
第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口,从而保证了迅速解题。
相离问题
两个运动着的动体,从同一地点相背而行。
若干时间后,间隔一定的距离,求这段距离的问题,叫做相离问题。
它与相遇问题类似,只是运动的方向有所改变。
解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离(速度和)。
基本公式有:
两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相离时间
相遇(相离)问题的基本数量关系:
速度和×相遇(相离)时间=相遇(相离)路程
在相遇(相离)问题和追及问题中,必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的,这样才能够提高解题速度和能力。
追及问题
两个运动着的物体从不同的地点出发,同向运动。
慢的在前,快的在后,经过若干时间,快的追上慢的。
有时,快的与慢的从同一地点同时出发,同向而行,经过一段时间快的领先一段路程,我们也把它看作追及问题。
解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差,从而求出追及时间。
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
基本公式有:
追及(或领先)的路程÷速度差=追及时间
速度差×追及时间=追及(或领先)的路程
追及(或领先)的路程÷追及时间=速度差
要正确解答有关“行程问题”,必须弄清物体运动的具体情况。
如:
运动的方向(相向、相背、同向),出发的时间(同时、不同时),出发的地点(同地、不同地)、运动的路线(封闭、不封闭),运动的结果(相遇、相距多少、追及)。
常用公式:
行程问题基本恒等关系式:
速度×时间=路程,即S=vt.
行程问题基本比例关系式:
路程一定的情况下,速度和时间成反比;
时间一定的情况下,路程和速度成正比;
速度一定的情况下,路程和时间成正比。
相遇追及问题中符号法则:
相向运动,速度取和;同向运动,速度取差。
流水行船问题中符号法则:
促进运动,速度取和;阻碍运动,速度取差。
行程问题常用比例关系式:
路程比=速度比×时间比,即S1/S2=v1/v2×t1/t2
电梯运行规律:
能看到的电梯级数=(人速+电梯速度)×顺电梯运动所需时间
能看到的电梯级数=(人速—电梯速度)×逆电梯运动所需时间
2v1v2
往返运动问题核心公式:
往返平均速度=-------(其中v1和v2分别表示往返的速度)
v1+v2
3S1+S2
两次相遇问题核心公式:
单岸型S=-------;两岸型S=3S1-S2(S表示两岸的距离)
2
相向而行:
相遇时间=距离÷速度之和
相背而行:
相背距离=速度之和×时间
注意:
同向而行追及时速度慢的在前,快的在后。
在环形跑道上,速度快的在前,慢的在后。
环形运动的追击问题和相遇问题:
若同向同起点运动,第一次相遇时,速度快的比速度慢的多跑一圈;若相向同起点运动,第一次相遇时,两者路程和为一圈的长度。
解决行程问题,常以速度为中心,路程和时间为两个基本点,善于抓住不变量列方程。
对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题,在分析其中某两个的运动情况的同时,还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置,他(它)与前两者有什么关系。
分析复杂的行程问题时,最好画线段图帮助思考。
理解并熟记下面的结论,对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
(3)甲的速度是a,乙的速度是b,在相同时间内,甲、乙一共行的
At+bt=st=s/a+bS甲=a*t=a*s/a+bS乙=b*t=b*s/a+b
封闭路线中的行程问题
解决封闭路线中的行程问题,仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式,搞清路程、速度、时间三者之间的关系。
封闭路线中的行程问题,可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。
在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时,还可以借助图示直观地解决。
直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题,实质上也是封闭路线中的行程问题。
每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。
流水行船问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题,流水问题属于行程问题,仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。
已知船的顺水速度和逆水速度,求船的静水速度及水流速度。
解答这类问题,一般要掌握下面几个数量关系:
船速:
在静水中的速度
水速:
河流中水流动的速度
顺水船速:
船在顺水航行时的速度
逆水速度:
船在逆水航行时的速度
船速+水速=顺水船速
船速-水速=逆水船速
(顺水船速+逆水船速)÷2=船速
(顺水船速-逆水船速)÷2=水速
顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速×2
过桥问题
一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道,研究其车长、车速、桥长或隧道道长,过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。
解答这类应用题,除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外,还必须注意到车长,即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。
基本公式有:
桥长+车长=路程
平均速度×过桥时间=路程
过桥时间=路程÷平均速度
解行程问题的方法
已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个,求第三个数量的应用题,叫做行程问题。
解答行程问题的关键是,首先要确定运动的方向,然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。
行程问题的基本数量关系是:
速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
行程问题常见的类型是:
相遇问题,追及问题(即同向运动问题),相离问题(即相背运动问题)。
(一)相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型:
求路程,求相遇时间,求速度。
它们的基本关系式如下:
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
1.求路程
(1)求两地间的距离
例1两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出,一辆汽车每小时行56千米,另一辆汽车每小时行63千米,经过4小时后相遇。
甲乙两地相距多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。
一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是它行驶的路程;另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是这辆汽车行驶的路程。
两车行驶路程之和,就是两地距离。
56×4=224(千米)
63×4=252(千米)
224+252=476(千米)
综合算式:
56×4+63×4
=224+252
=476(千米)
答略。
例2两列火车同时从相距480千米的两个城市出发,相向而行,甲车每小时行驶40千米,乙车每小时行驶42千米。
5小时后,两列火车相距多少千米?
(适于五年级程度)
解:
此题的答案不能直接求出,先求出两车5小时共行多远后,从两地的距离480千米中,减去两车5小时共行的路程,所得就是两车的距离。
480-(40+42)×5
=480-82×5
=480-410
=70(千米)
答:
5小时后两列火车相距70千米。
奥数行程问题解题方法
例3甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行,甲每小时行5千米,乙每小时行4千米。
二人第一次相遇后,都继续前进,分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。
从开始走到第二次相遇,共用了6小时。
A、B两地相距多少千米?
(适于五年级程度)
解:
从开始走到第一次相遇,两人走的路程是一个AB之长;而到第二次相遇,两人走的路程总共就是3个AB之长(图35-1),这三个AB之长是:
(5+4)×6=54(千米)
所以,A、B两地相距的路程是:
54÷3=18(千米)
答略。
例4两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来,第一列火车每小时行驶60千米,第二列火车每小时行驶55千米。
两车相遇时,第一列火车比第二列火车多行了20千米。
求甲、乙两地间的距离。
(适于五年级程度)
解:
两车相遇时,两车的路程差是20千米。
出现路程差的原因是两车行驶的速度不同,第一列火车每小时比第二列火车多行(60-55)千米。
由此可求出两车相遇的时间,进而求出甲、乙两地间的距离。
(60+55)×[20÷(60-55)]
=115×[20÷5]
=460(千米)
答略。
*例5甲、乙二人同时从A、B两地相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走5千米,两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。
求A、B两地之间的距离。
(适于五年级程度)
解:
由题意可知,当二人相遇时,甲比乙多走了1.5×2千米(图35-2),甲比乙每小时多行(6-5)千米。
由路程差与速度差,可求出相遇时间,进而求出A、B两地之间的距离。
(6+5)×[1.5×2÷(6-5)]
=11×[1.5×2÷1]
=11×3
=33(千米)
答略。
由两车“在离中点2千米处相遇”可知,甲车比乙车少行:
2×2=4(千米)
所以,乙车行的路程是:
甲车行的路程是:
A、B两站间的距离是:
24+20=44(千米)
答略。
同普通客车相遇。
甲、乙两城间相距多少千米?
(适于六年级程度)
快车从乙城开出,普通客车与快车相对而行。
已知普通客车每小时行60千米,快车每小时行80千米,可以求出两车速度之和。
又已知两车相遇时间,可以按“速度之和×相遇时间”,求出两车相对而行的总行程。
普通客车已行驶
普通客车与快车速度之和是:
60+80=140(千米/小时)
两车相对而行的总路程是:
140×4=560(千米)
两车所行的总路程占全程的比率是:
甲、乙两城之间相距为:
综合算式:
答略。
2)求各行多少
例1两地相距37.5千米,甲、乙二人同时从两地出发相向而行,甲每小时走3.5千米,乙每小时走4千米。
相遇时甲、乙二人各走了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
到甲、乙二人相遇时所用的时间是:
37.5÷(3.5+4)=5(小时)
甲行的路程是:
3.5×5=17.5(千米)
乙行的路程是:
4×5=20(千米)
答略。
例2甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来,甲每小时走4千米,乙每小时走6千米。
相遇后他们又都走了1小时。
两人各走了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
到甲、乙二人相遇所用的时间是:
40÷(4+6)=4(小时)
由于他们又都走了1小时,因此两人都走了:
4+1=5(小时)
甲走的路程是:
4×5=20(千米)
乙走的路程是:
6×5=30(千米)
答略。
例3两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出,第一列火车每小时行48.65千米,第二列火车每小时行47.35千米。
在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。
到相遇时两列火车各行了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两车同时开出,行的路程有一个差,这个差是由于速度不同而形成的。
可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间,然后再分别求出所行的路程。
从出发到相遇所用时间是:
5.2÷(48.65-47.35)
=5.2÷1.3
=4(小时)
第一列火车行驶的路程是:
48.65×4=194.6(千米)
第二列火车行驶的路程是:
47.35×4=189.4(千米)
答略。
*例4东、西两车站相距564千米,两列火车同时从两站相对开出,经6小时相遇。
第一列火车比第二列火车每小时快2千米。
相遇时这两列火车各行了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两列火车的速度和是:
564÷6=94(千米/小时)
第一列火车每小时行:
(94+2)÷2=48(千米)
第二列火车每小时行:
48-2=46(千米)
相遇时,第一列火车行:
48×6=288(千米)
第二列火车行:
46×6=276(千米)
答略。
2.求相遇时间
例1两个城市之间的路程是500千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,客车的平均速度是每小时55千米,货车的平均速度是每小时45千米。
两车开了几小时以后相遇?
(适于五年级程度)
解:
已知两个城市之间的路程是500千米,又知客车和货车的速度,可求出两车的速度之和。
用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。
500÷(55+45)
=500÷100
=5(小时)
答略。
例2两地之间的路程是420千米,一列客车和一列货车同时从两个城市
答略。
例3在一次战役中,敌我双方原来相距62.75千米。
据侦察员报告,敌人已向我处前进了11千米。
我军随即出发迎击,每小时前进6.5千米,敌人每小时前进5千米。
我军出发几小时后与敌人相遇?
(适于五年级程度)
解:
此题已给出总距离是62.75千米,由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到(62.75-11)千米。
(62.75-11)÷(6.5+5)
=51.75÷11.5
=4.5(小时)
答:
我军出发4.5小时后与敌人相遇。
例4甲、乙两地相距200千米,一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时;一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。
如果两列火车同时从两地相对开出,经过几小时可以相遇?
(得数保留一位小数)(适于五年级程度)
解:
此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。
先分别求出速度再求和,根据“时间=路程÷速度”的关系,即可求出相遇时间。
200÷(200÷5+200÷4)
=200÷(40+50)
=200÷90
≈2.2(小时)
答:
两车大约经过2.2小时相遇。
例5在复线铁路上,快车和慢车分别从两个车站开出,相向而行。
快车车身长是180米,速度为每秒钟9米;慢车车身长210米,车速为每秒钟6米。
从两车头相遇到两车的尾部离开,需要几秒钟?
(适于五年级程度)
解:
因为是以两车离开为准计算时间,所以两车经过的路程是两个车身的总长。
总长除以两车的速度和,就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。
(180+210)÷(9+6)
=390÷15
=26(秒)
答略。
3.求速度
例1甲、乙两个车站相距550千米,两列火车同时由两站相向开出,5小时相遇。
快车每小时行60千米。
慢车每小时行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
先求出速度和,再从速度和中减去快车的速度,便得出慢车每小时行:
550÷5-60
=110-60
=50(千米)
答略。
例2A、B两个城市相距380千米。
客车和货车从两个城市同时相对开出,经过4小时相遇。
货车比客车每小时快5千米。
这两列车每小时各行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
客车每小时行:
(380÷4-5)÷2
=(95-5)÷2
=45(千米)
货车每小时行:
45+5=50(千米)
答略。
例3甲、乙两个城市相距980千米,两列火车由两城市同时相对开出,经过10小时相遇。
快车每小时行50千米,比慢车每小时多行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两城市的距离除以两车相遇的时间,得到两车的速度和。
从两车的速度和中减去快车的速度,得到慢车的速度。
再用快车速度减去慢车的速度,即得到题中所求。
50-(980÷10-50)
=50-(98-50)
=50-48
=2(千米)
答略。
例4甲、乙两地相距486千米,快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出,经过6小时相遇。
已知快车与慢车的速度比是5∶4。
求快车和慢车每小时各行多少千米?
(适于六年级程度)
两车的速度和是:
486÷6=81(千米/小时)
快车每小时行:
慢车每小时行:
答略。
例5两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出,4.5小时后两车还相距120千米。
一辆汽车每小时行37千米。
另一辆汽车每小时行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
如果两地间的距离减少120千米,4.5小时两车正好相遇。
也就是两车4.5小时行465-120=345千米,345千米除以4.5小时,可以求出两车速度之和。
从速度之和减去一辆车的速度,得到另一辆车的速度。
答略。
例6甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。
甲步行,每小时走5千米,先出发0.8小时。
乙骑自行车,骑2小时后,两人在某地相遇。
乙骑自行车每小时行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两人相遇时,甲共走:
0.8+2=2.8(小时)
甲走的路程是:
5×2.8=14(千米)
乙在2小时内行的路程是:
40-14=26(千米)
所以,乙每小时行:
26÷2=13(千米)
综合算式:
[40-5×(0.8+2)]÷2
=[40-5×2.8]÷2
=[40-14]÷2
=26÷2
=13(千米)
答略。
例7甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。
甲先出发,每小时步行5千米。
1小时后乙骑自行车出发,骑了2小时,两人相距11千米。
乙每小时行驶多少千米?
(适于五年级程度)
解:
从相距的50千米中,去掉甲在1小时内先走的5千米,又去掉相隔的11千米,便得到:
50-5-11=34(千米)
这时,原题就改变成“两地相隔34千米,甲、乙二人分别从两地同时相对而行。
甲步行,乙骑自行车,甲每小时走5千米。
经过2小时两人相遇。
乙每小时行多少千米?
”
由此可知,二人的速度和是:
34÷2=17(千米/小时)
乙每小时行驶的路程是:
17-5=12(千米)
综合算式:
(50-5-11)÷2-5
=34÷2-5
=17-5
=12(千米)
答略。
(二)追及问题
追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题),也可以不同,但方向一般是相同的。
由于速度不同,就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系,常用下面的公式:
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
速度差=距离差÷追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。
他们同时向同一个方向前进。
甲在前,以每小时5千米的速度步行;乙在后,以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。
几小时后乙能追上甲?
(适于高年级程度)
解:
求乙几小时追上甲,先求乙每小时能追上甲的路程,是:
10-5=5(千米)
再看,相差的路程9千米中含有多少个5千米,即得到乙几小时追上甲。
9÷5=1.8(小时)
综合算式:
9÷(10-5)
=9÷5
=1.8(小时)
答略。
*例2甲、乙二人在相距6千米的两地,同时同向出发。
乙在前,每小时行5千米;甲在后,每小时的速度是乙的1.2倍。
甲几小时才能追上乙?
(适于高年级程度)
解:
甲每小时行:
5×1.2=6(千米)
甲每小时能追上乙:
6-5=1(千米)
相差的路程6千米中,含有多少个1千米,甲就用几小时追上乙。
6÷1=6(小时)
答:
甲6小时才能追上乙。
*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。
甲每分钟跑350米,乙每分钟跑250米。
二人从起跑线出发,经过多长时间甲能追上乙?
(适于高年级程度)
解:
此题的运动路线是环形的。
求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者,也就是平时所说的“落一圈”,这一圈相当于在直线上的400米,也就是追及的路程。
因此,甲追上乙的时间是:
400÷(350-250)
=400÷100
=4(分钟)
答略。
*例4在解放战争的一次战役中,我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地,正以每小时5.5千米的速度向南逃窜,我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。
在追上敌人后,只用半小时就全歼敌军。
从开始追击到全歼敌军,共用了多长时间?
(适于高年级程度)
解:
敌我两军行进的速度差是:
8.5-5.5=3(千米/小时)
我军追上敌军用的时间是:
6÷3=2(小时)
从开始追击到全歼敌军,共用的时间是:
2+0.5=2.5(小时)
综合算式:
60÷(8.5-5.5)+0.5
=6÷3+0.5
=2.5(小时)
答略。
*例5一排解放军从驻地出发去执行任务,每小时行5千米。
离开驻地3千米时,排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。
通讯员以每小时10千米的速度回到驻地,取了地图立即返回。
通讯员从驻地出发,几小时可以追上队伍?
(适于高年级程度)
解:
通讯员离开队伍时,队伍已离开驻地3千米。
通讯员的速度等于队伍的2倍(10÷5=2),通讯员返回到驻地时,队伍又前进了(3÷2)千米。
这样,通讯员需追及的距离是(3+3÷2)千米,而速度差是(10-5)千米/小时。
根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。
(3+3÷2)÷(10-5)
=4.5÷5
=0.9(小时)
答略。
(三)相离问题
相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题,也叫做相背运动问题。
解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。
例1哥哥由家向东到工厂去上班,每分钟走85米,弟弟同时由家往西到学校去上学,每分钟走75米。
几分钟后二人相距960米?
(适于四年级程度)
解:
二人同时、同地相背而行,只要求出速度和,由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。
因此,得:
960÷(85+75)
=960÷160
=6(分钟)
答略。
例2甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发,相背而行。
甲每小时行6千米,乙每小时行7千米。
8小时后,甲、乙二人相距多少千米?
(适于四年级程度)
解:
先求出二人速度之和,再乘以时间就得到二人之间的距离。
(6+7)×8
=13×8
=104(千米)
答略。
*例3东、西两镇相距69千米。
张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行,6小时后二人分别到达东、西两镇。
已知张每小时比王多行1.5千米。
二人每小时各行多少千米?
出发地距东镇有多少千米?
(适于高年级程度)
解:
由二人6小时共行69千米,可求出他们的速度和是(69÷6)千米/小时。
张每小时比王多行1.5千米,这是他们的速度差。
从而可以分别求出二人的速度。
张每小时行:
(69÷6+1.5)÷2
=(11.5+1.5)÷2
=13÷2
=6.5(千米)
王每小时行:
6.5-1.5=5(千米)
出发地距东镇的距离是:
6.5×
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