《等腰直角三角形中的常用模型》.docx

《等腰直角三角形中的常用模型》.docx

《《等腰直角三角形中的常用模型》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《等腰直角三角形中的常用模型》.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《等腰直角三角形中的常用模型》

《等腰直角三角形中的常用模

型》

等腰直角三角形中的常用模型

一【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

1边、角方面的特征：

两直角边相等，两锐角相等（都是45o）

2边之间的关系：

已知任意一边长，可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形：

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。

熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：

一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点

（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

⑴

C

例1.如图：

Rt△ABC中，/BAC=90o,AB=AC,

点D是BC上任意一点，过B作BE丄AD于点E,过C作CF丄AD于点F

（1）求证：

BE-CF=EF;

写出新

亠?

CD

⑵

⑴F

（2）若D在BC的延长线上（如图

（2））

（1）

中的结论还成立吗？

若不成立的结论并证

如图1,等腰Rt△ABC中，AB=CB，/ABC=90o,点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ,QE丄AB于e，连CQ交AB于M。

（1）求证：

M为BE的中点刁

（2）若PC=2PB，求MB的值

以原等腰直角三角形的两直角边为对应直

对全等的直角

必定可以构”A三角形：

E

BC

⑴

D

B

C

⑵E

IVIB

（2）

3、如图：

Rt△ABC中，/BAC=90o,AB=AC,点D是BC上任意一点，过B作BE丄AD于点

E,交AC于点G,过C作CF丄AC交AD的延长线与于点F。

（1）求证：

BG=AF;

（2）若D在BC的延长线上（如图

（2））,

（1）A中的结论还成立吗？

•若不成立，

G

并证明。

B

请写出新的结论

B

C

（1）

F

E

CD

⑵

变式2:

等腰Rt△ABC中，AC=AB,ZBAC=

90°,点D是AC的中点，AF丄BD于点E,交BC于点F,连接DF,求证:

/仁/2。

变式3:

等腰Rt△ABC中，AC=AB,/BAC=90°,点D、E是AC上两点且AD=CE,AF丄BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：

/1=/2。

模型二：

等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜

边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形

C

C

E

B

F

例1:

等腰Rt△ABC中，AC=AB,/BAC=90°E是AC上一点，过C作CDbBETD连接AD,求证：

/ADB=45°。

$^

变式1:

等腰Rt△ABC中，AC=AB,/BAC=

90°,E是AC上一点，点D为BE延长

线上一点，且/ADC=135°求证：

BD丄

DC。

变式2:

等腰Rt△ABC中，AC=AB,/BAC=90°,BE平分/ABC交AC于E,过C作CD丄BE于D,DM丄AB交BA的延长线于点M,

tBM,,,亠tAM,,,亠

（1）求Ab―Bc的值；

（2）求bcab的值

例1、如图〔，△ABC、△BEF都是等腰直角

三角形，ZABC=ZBEF=900^连接Af、

CF,M是AF的中点，连ME,将厶BEF

绕点B旋转。

猜想CF与EM的数量关

系并证明;

A

图

（1）

（2）

两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：

A

F

BC

（1）

B

如图，△ABC和厶EBD都是等腰直角三角形，

/BAC=ZBED=906把DE平移到CF,使E与

C重合，连接AE、AF，则△AEB与厶AFC全

等（关键是利用平行证明/ABE=ZACF）例.如图：

两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。

（1）如图1,若/BAC=ZDAE=45°,当A、C、

D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是；

（2）如图2、3,将/BAC绕A旋转a度，

（1）中的结论是否仍然成立？

任意选择一个证明你

B

P

图1

图2

D

的结论

三【巩固练习】

BDEC

1•如图，在RtABC中，ABAC,/BAC90,D、E为BC上两点，/DAE45,F为ABC外一点，且FB丄BC,FAAE,则下列结论：

①CEBF；

③Sade-adEF；④CE2BE22AE2,其中

4丿

A、①②③④B、①②④

C、①③④D、②③

2•已知：

Rt/ABC中，AB=AC，/BAC=90°若0是BC的中点，以0为顶点作/MON,交AB、AC于点M、N。

1）,求证：

①

（1）若/MON=90°（如图

OM=ON:

②BM2+CN2=MN2;

（2）若/MON=45°（如图2）,求证：

①

AM+MN=CN;

3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。

丿!

■

（1）若C为x轴正半轴上一动点，以dAC为直角边作等腰直角厶ACD，/ACDugO?

，连OD,求/AOD的度数；

（2）过A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式amoFfmi是否成立？

若成

立，请证明；若不成立，说明理由

4.在△ABC和△DCE中,AB=AC,DC=DE,/BAC=ZEDC=90°点E在AB上，连AD,DF丄AC于点F。

试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出/DAC的度数。

⑵

5.如图：

等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB,AC=BC,DE=BD，/ACB=ZEDB=90°E为AB是一点，P为AE的中点。

⑴连接PC,PD;则PC,PD的位置关系是；数量关系是；并证

明你的结论。

⑵当E在线段AB上变化时，其它条件不变，

作EF丄BC于F，连接PF，试判的形状；在点E运动过程中，△可为等边三角形？

若可以，试求△△EDB的两直角边之比。

6（2013年湖南常德10分）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF,/ABC=/CEF=90，连接AF,M是AF的中点，连接MB、ME.

（1）如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：

MBIICF;

（2）如图1,若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2,当/BCE=45时，求证：

BM=ME.

7、如图，在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（0,

4）。

点N为OA上一点，OM丄BN于M，且/ONB=45+ZMON。

（1）求证：

BN平分/OBA;

（2）求OM

MN的值;

（3）若点P为第四象限内一动点，且

/APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？

请证明你的结论。

8已知：

PA=2,PB=4,以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线AB的两侧.

⑴如图，当/APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当/APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应/APB的大小.