树状数组及其应用.docx

树状数组及其应用.docx

《树状数组及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《树状数组及其应用.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

树状数组及其应用

树状数组及其应用

（BinaryIndexedTrees）

一、什么是树状数组

【引例】

假设有一列数{Ai}（1<=i<=n），支持如下两种操作：

1.将Ak的值加D。

（k，D是输入的数）

2.输出As+As+1+…+At（s，t都是输入的数，s<=t）

分析一：

线段树

建立一颗线段树（线段长度1~n）。

一开始所有结点的count值等于0。

对于操作1，如果把Ak的值加D，则把所有覆盖了Ak的线段的count值加D。

只有log2n条线段会受到影响，因此时间复杂度是O（log2n）。

每条线段[x..y]的count值实际上就是Ax+Ax+1+…+Ay的值。

对于操作2，实际上就是把[s..t]这条线段分解成为线段树中的结点线段，然后把所有的结点线段的count值相加。

该操作（ADD操作）在上一讲线段树中已介绍。

时间复杂度为O（log2n）。

分析二：

树状数组

树状数组是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。

增加数组C，其中C[i]=a[i-2^k+1]+……+a[i]（k为i在二进制形式下末尾0的个数）。

由c数组的定义可以得出：

i

K

1

（1）2

0

1-2^0+1=1…1

c[1]=a[1]

2

（10）2

1

2-2^1+1=1…2

c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2]

3

（11）2

0

3-2^0+1=3…3

c[3]=a[3]

4

（100）2

2

4-2^2+1=1…4

c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4]

5

（101）2

0

5-2^0+1=5…5

c[5]=a[5]

6

（110）2

1

6-2^1+1=5…6

c[6]=a[5]+a[6]=c[5]+a[6]

………………

为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。

如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

【操作1】修改A[i]的值。

可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O（logn）。

定理1：

若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2]……C[pm]，则p1=k，而pi+1=pi+2li（li为pi在二进制中末尾０的个数）。

 例如a[1]……a[8]中，a[3]添加x；

p1=k=3p2=3+20=4

p3=4+22=8p4=8+23=16>8

由此得出，c[3]、c[4]、c[8]亦应该添加x。

定理的证明如下：

【引理】

若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2]……C[pm]，且p1

证明：

若存在某个i有li≥li+1，则pi-2li+1≤k≤pi，pi+1-2li+1+1≤k≤pi+1，pi+1–2Li+1+1≤k≤pi，即：

Pi+1≤Pi+2Li+1–1

（1）

而由Li=Li+1、Pi

Pi+1≥Pi+2Li

（2）

（1）

（2）矛盾，可知l1

定理：

p1=k，而pi+1=pi+2li　

证明：

因为p1

在p序列中，pi+1=pi+2li是pi后最小的一个满足li+1>li的数（若出现Pi+x比pi+1更小，则x<2li，与x在二进制中的位数小于li相矛盾）。

Pi+1=pi+2li，li+1≥li+1。

由pi-2li+1≤K≤Pi可知，Pi+1-2li+1+1≤Pi+2li–2*2li+1=Pi–2li+1≤K≤Pi≤Pi+1，故Pi与pi+1之间的递推关系式为

Pi+1=Pi+2li

【操作2】求数列的前n项和。

只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数, 因此，求和操作的复杂度也是O（logn）。

根据c[k]=a[k-2l+1]+…+a[k]（l为k在二进制数中末尾０的个数），我们从k1=k出发，按照

ki+1=ki-2lki（lki为ki在二进制数中末尾0的个数）

递推k2，k3，…，km（km+1=0）。

由此得出

S=c[k1]+c[k2]+c[k3]+…+c[km]

例如，计算a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]

k1=7

k2=k1-2l1=7-20=6

k3=k2-2l2=6-21=4

k4=k3-2l3=4-22=0

即a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]=c[7]+c[6]+c[4]

二、树状数组的操作函数

在操作1和操作2中，我们反复提到求2^K（k为i的2进制中末尾0的个数），因此我们先来定义一个求数i的低位函数，返回这个值。

求低位函数（LowBit）

LowBit，即2进制数中从最低位开始连续0的位数的关于2的幂，其值LowBit（x）=xand-x。

LowBit（x）显然就是notx中最低的是0的那一位，（notx）+1的那一位则会变成1，其更低的位全部变成0，而更高的位不变。

由于更高的位就是原数取反，和原数求and的值为0，最低位就是唯一的是1的位了。

所以LowBit（x）=xand（（notx）+1）。

举例说明：

在x=10101000时，

x=10101000

notx=01010111

（notx）+1=01011000

和原数求and就是1000。

同时notx=-x-1，所以LowBit（x）=xand-x。

有了lowbit函数，我们就可以方便地实现树状数组的修改（modify）、求和（getsum）两个操作。

操作1：

modify（i,num）

modify（i,num）：

对数组a[]中的第i个元素加上num。

为了维护c[]数组，我就必须要把c[]中所有“管”着a[i]的c[i]全部加上num，这样才能随时以O（logn）的复杂度进行getsum（i）的操作。

而"i:

=i+lowbit（i）"正是依次访问所有包含a[i]的c[i]的过程。

修改a[i]，我们需对c[i],c[i+lowbit（i）],c[i+lowbit（i）+lowbit（i+lowbit（i））]……进行修改。

复杂度O（logn）。

pascal代码:

proceduremodify（x,delta:

longint）;

begin

whilex<=ndo

begin

inc（c[x],delta）;

inc（x,lowbit（x））;

end;

end;

操作2：

求和（getsum）

getsum（i）:

求和正好反过来，每次“i:

=i-lowbit（i）”依次求a[i]之前的某一段和。

因为c[i]有这样一个性质：

Lowbit（i）的值即为c[i]“管”着a[i]中元素的个数，比如i=（101100）2，那么c[i]就是从a[i]开始往前数（100）2=4个元素的和，也就是c[i]=a[i]+a[i-1]+a[i-2]+a[i-3]。

那么每次减去lowbit（i）就是依次跳过当前c[i]所能管辖的范围，以便不重不漏地求出所有a[i]之前的元素之和。

a[1]+...+a[i]=c[i]+c[i-lowbit（i）]+c[i-lowbit（i）-lowbit（i-lowbit（i））]……

复杂度O（logn）

pascal代码:

functionsum（x:

longint）:

longint;

begin

sum:

=0;

whilex>0do

begin

inc（sum,c[x]）;

dec（x,lowbit（x））;

end;

end;

三、树状数组的应用

【例1】Stars（POJ2352）（时间1秒，空间64M）

Description

AstronomersoftenexaminestarmapswherestarsarerepresentedbypointsonaplaneandeachstarhasCartesiancoordinates.Letthelevelofastarbeanamountofthestarsthatarenothigherandnottotherightofthegivenstar.Astronomerswanttoknowthedistributionofthelevelsofthestars.

Forexample,lookatthemapshownonthefigureabove.Levelofthestarnumber5isequalto3（it'sformedbythreestarswithanumbers1,2and4）.Andthelevelsofthestarsnumberedby2and4are1.Atthismapthereareonlyonestarofthelevel0,twostarsofthelevel1,onestarofthelevel2,andonestarofthelevel3.

Youaretowriteaprogramthatwillcounttheamountsofthestarsofeachlevelonagivenmap.

Input

ThefirstlineoftheinputfilecontainsanumberofstarsN（1<=N<=15000）.ThefollowingNlinesdescribecoordinatesofstars（twointegersXandYperlineseparatedbyaspace,0<=X,Y<=32000）.Therecanbeonlyonestaratonepointoftheplane.StarsarelistedinascendingorderofYcoordinate.StarswithequalYcoordinatesarelistedinascendingorderofXcoordinate.

Output

TheoutputshouldcontainNlines,onenumberperline.Thefirstlinecontainsamountofstarsofthelevel0,theseconddoesamountofstarsofthelevel1andsoon,thelastlinecontainsamountofstarsofthelevelN-1.

SampleInput

5

11

51

71

33

55

SampleOutput

1

2

1

1

0

Hint

Thisproblemhashugeinputdata,usescanf（）insteadofcintoreaddatatoavoidtimelimitexceed.

【题目大意】

有N（1<=N<=15000）颗星星，坐标（0<=X,Y<=32000）。

每颗星的级别定义为：

不比它高、也不比它靠右的星星个数（即左下角，包含边界）。

给出每颗星的坐标。

输入保证Y坐标升序,Y相等时X坐标升序。

求每个级别的星星数。

【分析】

由于题目的输入已经是按照Y的升序，（如果Y相同，就按照X升序排列），因此可以做到每录入一个数据，就计算出它的level同时update，用c为每个坐标为X的数据做记录（利用树状数组组织）。

Level统计的时候，利用树状数组，在o（logn）时间内完成。

【参考代码】

programpoj2352;

var

n:

longint;

c:

array[0..32005]oflongint;

ans:

array[0..15001]oflongint;

functionlowbit（x:

longint）:

longint;

begin

lowbit:

=xand（-x）;

end;

procedurechange（k:

longint）;

begin

whilek<=32001do

begin

c[k]:

=c[k]+1;

k:

=k+lowbit（k）;

end;

end;

functiongetsum（k:

longint）:

longint;

var

tot:

longint;

begin

tot:

=0;

whilek>0do

begin

tot:

=tot+c[k];

k:

=k-lowbit（k）;

end;

getsum:

=tot;

end;

procedurework;

var

i,x,y:

longint;

begin

fillchar（c,sizeof（c）,0）;

fillchar（ans,sizeof（ans）,0）;

readln（n）;

fori:

=1tondo

begin

readln（x,y）;

inc（ans[getsum（x+1）]）;

change（x+1）;

end;

fori:

=0ton-1do

writeln（ans[i]）;

end;

begin

work;

end.

【例2】假设有一列数{Ai}（1<=i<=n），支持如下两种操作：

1.将A[x]…A[y]的值加D。

（x，y，D都是输入的数）；

2.输出Ak的值。

【分析】

我们把支持这种操作的树状数组称为树状数组的模式二，对于模式二，树状数组可以做到随时修改数组a[]中某个区间的值（O

（1）），查询某个元素的值（O（logn））

在这种模式下，a[i]已经不再表示真实的值了，只不过是一个没有意义的、用来辅助的数组。

这时我们真正需要的是另一个假想的数组b[]，b[i]才表示真实的元素值。

但c[]数组却始终是为a[]数组服务的，这一点大家要明确。

此时getsum（i）虽然也是求a[i]之前的元素和，但它现在表示的是实际我要的值，也就是b[i]。

比如现在我要对图1中a[]数组中红色区域的值全部加1。

当然你可以用模式一的modify（i）对该区间内的每一个元素都修改一次，但如果这个区间很大，那么每次修改的复杂度就都是O（nlogn），m次修改就是O（mnlogn），这在m和n很大的时候仍是不满足要求的。

这时模式二便派上了用场。

我只要将该区域的第一个元素+1，最后一个元素的下一位置-1，对每个位置getsum（i）以后的值见图2：

相信大家已经看得很清楚了，数组b[]正是我们想要的结果。

模式二难理解主要在于a[]数组的意义。

这时请不要再管a[i]表示什么，a[i]已经没有意义了，我们需要的是b[i]！

但模式二同样存在一个缺陷，如果要对某个区间内的元素求和，复杂度就变成O（nlogn）了。

所以要分清两种模式的优缺点，根据题目的条件选择合适的模式，灵活应变！

顺便给出二维树状数组模式二的修改方法：

【例3】mobilephone（移动电话）

Description

SupposethatthefourthgenerationmobilephonebasestationsintheTampereareaoperateasfollows.Theareaisdividedintosquares.ThesquaresformanS*Smatrixwiththerowsandcolumnsnumberedfrom0toS-1.Eachsquarecontainsabasestation.Thenumberofactivemobilephonesinsideasquarecanchangebecauseaphoneismovedfromasquaretoanotheroraphoneisswitchedonoroff.Attimes,eachbasestationreportsthechangeinthenumberofactivephonestothemainbasestationalongwiththerowandthecolumnofthematrix.

Writeaprogram,whichreceivesthesereportsandanswersqueriesaboutthecurrenttotalnumberofactivemobilephonesinanyrectangle-shapedarea.

Input

Theinputisreadfromstandardinputasintegersandtheanswerstothequeriesarewrittentostandardoutputasintegers.Theinputisencodedasfollows.Eachinputcomesonaseparateline,andconsistsofoneinstructionintegerandanumberofparameterintegersaccordingtothefollowingtable.

Thevalueswillalwaysbeinrange,sothereisnoneedtocheckthem.Inparticular,ifAisnegative,itcanbeassumedthatitwillnotreducethesquarevaluebelowzero.Theindexingstartsat0,e.g.foratableofsize4*4,wehave0<=X<=3and0<=Y<=3.

Tablesize:

1*1<=S*S<=1024*1024

CellvalueVatanytime:

0<=V<=32767

Updateamount:

-32768<=A<=32767

Noofinstructionsininput:

3<=U<=60002

Maximumnumberofphonesinthewholetable:

M=2^30

Output

Yourprogramshouldnotansweranythingtolineswithaninstructionotherthan2.Iftheinstructionis2,thenyourprogramisexpectedtoanswerthequerybywritingtheanswerasasinglelinecontainingasingleintegertostandardoutput.

SampleInput

04

1123

20022

1112

112-1

21123

3

SampleOutput

3

4

【问题描述】

假设第四代移动电话的收发站是这样运行。

整个区域被分割成很小的方格。

所有的方格组成了一个S*S的矩阵，行和列从0~S-1编号。

每个小方格都包含一个收发站。

每个方格内的手机的移动电话数量可以不断改变，因为手机用户在各个方格之间移动，也有用户开机或者关机。

一旦某个方格里面开机的移动电话数量发生了变化，该方格里的收发站就会向总部发送一条信息说明这个改变量。

总部要你写一个程序，用来管理从各个收发站收到的信息。

老板可能随时会问：

某个给定矩形区域内有多少部开机的移动电话啊？

你的程序必须要能随时回答老板的问题。

【输入输出数据】

从标准输入读入整数，向标准输出写入你对老板的回答。

输入数据的格式如下：

每个输入独立成一行。

一个输入包括一个指示数和一些参数，见下表：

指示数

参数

意义

0

S

初始指令。

整个区域由S*S个小方格组成。

这个指令只会在一开始出现一次。

1

XYA

方格（X，Y）内的开机移动电话量增加了A。

A可能是正数也可能是负数

2

LBRT

询问在矩形区域（L,B）—（R,T）内有多少部开机的移动电话。

矩形区域（L,B）—（R,T）包括所有的格子（X，Y）满足L<=X<=R,B<=Y<=T.

3

终止程序。

这个指令只会在最后出现一次。

所有的数据总是在给定范围内，你不需要差错。

特别的，如果A是负数，你可以认为该操作不会让该格子的开机移动电话数变成负数。

格子是从0开始编号的，比如一个4*4的区域，所有的格子（X，Y）应该表示为：

0<=X<=3,0<=Y<=3。

对于除了2之外的指示，你的程序不应该输出任何东西。

如果指示是2，那么你的程序应该向标准输出写入一个整数。

【数据限制】

区域大小

S*S

1*1<=S*S<=1024*1024

每个格子的值

V

0<=V<=32767

增加/减少量

A

-32768<=A<=32767

指令总数

U

3<=U<=60002

所有格子的和

M

M=2^30

【分析】

由于题目基本上只是在做查询和插入，因此我们可以完全不需要一个基本数组，而直接使用树状数组的就可以完成所有的数据的记录

方式一就是二维树状数组的add，只要把对应包含[x,y]项的元素更新即可

方式二