初中数学全等三角形精讲.docx
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初中数学全等三角形精讲
数学三角形精讲
[知识点归纳总结]
1.三角形的三边之间的关系
三角形任意两边之和大于第三边,三角形任意两边之差小于第三边。
2.三角形的内角和
三角形三个内角的和等于180°。
3.三角形全等的条件
(1)三边对应相等的两个三角形相等,简写为“SSS”。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“AAS”。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“SAS”。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL”。
4.全等三角形的性质
全等三角形的对应角相等,对应边相等。
5.三角形的外角性质
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
专题总复习
(一)全等三角形、轴对称
三、知识点梳理:
知识点一:
全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
知识点二:
全等三角形的性质.
(1)全等三角形的对应边相等.
(2)全等三角形的对应角相等.
知识点三:
判定两个三角形全等的方法.
(1)SSS
(2)SAS(3)ASA(4)AAS(5)HL(只对直角三形来说)
知识点四:
寻找全等三形对应边、对应角的规律.
①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
②全等三角形对应边所对的角是对应角,两个对应边所夹的角是对应角.
③有公共边的,公共边一定是对应边.④有公共角的,公共角一定是对应角.
⑤有对顶角的,对顶角是对应角.
⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).
知识点五:
找全等三角形的方法.
(1)一般来说,要证明相等的两条线段(或两个角),可以从结论出发,看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.(常用的办法)
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等.
(3)可以从已知条件和结论综合考虑,看它们能否一同确定哪两个三角形全等.
(4)如无法证证明全等时,可考虑作辅助线的方法,构造成全等三角形.
知识点六:
角平分线的性质及判定.
(1)角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)角平分线的判定:
在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.
(3)三角形三个内角平分线的性质:
三角形三条角平分线交于一点,且到三角形三边距离相等.
知识点七:
证明线段相等的方法.(重点)
(1)中点性质(中位线、中线、垂直平分线)
(2)证明两个三角形全等,则对应边相等
(3)借助中间线段相等.
知识点八:
证明角相等的方法.(重点)
(1)对顶角相等;
(2)同角或等角的余角(或补角)相等;
(3)两直线平行,内错角相等、同位角相等;(4)角平分线的定义;
(5)垂直的定义;(6)全等三角形的对应角相等;
(7)三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.
知识点九:
全等三角形中几个重要的结论.
(1)全等三角形对应角的平分线相等;
(2)全等三角形对应边上的中线相等;
(3)全等三角形对应边上的高相等.
知识点十:
三角形中常见辅助线的作法.(重难点)
(1)延长中线构造全等三角形(倍长线段法);
(2)引平行线构造全等三角形;
(3)作垂直线段(或高);
(4)取长补短法(截取法).
【典型例题】
例1.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,D、E、F分别在AB、BC、CA上,且BD=CE,∠DEF=∠B,图中是否存在和△BDE全等的三角形?
说明理由。
解:
△CEF≌△BDE
理由:
∵AB=AC,∴∠B=∠C
又∵∠DEC=∠B+∠BDE
∴∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE
∵∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE
∴△CEF≌△BDE(ASA)
例2.已知:
AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,BF=DE,则AB∥CD,为什么?
解:
理由:
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠DEC=∠BFA=90°
在Rt△DEC和Rt△BFA中
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)
∴∠DCE=∠BAF
∴CD∥AB
例3.用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成一个四边形ABCD,把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转,问:
当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于E、F时,通过观察或测量BE、CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论。
解:
结论:
BE=CF
理由:
∵△ABC、△ACD为等边三角形
∴AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∠BAC=60°
又∵∠1+∠EAC=60°,∠2+∠EAC=60°
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△ACF(ASA)
∴BE=CF
例4.如图,AD是△ABC的角平分线,AE是BC边上的高,∠B=20°,∠C=40°,求∠DAE的度数。
解:
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
又∵∠B=20°,∠C=40°
∴∠BAC=180°-20°-40°=120°
∵AD平分∠BAC
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°
又∵∠C=40°
∴∠EAC=90°-40°=50°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=60°-50°=10°
例5.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,且AC=3cm,BD=5cm,你能利用全等三角形有关知识测出AB的长吗?
解:
如图所示,在AB上截取AF=AC,连结EF
∵AE是∠CAB平分线
∴∠CAE=∠BAE
∵AC=AF,AE=AE
∴△ACE≌△AFE
∴∠C=∠EFA
∵AC∥BD,∴∠C+∠D=180°
∵∠AFE+∠EFB=180°
∴∠D=∠EFB
∵BE平分∠DBA,∴∠DBE=∠FBE
∵BE=BE,∴△DBE≌△FBE
∴BF=BD
∴AB=AC+BD
∵AC=3cm,BD=5cm
∴AB=8cm
全等三角形的有关证明(提高篇)
关键:
三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边(角)放入正确的三角形中”,去说明“相等的边(角)所在的三角形全等”,利用三角形全等来说明两个角相等(两条边相等)是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
要说明两边相等,两角相等,最常用的方法就是说明三角形全等
直角三角形的全等问题:
直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点!
直角三角形有关的全等问题中,除了特用的HL定理之外,在条件的寻找上首先就有了一组直角相等;而多个直角,多个垂直的图形组合在一块时,就很容易利用“同(等)角的余角相等”来得到其他的角相等。
例一:
图1,已知DO⊥BC,OC=OA,OB=OD,问CD=AB吗?
[分析]:
此图形可看作绕O点旋转得到,由垂直得到一组直角,
把结合其他两组边,很容易找到他们所在的三角形。
[变形1]:
请说明△BCE是直角三角形。
图1
(利用全等三角形的对应角相等,以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换)
解:
易得△AOB≌△COD(此过程较简单,略过不描述)
∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)
又∠OAB=∠DAE(对顶角相等)
而在Rt△AOB中,∠OAB+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)
D
∴∠DAE+∠D=90°(等量代换)
∴在△ADE中,∠DEA=180°
(∠DAE+∠D)=90°(三角形内角和定理)
∴∠BEC=90°(补角性质)
故△BCE是直角三角形
[变形2]:
把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,
连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:
AF⊥BE.
[分析]:
此图中要说明AF⊥BE,与上题中△BCE是直角三角形是一样的意思,
只需要说明∠BFD=90°即可
[变形3]:
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,
在同一条直线上,连结CD.(彩图为提示)
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
图1
(2)证明:
CD⊥BE
D
[变形4]、如图2,在△ABC中,高AD与BE相交于点H,且AD=BD,
问△BHD≌△ACD,为什么?
[分析]:
此题实际上就是[变形1]的反问,已经存在一组直角(由垂直得到),
一组相等的边(已知),再利用“同(等)角的余角相等”来得到第二组角相等!
D
[变形5]:
如图3,已知ED⊥AB,EF⊥BC,BD=EF,问BM=ME吗?
说明理由。
图4
图5
[变形6]:
如图4,AD是一段斜坡,AB是水平线,现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度,欢欢在D处立上一竹竿CD,并保证CD⊥AD,然后在竿顶C处垂下一根绳CE,与斜坡的交点为点E,他调整好绳子CE的长度,使得CE=AD,此时他测得DE=2米,于是他认定DB的高度也为2米,你觉得对吗?
请说明理由。
例二:
如图1,已知,AC⊥CE,AC=CE,∠ABC=∠CDE=90°,问BD=AB+ED吗?
[分析]:
(1)凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角,得到一组等量关系;
(2)出现3个垂直,往往意味着要运用同(等)角的余角相等,得到另一组等量
图6
关系;
(3)由全等得到边相等之后,还要继续往下面想,这几组相等的边能否组合在一起:
如如图6,除了得到三组对应边相等之外,还可以得到AC=BD。
解答过程:
得到△ABC≌CDE之后,可得到BC=DE,AB=CD
图7
∴BC+CD=DE+AB(等式性质)
即:
BD=AB+DE
[变形1]:
如图7,如果△ABC≌△CDE,请说明AC与CE的关系。
[注意]:
两条线段的关系包括:
大小关系(相等,一半,两倍之类)
位置关系(垂直,平行之类)
[变形2]:
如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F,
求证:
DE=BF
[分析]:
注意图形中有多个直角,利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。
[变形3]:
如图8,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的直线,BD⊥AE,CE⊥AE,
图8
如果CE=3,BD=7,请你求出DE的长度。
[分析]:
说明相等的边所在的三角形全等,
题中“AB=AC”,发现:
AB在Rt△ABD中,AC在Rt△CAE中,
所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt△全等(如图9)
于是:
已经存在了两组等量关系:
AB=AC,直角=直角,
再由多个垂直利用同角的余角相等,得到第三组等量关系。
解:
由题意可得:
在Rt△ABD中,∠1+∠ABD=90°(直角三角形的两个锐角互余)
图9
又∵∠BAC=90°(已知),即∠1+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE(等角的余角相等)
故在△ABD与△CAE中,
∠BDA=∠AEC=90°(垂直定义)
∠ABD=∠CAE(已求)
AB=AC(已知)
∴△ABD≌△CAE(AAS)∴AE=BD=7,AD=EC=3(全等三角形的对应边相等)
∴DE=AE
AD=7
3=4
[变形4]:
在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图9的位置时,△ADC≌△CEB,且DE=AD+BE。
你能说出其中的道理吗?
(2)当直线MN绕点C旋转到图10的位置时,DE=AD-BE。
说说你的理由。
(3)当直线MN绕点C旋转到图11的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系。
图11
图12
图10
2
等腰三角形、等边三角形的全等问题:
[必备知识]:
如右图,由∠1=∠2,可得∠CBE=∠DBA;反之,也成立。
例三:
已知在△ABC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AE,且∠1=∠2,请问BD=CE吗?
[分析]这类题目的难点在于,需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边,
分别放入两个三角形中,看成是一组三角形的对应边,
∴题目中所给的△ABC与△ADE是用来干扰你的思路的,应该去想如何把两组相等的边联系到一起,
加上所求的“BD=CE”,你会发现BD在△ABD中,CE在△ACE中,
这样一来,“AB=AC”可以理解为:
AB在△ABD中,AC在△ACE中,它们是一组对应边;
“AD=AE”可以理解为:
AD在△ABD中,AE在△ACE中,它们是一组对应边;
图13
所以只需要说明它们的夹角相等即可。
关键还是在于:
说明“相等的边(角)所在的三角形全等”
解:
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD(等式性质)
即:
∠BAD=∠CAE
∴在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知)
∠BAD=∠CAE(已求)
AD=AE
图14
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
[变形1]:
如图13,已知∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,BD=CE,
请说明△ABD≌△ACE.吗?
为什么?
[分析]:
例三是两组边相等,放入一组三角形中,利用SAS说明全等,
此题是两组角相等,那么该如何做呢?
[变形2]:
过点A分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE,请说明它们相等。
图15
[分析]:
此题实际上是例三的变形,只不过将等腰三角形换成了等边三角形,只要你根据所求问题,把BD看成在△ABD的一边,CE看成△ACE的一边,自然就得到了证明的方向。
解:
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD(等式性质)
即:
∠BAD=∠CAE
接下来的过程与例三完全一致,不予描述!
图16
[变形3]:
如图16—18,还是刚才的条件,把右侧小等边三角形的位置稍加变化,,连接BD,CE,请说明它们相等
这里仅以图17进行说明
解:
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE
∠BAC=∠DAE=60°
图17
∴∠BAC
∠CAD=∠DAE
∠CAD【仅这步有差别】
即:
∠BAD=∠BAD=∠CAE
∴在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知)
∠BAD=∠CAE(已求)
图18
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
图16,图18的类型,请同学们自己去完成
[变形4]:
如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
;
[分析]:
和上面相比,只不过等边三角形换成正方形,60°换成直角了,思路一样
例四:
如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
求证:
AN平分∠BAC.
[分析]:
要说明AN平分∠BAC,必须说明两角相等,∴可以说明△AMN≌△CAN,
而题中已有了一组直角相等,一组公共边(斜边)
结合题目中条件,比较容易找到一边直角边相等,从而利用HL定理得到全等。
[变形1]:
在Rt△ABC中,已知∠A=90°,DE⊥BC于E点,如果AD=DE,BD=CD,求∠C的度数
【模拟试题】(答题时间:
30分钟)
一.选择题。
1.已知等腰三角形的两边长是4cm和9cm,则此三角形的周长是()
A.17cmB.13cmC.22cmD.17cm或22cm
2.两根木条的长分别是20cm和30cm,要钉成一个三角形的木架,则在下面4根长度的木条中应选取()
A.10cmB.20cmC.50cmD.60cm
3.如图所示,∠ACB=90°,CD⊥AB,则∠1与∠A的关系是()
A.互余B.互补C.相等D.不确定
4.如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和为()
A.180°B.360°C.540°D.720°
5.在两个三角形中,下列条件能判定两个三角形全等的是()
A.有两条边对应相等
B.有两角及其中一个角的对边对应相等
C.有三个角对应相等
D.有两边及一角对应相等
6.在具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是()
A.∠A-∠B=∠C
B.∠A=3∠C,∠B=2∠C
C.∠A=∠B=2∠C
D.
二.已知:
如图所示,△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于E,∠A=60°,∠BDC=95°,求△BDE各内角的度数。
三.已知:
如图所示,AC=BC,AD=BD,M、N分别是AC、BC的中点,则DM=DN,为什么?
四.已知:
如图所示,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别是B、D,要想得到AB=AD的结论,你认为需要补充什么条件?
请说明你的理由。
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