12章全三角形教案.docx
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12章全三角形教案
12.1全等三角形
一、定义及相关概念
(1)能够完全重合的两个图形叫做全等形,则______________________叫做全等三角形。
(2)全等三角形的对应顶点:
、对应角:
、对应边:
。
(3)“全等”符号:
读作“全等于”
(4)全等三角形的性质:
(5)如下图:
这两个三角形是完全重合的,则△ABC△A1B1C1..点A与A点是对应顶点;点B与点是对应顶点;点C与点是对应顶点.对应边:
对应角:
。
二观察与思考:
1.将△ABC沿直线BC平移得△DEF,如图甲;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC,如图乙;将△ABC旋转180°
得△AED,如图丙.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
即≌△DEF,△ABC≌,△ABC≌.(书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但、都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形 ,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
2.说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。
三、自学检测
1、如图1,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,则这两个三角形中相等的边。
相等的角。
图1图2图3图4
2、如图2,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其它的对应角
对应边:
ABAEBE
3.已知如图3,△ABC≌△ADE,试找出对应边
对应角.
4.如图4,
AB与DB,AC与DE是对应边,已知:
,求
。
解:
∵∠A+∠B+∠BCA=180(),
()
∴∠BCA=
∵
()
∴∠BED=∠BCA=()
四、评价反思概括总结
找两个全等三角形的对应元素常用方法有:
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找:
有相等元素,它们就是对应元素,然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.
3.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.
4.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
12.2三角形全等的判定
(一)
一、读一读,想一想,画一画,议一议
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
总结:
通过我们画图可以发现只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形不一定全等;给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等,按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:
有四种可能.即:
三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
3、如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,
∠AOB=∠COD,
BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
4.“边角边”公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据..
5.例题.如图所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
三、探究学习
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
四、深化提高
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
3、已知:
AD∥BC,AD=CB,AE=CF(图5).求证:
△ADF≌△CBE
§15.2三角形全等的判定
(二)
一.温故知新
1.
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
二种:
①定义__________________________________________________;
②“SAS”公理__________________________________________________
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了二种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
3.三角形中已知两角一边有几种可能?
.两角和它们的夹边.
.两角和其中一角的对边.
二、判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)
三、探究学习
1.如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:
AD=AE.
2.观察下图中的两个三角形,它们全等吗?
请说明理由.
3.如图:
在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任一点。
求证:
PA=PD。
§15.2三角形全等的判定(三)
一.回顾思考:
1.
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义__________________________________________________;
②“SAS”公理__________________________________________________
“ASA”定理__________________________________________________
二、新课
1.回忆前面研究过的全等三角形.
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与相等的角.
图中相等的边是:
相等的角是:
2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
归纳:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(SSS)
3.探究学习
(1)如图
(1),△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.
图
(1)图
(2)
.
(2)如图
(2),已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有一个条件:
______________________,怎样才能得到这个条件?
∵__________________________
∴__________________________
∴__________________________
(3)已知,AB=AC,AD是BC边上的中线P是AD的一点,求证:
PB=PC
4.三角形的稳定性:
三、评价反思概括总结
1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件,又发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
2.到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
①定义__________________________________________________;
②“SAS”公理__________________________________________________
“ASA”定理_________________________________________________
“SSS”定理_________________________________________________
§15.2三角形全等的判定(四)
一.三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
二、新课
1.三角形全等的判定(四)
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
书写格式:
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)
2.定理证明
已知:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,
求证:
△ABC与△DEF
三、探究学习
1.如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
2下图中,若AE=BC则这两个三角形全等吗?
请说明理由.
3.课本P101练习1、2.3
五.评价反思概括总结
1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件,又发现了证明三角形全等的一个规律AAS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
2.可以作为判别两三角形全等的常用方法有几种?
各是什么?
“SAS”公理__________________________________________________
②“ASA”定理_________________________________________________
“SSS”定理_________________________________________________
“AAS”定理_________________________________________________
六.作业
§15.2三角形全等的判定(五)
---直角三角形全等的判定
学习目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单推理。
学习重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习方法:
自主学习与小组合作探究
学习过程:
Ⅰ.想一想,填一填:
1、判定两个三角形全等常用的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,
斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
Ⅱ.探究学习
(一)探索新知:
1.阅读教材P101-P102并作出三角形(动手操作):
2、与教材中的三角形比较,是否重合?
3、从中你发现了什么?
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)
(二)自学检测:
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,
则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
2.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,
(1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,
根据
(2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据
(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据
(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。
则△ACE≌△BDF,根据
(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据
3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()
(A)两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等
(C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等
4、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,
AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗?
说说你的理由
答:
理由:
∵AF⊥BC,DE⊥BC(已知)
∴∠AFB=∠DEC=°(垂直的定义)
在Rt△和Rt△中
∴≌()
∴∠=∠()
∴(内错角相等,两直线平行)
(三)、例题:
阅读教材例题:
P102例7
(四)小组合作学习:
判断题:
(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
()
(2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等()
(3)一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等()
(4)两直角边对应相等的两个直角三角形全等()
(5)两边对应相等的两个直角三角形全等()
(6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等()
(7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等()
(8)一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等()
Ⅲ.评价反思概括总结
六种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义2.边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)3.HL(仅用在直角三角形中)
Ⅳ.作业
12.3角平分线的性质
(1)
一、学习目标
1、能用三角形全等的知识,解释角平分线的原理;
2、会用尺规作已知角的平分线.
二、温故知新
如图1,在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点.
求证:
(1)Rt△MOC≌Rt△NOC
(2)∠MOC=∠NOC.
三、自主探究合作展示
探究
(一)
1、依据上题我们应怎样平分一个角呢?
2、思考:
把上面的方法改为“在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,使MC=NC,连接OC,则OC即为∠AOB的平分线。
”结论是否仍然成立呢?
3、受上题的启示,我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器:
其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
探究
(二)
思考:
如何作出一个角的平分线呢?
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
请同学们依据以上作法画出图形。
议一议:
1、在上面作法的第二步中,去掉“大于
MN的长”这个条件行吗?
2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?
探究(三)
如图3,OA是∠BAC的平分线,点O是射线AM上的任意一点.
操作测量:
取点O的三个不同的位置,分别过点O作OE⊥AB,OD⊥AC,点D、E为垂足,测量OD、OE的长.将三次数据填入下表:
观察测量结果,猜想线段OD与OE的大小关系,写出结论:
OD
OE
第一次
第二次
第三次
图4
下面用我们学过的知识证明发现:
已知:
如图4,AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。
求证:
OE=OD。
四、双基检测
1、如图5所示,在△ABC中,∠C=
,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于D,且DC:
DB=3:
5,则点D到AB的距离是___________。
2、如图6所示,∠AOC=∠BOC,CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M、N,则下列结论中错误的是()
A.CM=CNB.OM=ONC.∠MCO=∠NCOD.ON=CM
3、如图7,在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:
⑴图中相等的线段有哪些?
相等的角呢?
⑵哪条线段与DE相等?
五、学习反思
请你对照学习目标,谈一下这节课的收获及困惑。
12.3角平分线的性质
(2)
一、学习目标
1、掌握角的平分线的性质;
2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题.
二、温故知新
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.
1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.
三、自主探究合作展示
(一)思考:
命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题?
若是真命题,请给出证明过程。
已知:
如图1,
求证:
证明:
结论:
(二)思考:
如图2所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:
20000)?
(三)应用举例
例:
如图3,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:
点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
例题反思:
四、双基检测
1.如图4,在
中,
,
平分
,
,那么
点到直线
的距离是 cm.
2.如图5,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D.
(1)若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系,说明理由;
(2)若AP平分∠BAC,交BD于P,求∠BPA的度数.
3、如图6,所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点O。
求证:
AO⊥BC。
五、学习反思
请你对照学习目标,谈一下这节课的收获及困惑。
第12章全等三角形复习
一、复习目标
1、掌握全等三角形的概念及其性质;
2、会灵活运用全等三角形的判定方法解决问题;
3、掌握角平分线的性质并能灵活运用。
二、知识再现
1、全等三角形的概念及其性质
1)全等三角形的定义:
2)全等三角形性质:
(1)
(2)(3)周长相等(4)面积相等
例1.如图1,
≌
,BC的延长线交DA于F,交DE于G,
求
、
的度数.
例题反思:
2、全等三角形的判定方法:
例2.如图2,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证:
例题反思:
例3.如图3,在
中,AB=AC,D、E分别在BC、AC边上。
且
AD=DE
求证:
≌
.
例题反思:
3、角平分线
例4.如图4,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:
EB=FC
例题反思:
三、双基检测
1、下列命题中正确的()
A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等
C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等
2、下列各条件中,不能作出唯一三角形的是()
A.已知两边和夹角B.已知两角和夹边
C.已知两边和其中一边的对角 D.已知三边
3、完成下列证明过程.
如图5,
中,∠B=∠C,D,E,F分别在
,
,
上,且
,
求证:
.
证明:
∵∠DEC=∠B+∠BDE(),
又∵∠DEF=∠B(已知),
∴∠______=∠______(等式性质).
在△EBD与△FCE中,
∠______=∠______(已证),
______=______(已知),
∠B=∠C(已知),
∴
( ).
∴ED=EF( ).
四、拓展提高
如图6⑴,AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么∠1与∠2有什么关系?
请说明理由。
若过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况,其余条件不变,那么图⑴中的∠1与∠2的关
系还成立吗?
请说明理由。
五、学习反思
请你对照复习目标,谈一下这节课的收获及困惑。
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