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离散数学同步练习
华南理工大学网络教育学院
《离散数学》练习题
第一章命题逻辑
一填空题
(1)设:
p:
派小王去开会。
q:
派小李去开会。
则命题:
“派小王或小李中的一人去开会”可符号化
为:
。
(2)设A,B都是命题公式,A⇒B,则A→B的真值是。
(3)设:
p:
刘平聪明。
q:
刘平用功。
在命题逻辑中,命题:
“刘平不但不聪明,而且不用功”可符号化为:
。
(4)设A,B代表任意的命题公式,则等价式
A→B⇔。
(5)设,p:
径一事;q:
长一智。
在命题逻辑中,命题:
“不径一事,不长一智。
”可符号化为:
。
(6)设A,B代表任意的命题公式,则德∙摩根律为
⌝(A∧B)⇔ 。
(7)设,p:
选小王当班长;q:
选小李当班长。
则命题:
“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为:
。
(8)设,P:
他聪明;Q:
他用功。
在命题逻辑中,命题:
“他既聪明又用功。
”可符号化为:
。
(9)对于命题公式A,B,当且仅当是重言式时,称“A蕴含B”,并记为A⇒B
。
(10)设:
P:
我们划船。
Q:
我们跑步。
在命题逻辑中,命题:
“我们不能既划船又跑步。
”可符号化为:
。
(11)设P,Q是命题公式,德·摩根律为:
⌝(P∨Q)⇔。
(12)设P:
你努力。
Q:
你失败。
在命题逻辑中,命题:
“除非你努力,否则你将失败。
”可符号化为:
。
(13)设p:
小王是100米赛跑冠军。
q:
小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中,命题:
“小王是100米或400米赛跑冠军。
”可符号化为:
。
(4)设A,C为两个命题公式,当且仅当为一重言式时,称C可由A逻辑地推出
。
二.判断题
1.设A,B是命题公式,则等价式A→B⇔⌝A∧B。
()
2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。
()
3.陈述句“x+y>5”是命题。
()
4.110(p=1,q=1,r=0)是命题公式((⌝(p∧q))→r)∨q的成真赋值。
()
5.命题公式p→(⌝p∧q)是重言式。
()
6.设A,B都是合式公式,则A∧B→⌝B也是合式公式。
()
7.A∨(B∧C)⇔(A∨B)∨(A∨C)。
()
8.陈述句“我学英语,或者我学法语”是命题。
()
9.命题“如果雪是黑的,那么太阳从西方出”是假命题。
()
10.“请不要随地吐痰!
”是命题。
()
11.P→Q⇔⌝P∧Q。
()
12.陈述句“如果天下雨,那么我在家看电视”是命题。
()
13.命题公式(P∧Q)∨(⌝R→T)是析取范式。
()
14.命题公式(P∧⌝Q)∨R∨(⌝P∧Q)是析取范式。
()
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.设:
P:
天下雪。
Q:
他走路上班。
则命题“只有天下雪,他才走路上班。
”可符号化为。
(1)P→Q
(2)Q→P
(3)⌝Q→⌝P
(4)Q∨⌝P
2.
(1)明年国庆节是晴天。
(2)在实数范围内,x+y〈3。
(3)请回答这个问题!
(4)明天下午有课吗?
在上面句子中,是命题的只有。
3.命题公式A与B是等值的,是指。
(1)A与B有相同的命题变元
(2)A↔B是可满足式
(3)A→B为重言式
(4)A↔B为重言式
4.
(1)雪是黑色的。
(2)这朵花多好看呀!
。
(3)请回答这个问题!
(4)明天下午有会吗?
在上面句子中,是命题的是。
5.设:
P:
天下大雨。
Q:
他乘公共汽车上班。
则命题“只要天下大雨,他就乘公共汽车上班。
”
可符号化为。
(1)Q→P
(2)P→Q
(3)⌝Q→⌝P
(4)Q∨⌝P
6.设:
P:
你努力;Q:
你失败。
则命题“除非你努力,否则你将失败。
”
在命题逻辑中可符号化为。
(1)Q→P
(2)P→Q
(3)⌝P→Q(4)Q∨⌝P
7.
(1)现在开会吗?
(2)在实数范围内,x+y>5。
(3)这朵花多好看呀!
(4)离散数学是计算机科学专业的一门必修课。
在上面语句中,是命题的只有。
8.设:
P:
天气好。
Q:
他去郊游。
则命题“如果天气好,他就去郊游。
”
可符号化为
(1)P→Q
(2)Q→P
(3)⌝Q→⌝P(4)Q∨⌝P
9.下列式子是合式公式的是。
(1)(P∨→Q)
(2)⌝(P→(Q∨R))
(3)(P⌝Q)(4)∧Q→R
10.
(1)1+101=110
(2)中国人民是伟大的。
(3)全体起立!
(4)计算机机房有空位吗?
在上面句子中,是命题的是。
11.设:
P:
他聪明;Q:
他用功。
则命题“他虽聪明但不用功。
”
在命题逻辑中可符号化为。
(1)P∧Q
(2)P→Q
(3)P∨⌝Q(4)P∧⌝Q
12.
(1)如果天气好,那么我去散步。
(2)天气多好呀!
(3)x=3。
(4)明天下午有会吗?
在上面句子中是命题。
13.设:
P:
王强身体很好;Q:
王强成绩很好。
命题“王强身体很好,成绩也很好。
”在命题逻辑中可符号化为。
(1)P∨Q
(2)P→Q
(3)P∧⌝Q(4)P∧Q
四、解答题
1.设命题公式为(⌝p→q)→(q→⌝p)。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
2.设命题公式为(p→q)∧(p∨r)。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
3.设命题公式为⌝Q∧(P→Q)→⌝P。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)求此命题公式的析取范式;
4.完成下列问题
(1)求此命题公式⌝Q∧(P→Q)→⌝P的真值表;
(2)求命题公式(P∧(Q→R))→S的析取范式。
5.设命题公式为(P∧(P→Q))→Q。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)判断该公式的类型。
6.设命题公式为((P∨Q)∧⌝P)→Q。
(1)求此命题公式的真值表;
(2)给出它的析取范式;
7.用直接证法证明
前提:
P∨Q,P→R,Q→S
结论:
S→R
8.用直接证法证明
前提:
P→(Q∨R),S→⌝Q,P,S。
结论:
R
第二章谓词逻辑
一填空题
(1)若个体域是含三个元素的有限域{a,b,c},则
∃xA(x)⇔
(2)取全总个体域,令F(x):
x为人,G(x):
x爱看电影。
则命题“没有不爱看电影的人。
”可符号化为_____________________________________。
(3)若个体域是含三个元素的有限域{a,b,c},则
∀xA(x)⇔。
(4)取全总个体域,令M(x):
x是人,G(y):
y是花,H(x,y):
x喜欢y。
则命题“有些人喜欢所有的花。
”可符号化为_________________________。
(5)取个体域为全体人的集合。
令F(x):
x在广州工作,G(x):
x是广州人。
在谓词逻辑中,命题“在广州工作的人未必都是广州人。
”可符号化为_____________________________________。
(6)P(x):
x是学生,Q(x):
x要参加考试。
在谓词逻辑中,命题:
“每个学生都要参加考试”可符号化为:
。
(7)M(x):
x是人,B(x):
x勇敢。
则命题“有人勇敢,但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为___________________________________________。
(8)P(x):
x是人,M(x):
x聪明。
则命题“尽管有人聪明,但不是一切人都聪明”谓词符号化为__________________________________________。
(9)I(x):
x是实数,R(x):
x是正数,N(x):
x是负数。
在谓词逻辑中,命题:
“任何实数或是正的或是负的”可符号化为:
。
(10)令M(x):
x是大学生,P(y):
y是运动员,H(x,y):
x钦佩y。
则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。
”可符号化为_______________________。
二.判断题
1.设A,B都是谓词公式,则∀xA↔⌝B也是谓词公式。
()
2.设c是个体域中某个元素,A是谓词公式,则A(c)⇒∀xA(x)。
()
3.∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)。
()
4.∀x∃yA(x,y)⇔∃y∀xA(x,y)。
()
5.取个体域为整数集,则谓词公式∀x∀y(x⨯y=y)是假命题。
()
6.(∀x)(P(x)→Q(x))⇔(∀x)(⌝P(x)∨Q(x))。
()
7.命题公式(P∧⌝Q∨R)∨(⌝P∧Q)是析取范式。
()
8.谓词公式(∀x)(A(x)→B(x,y))∧R(x)的自由变元为x,y。
()
9.((∀x)A(x)→B)⇔(∃x)(A(x)→B)。
()
10.R(x):
“x是大学生。
”是命题。
()
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.设F(x):
x是火车,G(x):
x是汽车,H(x,y):
x比y快。
命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是。
(1)∃y(G(y)→∀x(F(x)∧H(x,y)))
(2)∃y(G(y)∧∀x(F(x)→H(x,y)))
(3)∀x∃y(G(y)→(F(x)∧H(x,y)))
(4)∃y(G(y)→∀x(F(x)→H(x,y)))
2.设个体域为整数集,下列真值为真的公式是。
(1)∃y∀x(x–y=2)
(2)∀x∀y(x–y=2)
(3)∀x∃y(x–y=2)
(4)∃x∀y(x–y=2)
3.设F(x):
x是人,G(x):
x早晨吃面包。
命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是。
(1)(∀x)(F(x)→G(x))
(2)(∀x)(F(x)∧G(x))
(3)(∃x)(F(x)→G(x))
(4)(∃x)(F(x)∧G(x))
5.下列式子中正确的是。
(1)⌝(∀x)P(x)⇔(∃x)P(x)
(2)⌝(∀x)P(x)⇔(∀x)⌝P(x)
(3)⌝(∃x)P(x)⇔(∃x)⌝P(x)
(4)⌝(∃x)P(x)⇔(∀x)⌝P(x)
6.下面谓词公式是永真式的是 。
a)P(x)→Q(x)
b)(∀x)P(x)→(∃x)P(x)
c)P(a)→(∀x)P(x)
d)⌝P(a)→(∃x)P(x)
5.设S(x):
x是运动员,J(y):
y是教练员,L(x,y):
x钦佩y。
命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是。
a)∀x(S(x)∧∀y(J(y)∧L(x,y)))
b)∀x∃y(S(x)→(J(y)→L(x,y)))
c)∀x(S(x)→∃y(J(y)∧L(x,y)))
d)∃y∀x(S(x)→(J(y)∧L(x,y)))
6.下列式子是合式公式的是。
(1)(P∨→Q)
(2)⌝(P∧(Q∨R))
(3)(P⌝Q)(4)∧Q→∧R
7.下列式子中正确的是。
(1)⌝(∀x)P(x)⇔(∃x)P(x)
(2)⌝(∀x)P(x)⇔(∀x)⌝P(x)
(3)⌝(∃x)P(x)⇔(∃x)⌝P(x)
(4)⌝(∃x)P(x)⇔(∀x)⌝P(x)
四、解答题
1.构造下面推理的证明:
前提:
∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),
∃xF(x)。
结论:
∃xR(x)。
2.在一阶逻辑中构造下面推理的证明
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。
每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不喜欢骑自行车。
因而有的人不喜欢步行。
令F(x):
x喜欢步行。
G(x):
x喜欢坐汽车。
H(x):
x喜欢骑自行车。
3.在命题逻辑中构造下面推理的证明:
如果他是理科学生,他必须学好数学。
如果他不是文科学生,他必是理科学生。
他没学好数学,所以他是文科学生。
4.用直接证法证明:
前提:
(∀x)(C(x)→W(x)∧R(x)),(∃x)(C(x)∧Q(x))
结论:
(∃x)(Q(x)∧R(x))。
第三章集合与关系
一填空题
(1)如果|A|=n,那么|A×A|= n2 。
A上的二元关系有_________个。
(2)集合A上关系R的自反闭包r(R)=___________________。
(3)设集合A上的关系R和S,R={(1,2),(1,3),(3,2)},S={(1,3),(2,1),(3,2)},则S◦R=。
(4)如果|A|=n,那么|P(A)|= 2n 。
(5)设集合A上的关系R和S,R={<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3>},S={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>},则R◦S=。
(6)设集合E={a,b,c},E的幂集P(E)=___________________________。
(7)设R是定义在集合X上的二元关系,如果对于任意x,y∈X,
______________________,则称集合X上的关系R是对称的。
(8)设关系R和S为,R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},则R◦S=__________________________。
(9)设R是定义在集合X上的二元关系,如果对于每个x∈X,
______________________,则称集合X上的关系R是自反的。
二.判断题
1.设S,T是任意集合,如果S-T=∅,则S=T。
()
2.集合A={1,2,3,4}上的关系{<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}是一个函数。
()
3.集合A={1,2,3,4}上的整除关系是等价关系。
()
4.集合A的幂集P(A)上的包含关系是偏序关系。
()
5.设A={a,b,c},R∈A×A且R={,},则R是传递的。
()
6.设A,B是任意集合,如果B≠∅,则A–B≠A。
()
7.集合A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}是传递的。
()
8.集合A={1,2,3,4}上的小于关系是等价关系。
()
9.关系{
()
10.集合A上的恒等关系是偏序关系。
()
11.集合A={1,2,3}上的关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>}是自反的。
()
12.设X={1,2,3},Y={a,b,c}。
函数F={<1,a>,<2,c>,<3,b>}是双射。
()
13.集合A上的关系R的自反闭包r(R)=R∪IA。
()
14.集合A上的偏序关系R是自反的、对称的、传递的。
()
15.设A,B是任意集合,则A⊕B=(A-B)∪(B-A)。
()
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.设A={a,b,c},B={a,b},则下列命题不正确的是。
a)A-B={a,b}
b)A∩B={a,b}
c)A⊕B={c}
d)B⊆A
2.设A={a,b,c,d},A上的关系R={,,,
b)R={,,,
c)R={,,,
3.对于集合{1,2,3,4}上的关系是偏序关系的是。
a)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
b)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,1>,<2,4>,<3,1>,<3,4>,<4,4>}
c)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,4>}
d)R={<2,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<4,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
4.设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},以下哪个关系是从A到B的单射函数。
a)f={<1,7>,<2,6>,<3,5>,<1,9>,<5,10>}
b)f={<1,8>,<2,6>,<3,7>,<4,9>,<5,10>}
c)f={<1,7>,<2,6>,<3,5>,<4,6>}
d)f={<1,10>,<2,6>,<3,7>,<4,8>,<5,10>}
5.设A={a,b,c},要使关系{,,
a)R={
b)R={
c)R={
d)R={
6.设S={Φ,{1},{1,2}},则S的幂集P(S)有个元素
(1)3
(2)6(3)7(4)8
7.设R为定义在集合A上的一个关系,若R是,则R为等价关系。
(1)反自反的,对称的和传递的
(2)自反的,对称的和传递的
(3)自反的,反对称的和传递的(4)对称的,反对称的和传递的
8.设S,T,M为任意集合,下列命题正确的是。
a)如果S∪T=S∪M,则T=M
b)如果S-T=Φ,则S=T
c)S-T⊆S
d)S⊕S=S
9.设A={1,2,3,4,5},B={a,b,c,d,e},以下哪个函数是从A到B的入射函数。
e)F={<1,b>,<2,a>,<3,c>,<1,d>,<5,e>}
f)F={<1,c>,<2,a>,<3,b>,<4,e>,<5,d>}
g)F={<1,b>,<2,a>,<3,d>,<4,a>}
h)F={<1,e>,<2,a>,<3,b>,<4,c>,<5,e>}
四、解答题
1.已知偏序集(A,≦),其中A={a,b,c,d,e},“≦”为{(a,b),
(a,c),(a,d),(c,e),(b,e),(d,e),(a,e)}∪IA。
(1)画出偏序集(A,≦)的哈斯图。
(2)求集合A的极大元,极小元,最大元,最小元。
2.设R是集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}上的整除关系。
(1)给出关系R;
(2)画出关系R的哈斯图;
(3)指出关系R的最大、最小元,极大、极小元。
3.设R是集合A={1,2,3,4,6,12}上的整除关系。
(2)给出关系R;
(2)给出COVA
(3)画出关系R的哈斯图;
(4)给出关系R的极大、极小元、最大、最小元。
第五章代数结构
一填空题
(1)集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的零元为___________。
(2)集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∩”的零元为___________。
(3)集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的么元为_____________。
(4)一个代数系统<S,*>,其中S是非空集合。
*是S上的一个二元运算,如果,则称代数系统<S,*>为广群。
二.判断题
1.含有零元的半群称为独异点。
()
2.运算“+”是整数集I上的普通加法,则群的么元是1。
()
三、填空题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1.下列群一定为循环群的是 。
i)(运算“+”是整数集I上的普通加法)
j)
k)(运算“+”是有理数集Q上的普通加法)
l)
(P(S)是集合S的幂集,“⊕”为对称差)
2.
运算“-”是整数集I上的普通减法,则代数系统满足下列
性质。
(1)结合律
(2)交换律(3)有零元(4)封闭性
3.设I是整数集,N是自然数集,P(S)是S的幂集,“×,+,∩”是普通的乘法,加法和集合的交运算。
下面代数系统中是群。
(1)
(2)(3)
(4)
4.下列代数系统不是群的是 。
(5)(运算“+”是整数集I上的普通加法)
(6)
(P(S)是集合S的幂集,“∩”为交运算)
(7)(运算“+”是有理数集Q上的普通加法)
(P(S)是集合S的幂集,“⊕”为对称差)
第七章图论
一填空题
(1)任何图(无向)中,度为奇数的顶点个数为 。
(2)设D是一个有向图,若D中任意一对顶点都是相互可达的,则称D是_______________。
(3)既不含平行边,也不含环的图称为。
(4)经过图中 一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路,称为欧拉回路。
(5)一棵有n个顶点的树含有_______________边。
(6)设G=(V,E),G'=(V',E')是两个图,若且,称G是G的生成子图。
(7)经过图中 一次且仅一次的回路,称为哈密尔顿回路。
二.判断题
1.5个顶点的有向完全图有20条边。
()
2.已知n(n≥2)阶无向简单图G有n–1条边,则G一定为树。
()
3.n阶无向完全图Kn的每个顶点的度都是n。
()
4.任何图都有一棵生成树。
()
5.连通无向图的哈密尔顿回路经过图中的每条边一次且仅一次。
()
6.任一图G=(V,E)的顶点的最大度数必小于G的顶点数。
()
7.欧拉图一定是汉密尔顿图。
()
8.无向连通图G的任意两结点之间都存在一条路。
()
9.根树中除一个结点外,其余结点的入度为1。
()
三、选择题:
在每小题的备选答案中只有一个正确答案,将正确答案序号填入下列叙
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