六年级上册数学讲义53圆和扇形组合图形面积拓展人教版含答案.docx

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六年级上册数学讲义53圆和扇形组合图形面积拓展人教版含答案

扇形和圆的组合图形的面积

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容

扇形和圆的组合图形的面积

课型

一对一/一对N

教学目标

掌握扇形和圆的组合图形的面积的计算

重、难点

1、会利用平面图形的周长和面积公式求平面图形的周长和面积。

2、会用割、补、分解、代换、增加辅助线等方法，将复杂问题变得简单。

课首沟通

和学生交谈。

了解学生对圆的认识，对各计算公式是否掌握。

知识导图

课首小测

1.一个圆形花坛的半径是3m，它的面积是多少平方米？

（已知圆的半径，求圆的面积）

2.圆形花坛的直径是20m，它的面积是多少平方米？

（已知圆的直径，求圆的面积）

3.一个圆形蓄水池的周长是25.12m，这个蓄水池的占地面积是多少？

（已知圆的周长，求圆的面积）

4.求下图扇形的面积。

导学一：

运用代换法将复杂的图形转化为简单的规则图形

例1.图1中右半部分阴影面积比左半部分阴影面积大33平方厘米,AB=60厘米，CB垂直AB,求BC的长。

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1.如图1-1所示，两个圆的圆心分别为O1、O两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。

求长方形ABO1O的面积。

2.

如图1-2,所示，求右半部分阴影面积比左半部分阴影面积大多少平方厘米。

3.

如图1-3：

已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：

空白部分甲比乙的面积多多少平方厘米？

导学二：

巧用各基本图形的计算公式求解

知识点讲解1：

把R2看成一个整体

例1.图2中已知阴影部分的面积是20平方分米，求环形的面积。

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1.

下图中正方形的面积是8平方米，圆的面积是多少平方米？

2.

已知下图2-2中阴影部分三角形的面积是5平方米，求圆的面积。

3.已知下图2-3中阴影部分三角形的面积是7平方米，求圆的面积。

知识点讲解2：

从局部到整体，从整体到局部，牢记公式，巧妙应用。

例1.如图3,半圆S1的面积是14.13平方厘米,圆S2的面积是19.625平方厘米.那么长方形（阴影部分的面积）是多少平方厘米?

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1.下图3-1中，△ABC是等腰直角三角形，以为半径的圆弧交延长线于点，已知阴影部分的面积是求。

S△ABC的面积。

2.

如图3-3画出了一个大圆和四个面积相等的小圆．已知大圆半径等于小圆直径，小圆面积为7平方厘米，那么阴影部分的面积总和为多少平方厘米。

3.如图3-5，已知EO=8cm，求阴影部分的面积。

导学三：

容斥问题

知识点讲解1：

把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例1.下图4中，长方形ABCD的长是6cm，宽是4cm，求阴影部分的面积。

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1.

图4-1中，三角形ABC为等腰直角三角形，AB=10，以AB为直径的半圆与BC交于点D，以CA为半径做的弧与BC交于点E，求阴影面积。

2.

如图4-2，以等腰直角三角形的两条直角边为直径，分别作两个半圆，求阴影部分的面积。

（单位：

，）

3.

下图4-3是一个等腰直角三角形，直角边长2cm，图中阴影面积为多少平方厘米？

限时考场模拟：

（20分钟）

1.

[单选题]（2021年大联考题）如图10，一个三角形的三个顶点分别是三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影的面积是（）

A.π平方厘米B.9π平方厘米C.4.5π平方厘米D.3π平方厘米

2.（2021年天河省实考题）已知图11中直角三角形面积是50平方厘米，求圆的面积。

3.

（2021年中大附中考题）已知如图12所示，正方形ABCD的边长为6，以AB为直径作半圆，以点A为圆心，AD为半径画弧，那么图中阴影部分的面积为（）（π取3.14）

4.（2010年中大附中考题）如图13，长方形ABCD的AB=12厘米，BC=8厘米，求阴影部分的面积。

5.

（2021年南武实验考题）如图14，等腰直角三角形ABC的面积是8平方厘米，求阴影部分的面积。

6.

（2021年广东华附奥校考题）如图15，在长方形ABCD中，M是CD的中点，DN是以点A为圆心的一段弧，KN是以点B为圆心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米。

则图中阴影部分的面积是（）平方厘米。

（π取3.14）

7.（2021年广东华附奥校考题）如图16，AB是半圆O的直径，AB=4厘米，四边形OPQR是边长为1厘米的正方形，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米。

（π取3.14）

课后作业

1.观察下图5，求阴影部分的面积。

2.下图6中，圆的半径为3厘米，长方形的面积等于圆的面积。

求阴影部分的面积。

3.

下图7正方形的边长为20厘米，求阴影部分面积。

4.

如图8，各线段长已经给出，求图中阴影部分的面积。

5.下图9中，圆的直径为5厘米，求它的阴影面积

6.图17中，求图中阴影部分的面积。

（单位米）

7.

求下图18中阴影部分的面积。

（单位：

分米）

8.

（2021年白云第二外国语学校小升初听说面试题目）如图19所示，圆形面积为18.84平方厘米，圆形内最大的正方形的面积为为多少？

9.

在图20中，正方形的面积（阴影部分）是8平方米，求圆面积。

10.如图21，已知圆内正方形的面积是20平方厘米，求圆外接正方形的面积？

11.

如图22，三个直径相等的圆，求阴影部分的面积与一个圆的面积之比。

12.

求图23中阴影部分的面积（单位：

厘米）。

13.如图24，已知圆的面积是9.42平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

14.正方形边长4cm，求图25中的阴影面积是多少平方厘米？

1、你觉得还有这些扇形和圆的组合面积的问题你都弄明白了吗？

将本堂课错题本中的练习再做一遍，如仍有不明白的提出来，直到弄懂为止。

2、平时有没有遇到其他类型的组合面积问题是老师这节课没有讲到的，记下来，下节课我们一起解决。

课首小测

1.28.26m2

解析:

S=πr2=3.14×32=28.26m22.31.4m2

解析:

S=π（d÷2）2=3.14×（20÷2）2=314m23.31.4m2

解析:

S=π（c÷π÷2）2=3.14×（25.12÷3.14÷2）2=3.14×16=50.24m24.31.4m2

解析:

S=πr2=×3.14×42=×3.14×16=12.56m2

导学一例题

1.46厘米

解析:

半圆面积（60÷2）2×3.14÷2=1413（平方厘米），三角形面积1413-33=1380（平方厘米）1380×2÷60=46（厘米）

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1.1.57平方厘米

解析:

长方形ABO1O的面积可以分为两部分去看，左边是圆，右边是上面的阴影面积加右边空白部分面积。

因为两部分

阴影面积相等，通过代换，不难发现右边部分面积也是圆。

即长方形ABO1O的面积为两个圆组成。

（+）×3.14×1×1=1.57（平方厘米）2.75平方厘米

解析:

右半部分阴影面积与左半部分阴影面积的差即是求三角形面积与半圆面积的差。

三角形面积10×10÷2=50（平方厘

米）；半圆面积×3.14×5×5=39.25（平方厘米）；50-39.25=10.75（平方厘米）3.100.48平方厘米

解析:

用代换法，甲的面积-乙的面积即为大圆面积-小圆面积

大圆半径为3×2=6厘米；6×6×3.14-2×2×3.14=100.48（平方厘米）

导学二

知识点讲解1：

把R2看成一个整体

例题

1.62.8平方分米

解析:

通过观察，可以发现大正方形的边长就是大圆的半径，小正方形的边长就是小圆的半径，根据阴影部分的面积：

S=

R2-r2=20，所以环形的面积S=π（R2-r2）=3.14×20=62.8（平方分米）

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1.25.12平方米

解析:

通过观察，可以发现正方形的边长就是圆的半径，根据正方形的面积公式：

S=a2即r2=8。

圆的面积S=πr2=3.14×8=25.12（平方米）

2.7平方米

解析:

通过观察，可以发现三角形的底就是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积公式：

S=×2r×r=r2=5,所以圆的面积S=πr2=3.14×5=15.7（平方米）

3.43.96平方米

解析:

通过观察，可以发现三角形的底和高都是圆的半径，根据三角形的面积公式：

S=×r×r=r2=7，r2=14，所以圆的面积S=πr2=3.14×14=43.96（平方米）

知识点讲解2：

从局部到整体，从整体到局部，牢记公式，巧妙应用。

例题

1.5平方厘米

解析:

半圆S1的半径的平方：

14.13×2÷3.14=9（平方厘米），半径=3厘米

直径=6厘米；圆S2的半径的平方=19.625÷3.14=6.25（平方厘米），半径=2.5厘米，直径=5厘米阴影面积=（6-5）×5=5（平方厘米）

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1.10平方厘米

解析:

5.7×8=r2-2r×2r÷2=（3.14-2）r2=1.14r2,所以r2=40平方厘米。

正方形面积=2r×2r÷2=2r2=80平方厘米。

所以S△ABC=80÷8=10平方厘米2.7平方厘米

解析:

如图3-4：

将三个阴影称为A、B、C，可以发现，大圆就是由四个A、四个B、四个C组成的，即阴影部分的面积等于大圆面积的四分之一，大圆半径是小圆半径的2倍，其面积是小圆面积的4倍，即28平方厘米，从而阴影部分面积为7平方厘米．设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米，

小圆的面积：

πr2=7（平方厘米），

大圆的面积：

π（2r）2=4πr2=4×7=28（平方厘米）阴影面积：

28×=7（平方厘米）

3.50.24平方厘米

解析:

正方形及小圆同时顺时针旋转90度，阴影面积组合成两个圆环。

正方形的面积=2r×2r=2R×2R÷2。

整理得到

R2=2r2=8×8=64（平方厘米），所以r2=32（平方厘米）。

阴影面积=×π（R2-r2）=16π=50.24（平方厘米）

导学三

知识点讲解1：

例题

1.16.82平方厘米

解析:

这道题可以利用容斥原理来解答，因为扇形ABE和扇形ADF的重叠部分为阴影的上部分，所以它们的和相当于就是在长方形的基础上多出了阴影部分；因此阴影部分的面积等于扇形ABE和扇形ADF的面积之和减去长方形ABCD的面积。

即：

S阴影=S扇形ABE+S扇形ADF-S长方形ABCD

1212

=4×π×6

我爱展示

1.28.5平方厘米

+4×π×4

-6×4=16.82（平方厘米）

解析:

半圆ADB和扇形ACE的重叠部分为阴影的右上部分，所以它们的和相当于就是等腰直角三角形ABC的基础上多出了阴影部分；因此阴影部分的面积等于半圆ADB和扇形ACE的面积之和减去等腰直角三角形ABC的面积。

即：

S阴影=S半圆ADB+S扇形ACE-S△ABC

=×π×（10÷2）2+×π×102-×10×10=28.5（平方厘米）

2.10.26平方厘米

解析:

两个半圆的图中两个半圆的重叠部分为阴影的左下部分，所以它们的和相当于就是等腰直角三角形ABC的基础上多出了阴影部分；因此阴影部分的面积等于一个圆减去等腰直角三角形的面积。

即：

S阴影=S圆-S△=π×（6÷2）2-6×6÷2=10.26（平方厘米）3.1.14平方厘米

解析:

图中阴影部分面积为两个圆心角为的扇形面积减去等腰直角三角形的面积。

即

（平方厘米）

限时考场模拟

1.C

解析:

运用割补法阴影转化成能直接用公式求的平面图形的面积半圆。

2.100π平方厘米

解析:

设半径为x，根据三角形面积公式得：

x2=50，求得x2=100，则圆的面积为100π平方厘米3.14.13

解析:

根据题意有S阴影=S扇形BAD-S半圆BA，然后根据扇形的面积公式：

S扇形BAD=和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积。

S扇形BAD=π62×=9π；S半圆BA=π（6÷2）2×=4.5π所以S阴影=9π-4.5π=4.5π=14.13

4.67.28平方厘米

解析:

大扇形面积加小扇形面积减去长方形面积。

5.4.56平方厘米

解析:

根据容斥原理，扇形面积加半圆面积减去三角形ABC的面积6.3.545

解析:

用长方形的面积分别减去两个扇形的面积与一个三角形的面积。

7.2.14

解析:

如下图16-1，把阴影面积剪成两部分，把图2部分剪到图1空白处。

这样用四分之一圆的面积减去一个边长为1厘米的正方形的面积就是阴影部分的面积。

课后作业

1.16.485平方厘米

解析:

大半圆面积加上小半圆面积减去中半圆面积。

2.21.195平方厘米

解析:

因为长方形面积等于圆的面积，阴影部分的面积等于长方形面积减去四分之一圆的面积。

即求四分之三圆的面积。

3.200平方厘米

解析:

用切割法把正方形平均分为上下两部分，把下阴影部分替补到上面空白处，组合所得图形正好为长方形。

4.4.56平方厘米

解析:

如上图①把图中阴影左下部分平均分为两部分，再如图②将两部分阴影面积替补到右上方即可求得阴影面积。

即圆的面积-三角形AOB面积。

5.13.375平方厘米

解析:

图中扇形和圆的重叠部分为图中空白部分，因此阴影面积等于扇形面积加圆面积减去半圆面积及三角形面积。

即：

×π×52-5×÷2=13.375（平方厘米）

6.24平方米

解析:

梯形面积减去三角形面积7.1.14平方分米

解析:

圆面积减去正方形面积，正方形面积用对角线求得8.12平方厘米

解析:

正方形面积等于2r2。

9.25.12平方米

解析:

正方形面积等于r2=8，根据圆的面积公式πr2=3.14×8=25.12（平方米）10.40平方厘米

解析:

正方形面积等于2r2=20，r2=10。

大正方形的面积为2r×2r=4r2==40（平方厘米）11.1:

2

解析:

由于三角形的内角和为180度，三个圆的直径相等，所以阴影部分的面积可拼接为一个半圆。

所以阴影部分的面积与一个圆的面积之比为1:

2。

12.28.26平方厘米

解析:

把正方形外的阴影部分剪切后拼接到正方形右上方空白处，则阴影部分面积即为四分之一圆的面积。

13.1.5平方厘米

解析:

三角形的面积公式等于r2=×（9.42÷3.14）2=1.5（平方厘米）14.8平方厘米

解析:

将阴影右下部分面积平均分为两部分，并分别替补到半圆的另一边，则阴影部分面积为正方形的一半。