二次函数性质的再研究学生教案.docx
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二次函数性质的再研究学生教案
1对1个性化辅导教案
教师姓名
傅老师
上课日期
学生姓名
年级
高一
学科
数学
课题
4.1 二次函数的图像
二次函数图像间的变换
(1)y=x2与y=ax2(a≠0)图像间的变换:
二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由y=x2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到.
(2)y=ax2与y=a(x+h)2+k(a≠0)图像间的变换:
函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像可由函数y=ax2(a≠0)的图像变换得到.其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向;h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
(3)y=ax2与y=ax2+bx+c(a≠0)图像间的变换.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+h)2+k,从而知道,由y=ax2的图像如何平移得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像.
[小问题·大思维]
1.二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么?
提示:
顶点坐标为(-h,k),对称轴是x=-h.
2.二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响?
提示:
当a>0时,图像开口向上,a值越大,开口越小;
当a<0时,图像开口向下,a值越大,开口越大.
3.二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,h,k对函数图像的变换有何影响?
提示:
h决定了二次函数图像的左、右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图像的上、下平移,而且“k正上移,k负下移”.
[研一题]
[例1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像.
(1)y=x2;
(2)y=x2-2; (3)y=2x2-4x.
本例中如何把y=2x2-4x的图像变换成y=x2的图像?
[悟一法]
二次函数图像的作法
(1)描点法:
在利用描点法时,通过配方直接选出关键点,即顶点.再依据对称性选点,可减少选点的盲目性.二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用,作图时应关注这些几何要素.
(2)图像变换法:
所有二次函数的图像均可以由函数f(x)=x2的图像经过变换得到.变换前,先将二次函数的解析式化为顶点式后,再确定变换的步骤.
[通一类]
1.画出y=
x2-6x+21的图像,并说明由y=x2的图像如何变换得到y=
x2-6x+21的图像?
[研一题]
[例2]
(1)已知一个二次函数y=f(x),f(0)=3,又知当x=-3和x=-5时,函数的值为零,求这个二次函数的解析式;
(2)已知二次函数f(x)图像的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求二次函数f(x)的解析式.
[悟一法]
求二次函数解析式一般利用待定系数法,但应根据已知条件的特点,灵活选用解析式的形式,一般规律:
(1)已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组求解.
(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常设函数解析式为顶点式,y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,通常设函数解析式为两根式,y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,a≠0).
[通一类]
2.已知二次函数y=f(x)分别满足下列条件,
(1)图像过A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点;
(2)图像顶点是(-2,3),且过点(-1,5).
求对应函数的解析式.
若方程x2-2x-3=a有两个不相等的实数解,求实数a的取值范围.
1.二次函数y=x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图像的二次函数是( )
A.y=x2+2 B.y=2x2C.y=
x2D.y=x2-2
2.y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.已知抛物线与x轴交于点(-1,0),(1,0),并且与y轴交于点(0,1),则抛物线的解析式为( )
A.y=-x2+1B.y=x2+1C.y=-x2-1D.y=x2-1
4.将函数y=2(x+1)2-2向______平移______个单位,再向______平移______个单位可得到函数y=2x2的图像.
5.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(-1,0)、(3,0),其形状与抛物线y=-2x2相同,则y=ax2+bx+c的解析式为________________.
6.对于二次函数y=-x2+4x+3,
(1)指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标.
(2)说明其图像是由y=-x2的图像经过怎样的平移得来.
一、选择题
1.如何平移抛物线y=2x2可得到抛物线y=2(x-4)2-1( )
A.向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B.向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C.向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移4个单位,再向下平移1个单位
2.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( )
3.(2012·山东高考)设函数f(x)=
,g(x)=-x2+bx,若y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( )
A.x1+x2>0,y1+y2>0B.x1+x2>0,y1+y2<0
C.x1+x2<0,y1+y2>0D.x1+x2<0,y1+y2<0
4.设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一,则a的值为( )
A.1B.-1
C.
D.
二、填空题
5.将抛物线y=-x2+2x-1向左平移1个单位后,得到的解析式是________.
6.函数y=x2+m的图像向下平移2个单位,得到函数y=x2-1的图像,则实数m=______.
7.已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1,-2),且过点(2,4),则f(x)=________.
8.已知方程x2-4|x|+5=m有四个全不相等的实根,则实数m的取值范围是________.
三、解答题
9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0)且x
+x
=
,试问该抛物线是由y=-3(x-1)2的图像向上平移几个单位得到的?
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与y=-
x2+2x+3的形状相同,开口方向相反,与直线y=x-2的交点坐标为(1,n)和(m,1),求这个二次函数的解析式.
4.2 二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质:
a的符号
性质
a>0
a<0
图像开口方向
向上
向下
单调区间
递增区间为[-
,+∞);
递减区间为(-∞,-
]
递增区间为(-∞,-
];
递减区间为[-
,+∞)
最值
ymin=
,无最大值
ymax=
无最小值
对称轴
x=-
顶点坐标
(-
,
)
注:
记ymax、ymin分别表示函数y=f(x)的最大值、最小值.
[小问题·大思维]
1.二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗?
提示:
y=ax2+bx+c(a≠0),在其对称轴的两侧单调性一定相反,可以借助于二次函数的图像进行说明.
2.二次函数的最值一定在顶点取得吗?
提示:
不一定,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当x∈R时可以,但当x属于某局部闭区间时,不一定.
3.对二次函数y=f(x),若满足f(a+x)=f(a-x)(a≠0),则其对称轴方程是什么?
提示:
x=a.
[研一题]
[例1] 已知函数f(x)=
x2-3x-
.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴,并指出它的单调区间;
(2)已知f(
)=-
,不计算函数值,试求f(
);
(3)不直接计算函数值,比较f(-
)与f(-
)的大小.
[悟一法]
(1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法,一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式:
y=a(x+h)2+k,进而确定顶点坐标为(-h,k),对称轴为x=-h等其它性质.
(2)比较两函数值大小,可以先比较两点离对称轴的距离大小,然后结合二次函数的开口方向,从而得到它们的大小关系,也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上,利用函数的单调性比较它们的大小.
[通一类]
1.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,求f
(1)的取值范围.
[研一题]
[例2] 已知二次函数f(x)=x2-2x+3,
(1)当x∈[-2,0]时,求f(x)的最值;
(2)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值;
(3)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
[悟一法]
(1)二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解有以下三种情况:
①对称轴与区间[m,n]都是确定的;
②动轴定区间,即对称轴不确定,区间[m,n]是确定的;
③定轴动区间,即对称轴是确定的,区间[m,n]不确定.
对于以上三种情况,①采用数形结合,较易解决;②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解,分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类.
(2)求函数的值域应注意函数的定义域,可直接根据函数的单调性求解,也可先求其最大(小)值,再由最大(小)值确定.
[通一类]
2.已知函数f(x)=x2-(2a-4)x+2在[-1,1]内的最小值为g(a),求g(a)的解析式.
[研一题]
[例3] 渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并求出定义域;
(2)求鱼群的年增长量的最大值;
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k所应满足的条件.
[悟一法]
二次函数模型是一种常见的函数应用模型,是高考的重点和热点.解题关键是列出二次函数解析式,即建立函数模型,转化为求二次函数的最值问题.
[通一类]
3.某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅游公司将客房日租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?
已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
1.函数f(x)=4-x(x-2)的顶点坐标和对称轴方程分别是( )
A.(2,4),x=2 B.(1,5),x=1C.(5,1),x=1D.(1,5),x=5
2.二次函数y=a2x2-4x+1有最小值-1,则a的值为( )
A.
B.-
C.±
D.±2
3.已知二次函数y=f(x)在区间(-∞,5]上单调递减,在区间[5,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是( )
A.f(-2) C.f(6) 4.函数y=-x2+4x的单调递增区间是________. 5.函数y=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是________,最小值是________. 6.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使函数y=f(x)在[-5,5]上是单调函数. 一、选择题 1.下列区间中,使函数y=-2x2+x是增函数的是( ) A.R B.[2,+∞)C.[ ,+∞)D.(-∞, ] 2.如果函数y=4x2-kx-8在[5,20]上是单调函数,则实数k的取值范围为( ) A.k≤40B.k≥160C.40 3.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[- ,-4],则m的取值范围是( ) A.(0,4]B.[ ,4]C.[ ,3]D.[ ,+∞) 4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位: 万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位: 辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606万元B.45.56万元C.45.6万元D.45.51万元 二、填空题 5.设函数f(x)=4x2-(a+1)x+5在[-1,+∞)上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数,则f(-1)=________. 6.已知二次函数f(x)=(x+a)(bx+a)(常数a,b∈R)的图像关于y轴对称,其值域为(-∞,4],则a=________,b=________. 7.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为________. 8.已知关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对于x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________. 三、解答题 9.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1),且满足f(-2+x)=f(-2-x)(x∈R). (1)求该二次函数的解析式; (2)已知函数在(t-1,+∞)上为增加的,求实数t的取值范围. 10.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图. (注: 年产量与销售量的单位: 百台,纯收益的单位: 万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元) (1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R=f(t); (2)认定销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与年产量的函数关系式,并求年产量是多少时,纯收益最大. 旭光教育师生1对1 课后反馈
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