创新方案高考数学一轮复习第七篇不等式第2讲一元二次不等式及其解法教案理新人教版.docx
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创新方案高考数学一轮复习第七篇不等式第2讲一元二次不等式及其解法教案理新人教版
第2讲一元二次不等式及其解法
【2020年高考会这样考】
1会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.
2•考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.
3•以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.
【复习指导】
1结合“三个二次”之间的联系,掌握一元二次不等式的解法.
2.熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法.
*jKACUIZIZHUDA0KUE
D1・考基自主导学
基础梳理
1•一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或
2
ax+bx+cv0(a>0).
(2)求出相应的一元二次方程的根.
⑶利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
2•一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
如下表:
判别式
A=b2—4ac
A>0
A=0
Av0
2
二次函数y=ax+bx
+c(a>0)的图象
\l/
->r
~0
~~x
一兀二次方程ax+
bx+c=0(a>0)的
根
有两相异实根
Xi,x2(XiVX2)
有两相等实根
b
X1=X2一亦
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>
0)的解集
{x|x>X2或xvXi}
b
x|x—区
R
ax2+bx+cv0(a>
0)的解集
{x|XivXvX2}
?
?
一个技巧
一元.二次不等.式…一ax2士.bx土cv0(a.艺0).的解集的确定受.…a.的符号、…b2.二4ac.的符号的影响,…且
2
与相应的二次.函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数……...…y亍.ax土b>x+c(a予o)的图象,数形结合求得不等式的解集:
.一若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化內ax2
+bx+c>0(或v0)(其中a>0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根xi,X2,(xivx2)(此时,A=b2-4ac>0),则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集:
两个防范
(1)二次项系数.中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集.;不要忘了二次项系数是否为
零的情况
(2).•解含参数.的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;…若不能因式分解,.则可对判别式进行分类讨论.,分类要不重不漏:
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)不等式x2-3x+2v0的解集为().
2
解析•/2x—x—1=(x—1)(2x+1)>0,
1
ax>1或xv—-.
1
故原不等式的解集为—s,—-U(1,+s).
答案D
3.不等式9x2+6x+1W0的解集是().
B.
D.R
1
A.x|x―3
11
C.x|— 133 22 解析•/9x+6x+1=(3x+1)>0, 21a9x+6x+K0的解集为x|x=—3. 答案B 4.(2020•许昌模拟)若不等式ax2+bx—2v0的解集为x|—2vxv1,贝Uab= (). A.—28B.—26C.28D.26 a=4,b=7.二ab=28. 答案C 5.不等式ax2+2ax+1>0对一切x€R恒成立,则实数a的取值范围为 解析当a=0时,不等式为1>0恒成立; a>0,a>0, 当a^0时,须即2 A<0,4a—4a<0. 0vaw1,综上0waw1. 答案[0,1] KAOKIANGTAhJJlUDAOXl八.****m"**ir””-・— 考向探究导析踊析垂乳杓娶確 考向一一元二次不等式的解法 2 x+2x,x>0, 【例1】? 已知函数f(x)=2解不等式f(x)>3. —x+2x,xv0, [审题视点]对x分x>0、xv0进行讨论从而把f(x)>3变成两个不等式组. x>0,xv0, 解由题意知2或2解得: x>1. x+2x>3—x+2x>3, 故原不等式的解集为{x|x>1}. q丄】芒解一元二次不等式的一般步骤是: (1)化为标准形式; (2)确定判别式A的符号; (3)若A>0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Av0,则对应的二次方程无根;(4) 结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能 分解因式,则可立即写出不等式的解集. 【训练1】函数f(x)=寸2x2+x—3+log3(3+2x—x2)的定义域为. 2 2x+x—3》0, 解析依题意知2 3+2x—x>0, xW-3或x>1,解得2 —1vxv3. •••1wxv3. 故函数f(x)的定义域为[1,3). 答案[1,3) 考向二含参数的一元二次不等式的解法 【例2】? 求不等式12x2—ax>a2(a€R)的解集. [审题视点]先求方程12x2—ax=a2的根,讨论根的大小,确定不等式的解集 解■/12x2—ax>a2,「.12x2—ax—a2>0, 即(4x+a)(3x—a)>0,令(4x+a)(3x—a)=0, aa 得: x1—4,x2=3 aaa,a 1a>0时,—;v,解集为x|xv—-或x> 4343 2a=0时,x2>0,解集为{x|x€R且x丰0}; aaa,a 3av0时,—4>3,解集为x|xv3或x>—4. a亠a 综上所述: 当a>0时,不等式的解集为x|xv—4或x>3; 当a=0时,不等式的解集为{x|x€R且x工0}; aa 当av0时,不等式的解集为x|xv3或x>—4. I»解含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式A与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定 解集形式. 【训练2】解关于x的不等式(1—ax)2v1. 222 解由(1—ax)v1,得ax—2axv0,即卩ax(ax—2)v0, 当a=0时,x€? . 22 当a>0时,由ax(ax—2)v0,得axx—_v0, a 即0vxv. a 当av0时,-vxv0. a 综上所述: 当a=0时,不等式解集为空集;当a>0时,不等式解集为x0vxv-;当 a 2 av0时,不等式解集为xavxv0. a a>0, A=b2—4acv0. 故a的取值范围是 >0;当azo时, 所以a>2. (或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c (2,+^). ax2+bx+c>0的解是全体实数 a>0,不等式ax2+bx+cv0的解是全体实数(或恒成立)的条件是Av0; av0, 当a=0时,b=0,cv0;当azo时, Av0. 【训练3】已知f(x)=x—2ax+2(a€R),当x€[—1,+^)时,f(x)>a恒成立,求a 的取值范围. 解法一f(x)=(x—a)2+2—a2,此二次函数图象的对称轴为x=a. 1当a€(—a,—1)时,f(x)在[—1,+^)上单调递增, f(x)min=f(—1)=2a+3.要使f(x)>a恒成立, 只需f(x)min>a, 即2a+3>a,解得—3 2当a€[—1,+a)时,f(x)min=f(a)=2—a2, 由2—a》a,解得一1waw1. 综上所述,所求a的取值范围为[—3,1]. 法二令g(x)=x2—2ax+2—a,由已知,得x2—2ax+2—a》0在[—1,+^)上恒成立, A>0, 2 即A=4a—4(2—a)wo或av—1, g—1>0. 解得—3waw1. 所求a的取值范围是[— 3,1]. KAOTlZMUANKIANQTUPC— Q3"*题吉项突破琴即層灵若肺畤 规范解答12――怎样求解含参数不等式的恒成立问题 【问题研究】含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐,且由于新课标对导 数应用的加强,这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起,在近年的高考试题中不 难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题,破解的方法主要有: 分离参数法和函数性质法. 【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值 问题. 【示例】? (本题满分14分)(2020•浙江)设函数f(x)=(x—a)2lnx,a€R. (1)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a; ⑵求实数a的取值范围,使得对任意的x€(0,3e],恒有f(x)w4e2成立. 注: e为自然对数的底数. 4「沙本题对于 (1)问的解答要注意对于结果的检验,因为f'(Xo)=0,Xo不一定是极 值点;对于 (2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破,这样问题就转化为单边求最值,相对分类讨论求解要简单的多. 2 x—aa [解答示范] (1)求导得f'(x)=2(x—a)lnx+-=(x—a)(2lnx+1—-).(2分) x— a 因为x=e是f(x)的极值点,所以f'(e)=(e—a)3—e=0,解得a=e或a=3e.经检验, 符合题意,所以a=e或a=3e.(4分) ⑵①当0vxwi时,对于任意的实数a,恒有f(x)w0v4e2成立.(5分) ②当1vxw3e时,由题意,首先有f(3e)=(3e—a)2ln(3e)w4e2, 解得3e— 2e ]ln3e waw3e+ 2e In3e (6分) 由 (1)知f'(x)=x—a2ln a x+1—x.(8分) a 令h(x)=2lnx+1—-,则 x 且h(3e)=2ln(3e)+1—2ln(3e)+1 2e 3e+ \3e1 =2ln3e—>0.(9 3e^/ln3Tk 又h(x)在(0,)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+m)内有唯一零点,记此零点为 Xo, 则1vxov3e,1vxova. 从而,当X€(0,Xo)时,f'(X)>0;当x€(Xo,a)时,f'(x)v0;当X€(a,)时,f'(x) >0.即f(x)在(0,X0)内单调递增,在(X0,a)内单调递减,在(a,+^)内单调递增.所以要使f(x)w4e2对x€(1,3e]恒成立,只要 fX0 f3e 22 X0—alnX0w4e,1 22成立.(11分) 3e—aIn3ew4e,2 a八 由h(X0)=2lnX0+1—=0,知a=2x0lnX0+X0.(3) X0 将⑶代入 (1)得4x0ln3xoW4e2.又xo>1,注意到函数x2ln3x在(1,+^)内单调递增,故1 vxoWe. 再由⑶以及函数2xlnx+x在(1,+s)内单调递增,可得1vaw3e. 由⑵解得,3e—=2ewaw3e+ 寸In3epin3e 所以3e—=waw3e.(13分)yln3e 2e 综上,a的取值范围为3e—"waw3e.(14分). 寸In3e 卫「二巴"本题考查函数极值的概念,导数的运算法则,导数的应用,不等式的基础知识, 考查学生推理论证能力•分析问题,解决问题的能力•难度较大,做好此类题目,一要有信 心,二要结合题意进行恰当地转化,化难为易,化陌生为熟悉. 【试一试】设函数f(x)=ax3—3x+1,若对于任意x€[—1,1],都有f(x)>0成立,求实 数a的值. [尝试解答] (1)若x=0,则不论a取何值,f(x)=1>0恒成立. 3131 ⑵若x>0,即x€(0,1]时,f(x)=ax3—3x+1>0可化为a>-2—飞.设g(x)=二一飞,则 XXXX g'(x)=31—42x, =4,从而a>4. •••g(x)在区间0,1上单调递增,在区间2,1上单调递减.•••g(x)ma尸g1 (3)若xv0,即卩x€[—1,0)时, 3 f(x)=ax—3x+1>0可化为 设h(x)=I 13 亍,则h'(x)=- 1—2x 4 x •h(x)在[—1,0)上单调递增. •h(X)min=h(—1)=4,从而a<4. 综上所述,实数a的值为4.
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- 创新 方案 高考 数学 一轮 复习 第七 不等式 一元 二次 及其 解法 教案 新人