四升五年级奥数教案.docx

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四升五年级奥数教案

第一讲探寻规律解决问题

·知识引领·

探寻给定事物中隐含的规律，在分析、猜想、归纳中寻求最佳的解决问题的策略．

·经典题例·

例1如下表，表格中的数是按一定规律排列的，按此规律在空格处填上相应的数．

5

7

11

19

35

解析观察规律得

5×2－3＝7，7×2－3＝11，11×2－3＝19，19×2―3＝35，…，

得出规律为an＋1＝2an―3，这样空格处的数应为35×2－3＝67，67×2－3＝131．

例2如图，填在图中三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，填出B、C，然后确定A，那么A是几

解析观察前面两个正方形内有3个连续的自然数，那么第三个正方形也有这样的规律，所以，B＝4，C＝5．

又发现前面两个正方形内左上角的数是右下角的数乘以另两数和的积，则A＝5×（3＋4）＝35．

例3计算：

2000＋1999―1998―1997＋1996＋1995―1994―1993＋…＋8＋7―6―5＋4＋3―2―1

解析算式中共有2000个数相加减，规律是两加两减，根据算式和数的特征，正好把这2000年数按照每4个数（两加两减）分为一组，共可分为2000÷4＝500（组），每组的得数都是4，所以，原式的结果为500个4之和．

例4自然数1，2，3，4，…排成下面的数阵：

第一行1234

第二行3456

第三行5678

第四行78910

……

那么48排在数阵的第几行左起第几个位置

解析观察这个数阵中的排列规律知：

①每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍；

②每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的；

③除2以外，其他偶数出现2次．

那么48会在2个位置出现，由48÷2＝24，即48可能在24行左起第2个位置，也可能在第23行左起第4个位置．

例5如图，按照图中排列的规律，问：

第11行最左边的数是几

解析观察图中排列的规律，得出：

每一行最右边的是一个平方数，恰好是行数×行数．第10行最右边数是10×10＝100．因此，第11行最左边的数是100＋1＝101．

·应用与探究·

１．24，21，18，15，（12），（9）．

２．2，17，4，14，6，11，（8），（8）．

３．下面方格内都有一个数字，并且相邻两格内的数相加，和都是14，这八个数的和是多少第四个方格内应该填的数字是几（8×4＋6×4＝56）

8

6

8

6

8

6

8

6

4．细菌第一个小时繁殖2个细菌，第二个小时繁殖3个细菌，第三个小时繁殖6个细菌，第四个小时繁殖7个细菌，第五个小时繁殖14个细菌，则第六个小时繁殖多少个细菌

（15个）

５．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：

2，6，18，54，（162）

６．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：

4，6，10，18，（34）

７．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：

1，6，5，10，9，14，（13），（18）

８．●●★●●★●●★……第99个图案是什么（★）

9．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：

１０．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：

１１．以下是一组按特定规律排列的数列：

1，1，2，1，1，2，3，2，1，1，2，3，4，3，2，1，……

由左至右第100个数是几

（1）

解：

1＋3＋……＋17＋19＝100

１２．如图，一次智力测验，主持人亮出四块长方形牌子，在牌子④中，空白处表示的数应是多少

①②③④

１３．有一串数：

1，2，4，7，11，16，…，它的规律是：

由1开始，加1，加2，加3，…，依次逐个产生这串数，直到产生第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余1的数有多少个（33个）

解：

50÷3＝16……2,16×2＋1＝33（个）

14．小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有5个没有破，经过两分半钟肥皂泡全部破了，小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个

解:

100＋50＋5＝155（个）

第二讲速算与巧算

·知识引领·

在平时的计算过程中，我们可以通过寻求运用定律和性质，进行简算或巧算．而速算与巧算需掌握的常用方法有：

分解或合并，利用特殊数，添括号或去括号等等．

·经典题例·

例1计算：

25×96×125

解析在计算乘、除法时，我们通常可以运用2×5、4×25、8×125来进行巧妙的计算．

原式＝25×4×3×8×125

＝（25×4）×3×（8×125）

＝100×3×1000

＝300000

例2计算：

1234＋3142＋4321＋2413

解析数字1，2，3，4在个位、十位、百位、千位上均各出现一次．

原式＝1111＋2222＋3333＋4444

＝1111×（1＋2＋3＋4）

＝1111×10

＝11110

例3计算：

214×670＋7860×67

解析本题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变”的规律求解．

解法一原式＝2140×67＋7860×67解法二原式＝214×670＋786×670

＝（2140＋7860）×67＝（214＋786）×670

＝1000×670＝10000×67

＝670000＝670000

例4用简便方法计算：

99999×77778＋33333×66666

解析33333×66666＝33333×3×22222＝99999×22222

原式＝99999×77778＋33333×3×22222

＝99999×（77778＋22222）

＝99999×100000

例5计算：

3÷（5÷7）÷（7÷11）÷（11÷15）

解析观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数，根据运算性质a÷（b÷c）＝a÷b×c,计算时可以消去括号．

原式＝3÷5×7÷7×11÷11×15

＝3÷5×15

＝3×15÷5

＝9

例6从1起，把奇数依次加起来，1＋3＋5＋7＋9＋…一直加到第100个奇数，和是多少

解析你能从下图中找到巧妙的计算方法吗

1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝25

因为1＋3＝2×2，1＋3＋5＝3×3，1＋3＋5＋7＝4×4，…

所以100个连续奇数的和得100×100＝10000

解法一第100个奇数是2×100－1＝199

1＋3＋5＋7＋…＋199＝100×100＝10000

解法二原式＝（1＋199）×100÷2＝10000

·应用与探究·

１．（2002＋2002）×5（20020）

２．4500÷（25×90）

（2）

３．1＋（11×111）－1111（111）

４．2－4＋6－8＋10－12＋…＋1998－2000＋2002（1002）

５．2＋22＋222＋2222＋22222（24690）

６．33333×666

７．1440×572÷288（2860）

８．327×280＋6730×28（280000）

９．8÷7＋9÷7＋11÷7（4）

１０．2999＋999×9999（9992000）

１１．1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＋101（51）

１２．（48×75×81）÷（24×25×27）（18）

１３．1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）（3）

第三讲应用题解法探索（假设法）

·知识引领·

利用题目已知条件与所求目标，分析、收集、整理题目中已有信息，探索假设某种数量关系的存在，寻求解决问题的突破口．

·经典题例·

例1有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块

解析假设任意三袋糖块的数量分别为20块、20块、21块，那么另一袋至少也有21块．因为另一袋若小于21块，那么任意三袋的和就不能超过60块．因此，这四袋糖块的总和至少有20＋20＋21＋21＝82（块）．

答：

这四袋糖块的总和至少有82块．

例2小宇去游山，他从东坡上山，每小时行2千米，到山顶玩1小时，又从西坡下山，每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时．求上山、下山的路各几千米

解析由于小宇在山顶上玩1小时，所以他上、下山的时间共8小时．假设8小时都是上山，走了2×8＝16（千米），比实际少（19－16）＝3（千米）．因此，下山走3÷（3－2）＝3（小时），下山路有3×3＝9（千米），上山路有19－9＝10（千米）．

答：

上山路有9千米，下山路有10千米．

例3某次数学竞赛共20道题，评分标准是：

每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小刚参加了这次竞赛，得了82分．问：

小刚做对了几道题

解析做错或不做一题应少得5＋1＝6（分）．假设20道题全做对了，应得5×20＝100（分），比实际多了（100－82）＝18（分），做错了18÷6＝3（道），做对了（20－3）＝17（道）．

答：

小刚做对了17道题．

例4箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里还剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少只

解析假如每次取的红球是白球的3倍：

3×7＝21（只），那么剩下的红球应是剩下白球的3倍多2，即3×3＋2＝11（只），比现在少53―11＝42（只），这是由于每次多取21―15＝6（只）红球，所以共取了42÷6＝7（次），红球比白球多（15－7）×7＋53－3＝106（只）

答：

箱子里原有红球比白球多106只．

例5抗日战争期间，一支敌后武工队为了更灵活有效地打击敌人，把68人分成了14个战斗小组，这些小组有的3人，有的5人，有的7人，而3人和5人小组的组数相同．问：

三种战斗小组各有几组

解析由于3人组和5人组的组数相同，我们可以看成这些组里平均每组4人．这样我们就可以把分组情况分成两类：

4人组和7人组．4人组的组数为：

（7×14－68）÷（7－4）＝10（组）

于是，3人组与5人组各有10÷2＝5（组），7人组有14－10＝4（组）．

答：

3人组和5人组各有5组，7人组有4组．

·应用与探究·

１．从0~9这10个数字中选择合适的数字填入以下方框，使等式成立，被选取的数字不能重复使用．

□□□＋□□□＝666

（127＋539＝666，不止一个答案）

２．实验小学四年级某次数学竞赛共有20道题，规定：

答对1题得3分，答错1题扣1分，未答的题不计分．考试结束后，东东得了41分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是奇数个．请你帮助东东计算一下，他答错了几道题（4道）未答有几题（1道）

３．有一堆糖果，把它们5等分后还剩5颗，取其中的3份再4等分后还剩3颗，再取其中的2份5等分后还剩2颗．问：

这堆糖果至少有多少颗（50颗）

４．四

（1）班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，则飞行棋和象棋各有几副

解：

飞行棋：

（40－28）÷（4－2）＝6（副），象棋：

14－6＝8（副）．

5．暑期到了，四

（1）班同学可以从本班图书角借图书，如果每个小组借5本，则最后少4本；如果前2个小组每个小组借15本，余下每个小组借2本，这些图书恰好借完．则共有图书多少本

解：

[（15－2）×2＋4]÷（5－2）＝10（组），5×10－4＝46（本）．

６．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：

高、低年级学生各有多少人

解：

高年级：

[（41×3－100）÷（3－2）]×2＝46（人），低年级：

100－46＝54（人）．

７．甲、乙两人中有一个人来自真话村，另一个人来自谎话村，谎话村里的人从来不说真话，真话村里的人从来不说谎话．甲说：

“我们两人中至少有一个人在说谎．”谁来自真话村（甲）谁来自谎话村（乙）

８．四

（1）班的同学集体去公园划船，如果每条船坐10人，那么多出5个座位；如果每条船少坐1人，那么正好坐满．共需几条船

解：

5÷（10－9）＝5（条）

9．甲、乙、丙三人摘苹果，共摘121千克．甲比乙多摘12千克，丙比乙少摘8千克．甲、乙、丙三人各摘苹果多少千克

解：

乙：

（121－12＋8）÷3＝39（千克），甲：

39＋12＝51（千克），丙：

39－8＝31（千克）．

１０．小明和小英共有图书45本，小英比小明少3本．两人各有图书多少本

解：

小英：

（45－3）÷2＝21（本），小明：

45－21＝24（本）．

１１．实验小学录取一年级新生104人，分成甲、乙两个班，如果从甲班转2个学生到乙班，两班学生人数就一样．问：

甲、乙两班原有学生各多少人

解：

乙：

（104－2×2）÷2＝50（人），甲：

104－50＝54（人）．

12．一个书架分上、下两层，共放有图书34本．如果从上层取出8本图书放入下层，那么下层就比上层多2本．问：

原来上、下两层各有图书多少本

解：

8×2－2＝14（本），下层：

（34－14）÷2＝10（本），上层：

34－10＝24（本）．

13．实验小学四年级学生共植树108棵，一班比二班多植树11棵，三班比二班少植树5棵．这三个班各植树多少棵

解：

二班：

（108－11＋5）÷3＝34（棵），一班：

34＋11＝45（棵），三班：

34－5＝29（棵）．

第四讲应用题解法探索（平均法）

·知识引领·

在日常生活中，我们会经常遇见关于解决平均数的问题．这类问题的解决，一定要掌握涉及这类问题中的总数、份数和平均数三者之间的关系．

·经典题例·

例1实验小学有28位女教师，平均年龄35岁，有4位男教师，平均年龄27岁．这些教师平均年龄是多少岁

解析要求平均年龄，先要求出所有教师的年龄总和：

女教师的年龄和＋男教师的年龄和，再用年龄总和除以所有教师的人数．

（35×28＋27×4）÷（28＋4）＝34（岁）

答：

这些老师的平均年龄是34岁．

例2小云爬山，从山脚出发，上山路长18千米，每小时行3千米．到山顶后沿原路下山，每小时行6千米．问小云上山、下山的平均速度是多少

解析注意不可以用（上山速度＋下山速度）÷2，正确的平均速度应该等于总路程÷总时间．

总路＝18×2＝36（千米），总时间＝18÷3＋18÷6＝9（小时）

平均速度＝36÷9＝4（千米/小时）

答：

小云上山、下山的平均速度是4千米/小时．

例3某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：

张、王、李平均91分，

王、李、陈平均89分

张、陈平均95分．

问：

张得了多少分

解析先求出四个人的总分再减去其余三个人的总分，就是张的成绩．

四人的总成绩为［（91＋89）×3＋95×2］÷2＝365（分）

所以张的成绩为365－89×3＝98（分）

答：

张得了98分．

例4暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离做了记录．如果他在暑假最

后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米．如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米

解析因为平均每天所游的距离提高498－495＝3（米），需要多游778－670＝108（米），所以暑假一共有108÷3＝36（天）．

如果平均每天游500米，则要在最后一天游（500－498）×36＋778＝850（米）．

答：

最后一天应游850米．

例5有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有多少个数

解析第二组有（16×8－98）÷（11－8）＝10（个）

答：

第二组有10个数．

例6每次考试满分是100分，小明4次考试的平均成绩是89分，为了使平均成绩尽快达到94分（或更多），他至少要再考几次

解析小明一共还差（94－89）×4＝20（分）．为了尽快使平均分达到94分，每次考试应尽可能都是满分，这样每次考试可多余100－94＝6（分）．由于20÷6＝3……2，说明至少还要考3＋1＝4（次）．

答：

他至少要再考4次．

·应用与探究·

１．一个同学的语文成绩是85分，数学成绩是93分，体育成绩是92分，则他三门学科的平均成绩是多少分

解：

（85＋93＋92）÷3＝90（分）

２．植树节10个好朋友去植树，种两棵树的有2人，种三棵树的有3人，种四棵树的有2人，种五棵树的有1人，种七棵树的有2人．那么平均每人种了几棵树

解：

（2×2＋3×3＋4×2＋5×1＋7×2）÷（2＋3＋2＋1＋2）＝4（棵）

３．小明语文、数学、音乐、体育四科成绩的平均分是92.5分，若已知语文、音乐、体育的成绩分别为96、95、80，那么小明的数学成绩是多少分

解：

92.5×4－96－95－80＝99（分）

４．三个数的平均数是120，加上一个数后，四个数的平均数是115，加上的数是多少

解：

115×4－120×3＝100

５．30人组成的老年学习班中，老爷爷的平均年龄是70岁，老奶奶的平均年龄是75岁．若老爷爷与老奶奶的人数相同，则他们的平均年龄是多少岁若老爷爷是12位，则平均年龄是多少岁

解：

（70＋75）÷2＝72.5（岁）（70×12＋75×18）÷30＝73（岁）

６．一辆汽车越过一个土丘，上坡的距离是60千米，上坡的距离是下坡距离的一半，上坡速度为30千米/小时，下坡速度是40千米/小时，那么上、下坡平均速度是多少

解：

（60＋120）÷（60÷30＋120÷40）＝36（千米/小时）

7．已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10，甲、乙的平均数是8，求丙、丁两数的平均数．

解：

（10×4－8×2）÷2＝12

８．有5个数的平均数是20，如果把其中一个数改成4，这时候5个数的平均数是18．问：

改动的数原来是多少

解：

20×5－18×5＋4＝14

９．有7个数，它们的平均数是18．去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20．求：

去掉的两个数分别是多少

解：

18×7－19×6＝12，19×6－20×5＝14

１０．原来四人小组的平均分是70分，加入一人后，平均成绩提高了2分，新加入的同学成绩是多少分

解：

2×5＋70＝80（分）

１１．已知A、B、C、D、E五个数，前三个数的平均数是12，后三个数的平均数是9，中间三个数的平均数是10，那么首、尾、中间三个数（即A、C、E）的平均数是多少

解：

因为A＋B＋C＝12×3＝36，C＋D＋E＝9×3＝27，B＋C＋D＝10×3＝30，所以A＋2B＋3C＋2D＋E＝93，A＋C＋E＝93－2（B＋C＋D）＝93－2×30＝33，即A、C、E平均数为33÷3＝11．

１２．有7个数排成一列，它们的平均数是32，前3个数的平均数是28，后5个数的平均数是33．求第三个数是多少

解：

33×5＋28×3－32×7＝25

第五讲年龄问题

·知识引领·

解年龄问题往往是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合应用，解题分析时，一定要抓住其年龄差在几年前或几年后是不变的这个关键．

·经典题例·

例1小勇比妈妈小24岁，妈妈现在的年龄正好是小勇的3倍，妈妈和小勇现在分别是多少岁

解析题目中第一个条件是年龄差且年龄差是不变的，那么只要找到倍数差，就可以求出两人的年龄了．而“妈妈的年龄是小勇的3倍”这个条件告诉我们，把小勇的年龄看作1倍，妈妈的年龄则为3倍，他们年龄的倍数差为3－1＝2倍，所以用年龄差÷倍数差就可以求出两人的年龄分别是几岁了．

小勇的年龄：

24÷（3－1）＝24÷2＝12（岁）

妈妈的年龄：

12×3＝36（岁）

答：

小勇现在12岁，妈妈现在36岁．

例2王刚今年9岁，李英今年13岁，当两人的年龄和是40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁

解析题目中分别告诉我们王刚和李英的年龄，那么我们就可知王刚和李英的年龄差为13－9＝4（岁）．而当他们两人年龄和为40岁时，两人的年龄差还是4岁．这时我们可以用和差问题的方法，来求出两人的年龄．

李英：

［40＋（13－9）］÷2＝22（岁）

王刚：

40－22＝18（岁）

答：

王刚18岁，李英22岁．

例3盛爷爷有三个孙子，大孙子22岁，二孙子20岁，小孙子15岁．25年以后，三个孙子的年龄之和比盛爷爷那时年龄的2倍还少60岁，问盛爷爷今年多少岁

解析25年后，三个孙子的年龄和应为：

22＋20＋15＋25×3＝132

而那时，盛爷爷的年龄为：

（132＋60）÷2＝96（岁）

所以盛爷爷现在的年龄为：

96－25＝71（岁）

答：

盛爷爷今年71岁．

例4小鲸鱼对大鲸鱼说：

“妈妈，我到您这么大时，您就31岁啦！

”大鲸鱼对小鲸鱼说：

“我像你这么大时，你才只有1岁呢．”问：

小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁

解析从小鲸鱼的话中可知，大鲸鱼的年龄＋（大、小鲸鱼的年龄差）＝31；从大鲸鱼的话可知，小鲸鱼的年龄－（大、小鲸鱼的年龄差）＝1．

因此小鲸鱼从1岁开始，再加上大、小鲸鱼的年龄差就成为小鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为大鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为31岁了，所以（31―1）就是3个年龄差．求出了年龄差，再求大、小鲸鱼的年龄也就不难了．

小鲸鱼：

（31－1）÷3＋1＝11（岁）

大鲸鱼：

11＋（31－1）÷3＝21（岁）

答：

小鲸鱼现在11岁，大鲸鱼现在21岁．

例5甲的年龄比乙的年龄的4倍少3．甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄．问：

甲、乙现在各多少岁

解析“甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄”表明甲比乙大6岁．甲如果再增加3岁，那么就是乙的年龄的4倍．问题化为“差倍问题”．

年龄差：

9－3＝6（岁）

乙的年龄：

（6＋3）÷（4－1）＝3（岁）

甲的年龄：

6＋3＝9（岁）

答：

甲现在9岁，乙现在3岁．

·应用与探究·

１．爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在多少岁

解：

（69＋3）÷2＝36（岁）

２．哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，哥哥和弟弟分别多少岁

解：

哥哥：

[100＋（15－11）]÷2＝52（岁）；弟弟：

52－4＝48（岁）

３．儿子与妈妈今年的年龄之和是42岁，6年前妈妈的年龄是儿子年龄的9倍，妈妈今年多少岁

解：

儿子：

（42－6×2）÷（1＋9）＝3（岁）；妈妈：

3×9＋6＝33（岁）

４．父亲与弟弟的年龄和是58岁，父亲比哥哥大23岁，哥哥比弟弟大5岁，那三人的平均年龄是多少岁

解：

父亲：

（58＋23＋5）÷2＝43（岁）；弟弟：

58－43＝15（岁）；哥哥：

15＋5＝20（岁）

平均年龄：

（43＋15＋20）÷3＝26（岁）

５．爸爸今年35岁，儿子今年11岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍

解：

5倍时儿子：

（35－11）÷（5－1）＝6（岁）；11－6＝5（年）

６．哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年分别多少岁

解：

哥哥：

（35－4＋3＋8）÷2＝21（岁）；妹妹：

21－8＝13（岁）

７．江叔叔对小明说：

“我15年前的岁数和你6年后岁数相同，7年前，我的年龄是你的年龄的8倍．”那么江叔叔今年多少岁

解：

7年前小明：

（15＋6）÷（8－1）＝3（岁）；今年江叔