直线平面平行的判定及其性质.docx
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直线平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质
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1.(优质试题·汇龙中学测试)已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的位置关系为________.
解析:
依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内.
答案:
平行或直线b在平面α内
2.(优质试题·南京模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是________.
解析:
如图,由
=
得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.
答案:
AC∥平面DEF
3.(优质试题·天星湖中学测试)在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列四对截面中彼此平行的是________(填序号).
①平面A1BC1和平面ACD1;②平面BDC1和平面B1D1A;
③平面B1D1D和平面BDA1;④平面ADC1和平面A1D1C.
解析:
如图,结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A1BC1∥平面ACD1,平面BDC1∥平面B1D1A.
答案:
①②
4.如图,α∥β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=________.
解析:
因为α∥β,所以CD∥AB,
则
=
,所以AB=
=
=
.
答案:
5.
如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
解析:
连结AM并延长,交CD于点E,连接BN,并延长交CD于点F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,
连结MN,由
=
=
,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案:
平面ABC、平面ABD
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1.在空间中,已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;
②若a∥b,a∥α,则b∥α;
③若a∥α,b∥α,则a∥b.
其中真命题的个数是________.
解析:
对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,在空间中,以上三个命题都是假命题.
答案:
0
2.(优质试题·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角,且被两平面所截得的线段长为2,那么这两个平行平面间的距离是________.
解析:
由题意知,两个平行平面间的距离d=2sin30°=1.
答案:
1
3.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
解析:
过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共有6条.
答案:
6
4.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确命题的个数是________.
解析:
由题图,显然①是正确的,②是错误的;
对于③,因为A1D1∥BC,BC∥FG,
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,
所以A1D1∥平面EFGH(水面).
所以③是正确的;
对于④,因为水是定量的(定体积V),
所以S△BEF·BC=V,即
BE·BF·BC=V.
所以BE·BF=
(定值),即④是正确的.
答案:
3
5.在三棱锥SABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.
解析:
取AC的中点G,连结SG,BG.
易知SG⊥AC,BG⊥AC,
故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.
又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF綊
AC綊DE,
所以四边形DEFH为平行四边形.
又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,
所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,
其面积S=HF·HD=
AC·
SB=
.
答案:
6.设α,β,γ是三个平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.
如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上).
解析:
由面面平行的性质定理可知,①正确;当b∥β,a⊂γ时,a和b在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.
答案:
①或③
7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为________cm2.
解析:
如图所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,
所以E为DD1的中点,
所以S△ACE=
×
×
=
(cm2).
答案:
8.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BC⊥AC,∠BAC=
,AC=4,M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q在线段CA1上,且A1Q=3QC,则PQ的长度为________.
解析:
由题意知,AB=8,过点P作PD∥AB交AA1于点D,连接DQ,则D为AM中点,PD=
AB=4.
又因为
=
=3,
所以DQ∥AC,∠PDQ=
,DQ=
AC=3,
在△PDQ中,
PQ=
=
.
答案:
9.(优质试题·天一中学检测)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,Q是CC1上的点,问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解:
当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下:
连结PQ,因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,
所以PD綊QC,即四边形PQCD为平行四边形,
所以PQ綊CD,又因为CD綊AB,所以PQ綊AB,
所以四边形PQBA为平行四边形,
所以QB∥PA.
因为QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,所以QB∥平面PAO.
因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.
又因为D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,
所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,D1B⊂平面D1BQ,QB⊂平面D1BQ,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
10.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1;
(2)EG∥平面BB1D1D;
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明:
(1)如图所示,取BB1的中点M,连结
MH,MC1,易证四边形HMC1D1是平行四边形,
所以HD1∥MC1.
又因为MC1∥BF,所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OE綊
DC,又D1G綊
DC,所以OE綊D1G,
所以四边形OEGD1是平行四边形,
所以GE∥D1O.
又GE⊄平面BB1D1D,D1O⊂平面BB1D1D,
所以EG∥平面BB1D1D.
(3)由
(1)知BF∥HD1,
又BD∥B1D1,B1D1,HD1⊂平面B1D1H,BF,BD⊂平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
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1.如图所示,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=
,过B1,D1,P的平面交平面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________.
解析:
因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,
而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,
所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,
设PQ∩AB=M,
因为AB∥CD,
所以△APM∽△DPQ.
所以
=
=2,
即PQ=2PM.
又知△APM∽△ADB,
所以
=
=
,
所以PM=
BD,又BD=
a,
所以PQ=
a.
答案:
a
2.如图,四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.
(1)求证:
CE∥平面PAD.
(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?
若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:
取PA的中点H,连结EH,DH,
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=
AB,
又AB∥CD,CD=
AB,
所以EH∥CD,EH=CD,
因此四边形DCEH是平行四边形,
所以CE∥DH,
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点,
使平面PAD∥平面CEF,
证明如下:
取AB的中点F,连结CF,EF,
所以AF=
AB,
又CD=
AB,所以AF=CD,
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,
因此CF∥AD,
又CF⊄平面PAD,
所以CF∥平面PAD,
由
(1)可知CE∥平面PAD,
又CE∩CF=C,
故平面CEF∥平面PAD,
故存在AB的中点F满足要求.
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- 直线 平面 平行 判定 及其 性质