新高考中函数的考查方向.docx
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新高考中函数的考查方向
新高考中函数的考查方向
函数是贯穿在中学数学中的一条主线,每年高考对函数的考查所占比例相当大.下面从指导高考复习的视角,结合近几年的高考函数问题,谈谈函数复习的方向.
1.返璞归真,揭示函数本质,是出题者的追求目标
重视同学们的生活背景,回归朴素的函数思想方法是近年对函数考查的热点.
例1(2009年上海卷理)有时可用函数f(x)=0.1+15?
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ln?
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aa-x,(x≤6)?
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x-4.4x-4,(x>6)描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N?
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*),?
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f(x)?
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表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(Ⅰ)证明:
当x≥7时,掌握程度的增加量?
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f(x+1)?
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-f(x)总是下降;(Ⅱ)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121\〗,(121,127\〗,(121,133\〗.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85?
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%?
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请确定相应的学科.
【证明】(Ⅰ)当x≥7时,f(x+1)-f(x)=0.4(x-3)(x-4)而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故f(x+1)-f(x)单调递减.
∴当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.
(Ⅱ)由题意可知0.1+15?
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ln?
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aa-6=0.85,整理得aa-6=e?
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0.05?
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解得a=e?
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0.05?
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e?
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0.05?
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-1•6=20.05×6=123.0,123.0∈(121,127\〗.由此可知,该学科是乙学科.
【点评】浅显的数学知识,贴近生活的函数题,揭示了函数本质.
2.加大函数图像变换的考查,凸显出题者对“双基”的要求
函数的考查近年来很少单纯考某一函数的性质.取而代之的是函数图像变换(平移、对称、翻折)的考查.提醒:
在复习函数图像变换的过程中,不要忘记列表描点作图是根本.
例2(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间\上有四个不同的根x?
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1,x?
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2,x?
?
3,x?
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4,则x?
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1+x?
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2+x?
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3+x?
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4=.
【解析】因为是定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),则f(x-4)=f(-x),所以函数图像关于直线x=2对称且f(0)=0,由?
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f(x-4)?
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=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间\上有四个不同的根x?
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1,x?
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2,x?
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3,x?
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4,不妨设x?
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1 ? 2 ? x? ? 3 ? x? ? 4由对称性知x? ? 1+x? ? 2=-12,x? ? 3+x? ? 4=4所以? ? x? ? 1+? ? x? ? 2+x? ? 3+x? ? 4=-12+4=-8 【答案】-8 【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 3.利用函数载体,考查数列,体现出题者在交汇处命题的命题思想 在知识交汇处命制高考题已成为热点和方向,数列作为特殊的函数,它是一个以非零自然数为变量的函数,由于数列f(n)可反映前后项联系,从而可得数列的递推关系.所以函数作为载体来考查数列是一不错的选择.由于函数的单调性,还可以比较各项的大小,以及求数列各项的和等. 例3(2008福建卷)已知函数f(x)=13x? ? 3+? ? x? ? 2-? ? 2.(Ⅰ)设{a? ? n}是正数组成的数列,前n项和为S? ? n,其中a? ? 1=3.若点(a? ? n,a? ? 2? ? ? ? n+1? ? -2a? ? ? ? n+1? ? )(n∈N? ? ? ? )在函数y=? ? f′(x)? ? 的图象上,求证: 点(n,S? ? n)也在y=f′(x)的图象上;(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值. 【解析】(Ⅰ)证明: 因为f(x)=13x? ? 3+x? ? 2-2,所以f′(x)=x? ? 2+2x, 由(a? ? n,a? ? 2? ? ? ? n+1? ? -2a? ? ? ? n+1? ? )(n∈N? ? ? ? )在函数y=f′(x)的图象上,又a? ? n>0(n∈N? ? *), 所以(a? ? ? ? n-1? ? -a? ? n)(a? ? ? ? n+1? ? -a? ? n-2)=0,所以S? ? n=3n+n(n-1)2×2=n? ? 2+2n, 又因为f′(n)=n? ? 2+2n,所以S? ? n=f′(n),故点(n,S? ? n)也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: f′(x)=x? ? 2+2x=x(x+2),由f′(x)=0,得x=0或x=-2.当x变化时,f′(x)? pf(x)的变化情况如下表: x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞) f′(x)+0-0+ f(x)? J极大值? K极小值? J 注意到|(a-1)-a|=1<2,从而 ①当a-1<-2 ②当a-1<0 ③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时,f(x)既无极大值又无极小值. 【点评】本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力. 4.函数与导数连接,出题者特别青睐 近几年高考卷中陆续出现考查三次函数的最值、极值、单调性、图象等内容,导数为这类问题的解决提供了新的方法.这类问题具有内容新、背景新、方法新等特点. 例4(2009山东卷)已知函数f(x)=13ax? ? 3+bx? ? 2+x+3,其中a≠0.(Ⅰ)当a,b满足什么条件时,? ? f(x)? ? 取得极值? (Ⅱ)已知a>0,且f(x)在区间(0,1\〗上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 【解】(Ⅰ)由已知得f′(x)=ax? ? 2+2bx+1,令f′(x)=0,得ax? ? 2+2bx+1=0,f(x)要取得极值,方程ax? ? 2+2bx+? ? 1=? ? 0必须有解,所以△=4b? ? 2-4a>0,即b? ? 2>a,此时方程ax? ? 2+2bx+1=0的根为: x? ? 1=-2b-4b? ? 2-4a2a=-b-b? ? 2-aa, x? ? 2=-2b+4b? ? 2-4a2a=-b+b? ? 2-aa,所以? ? f′(x)=? ? a(x-x? ? 1)(x-x? ? 2) 当a>0时, x(-∞,x? ? 1)x? ? 1(x? ? 1,x? ? 2)x? ? 2(x? ? 2,+∞) f′(x)+0-0+ f(x)增函数极大值减函数极小值增函数 所以在x? ? 1,x? ? 2处分别取得极大值和极小值. 当a<0时, x(-∞,x? ? 2)x? ? 2(x? ? 2,x? ? 1)x? ? 1(x? ? 1,+∞) f′(x)-0+0- f(x)减函数极小值增函数极大值减函数 所以在x? ? 1,x? ? 2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b? ? 2>a时,f(x)取得极值. (Ⅱ)要使f(x)在区间(0,1\〗上单调递增,需使? ? f′(x)=? ? ax? ? 2+2bx+1≥0在(0,1\〗上恒成立. 即b≥-ax2-12x,x∈(0,1\〗恒成立,所以b≥(-ax2-12x)? ? ? ┆? max? ? ? ? 设g(x)=-ax2-12x,g′(x)=-a2+12x? ? 2=a(x? ? 2-1a)2x? ? 2,令g′(x)=0得x=1a或x=-1a(舍去), 当a>1时,00,g(x)=-ax2-12x单调增函数;当x∈(1a,1\〗时g′(x)<0,g(x)=-ax2-12x单调减函数.所以当x=1a时,g(x)取得最大.最大值为g(1a)=-a.所以b≥-a. 当0 综上: 当a>1时,b≥-a;当0 【点评】本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用了函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 5.函数应用型问题,出题者情有独钟 应用型问题是“数学应用意识和创新意识”出题的最佳结合点. 例5(2009山东卷理)两县城A和B相距20? ? km? ? 现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x? ? km? ? 建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明: 垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在AB的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.(Ⅰ)将y表示成x的函数;(Ⅱ)讨论 (1)中函数的单调性,并判断弧AB上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小? 若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由. 【解】: (Ⅰ)如图,由题意知: AC⊥BC,? ? BC? ? ? ? 2=400-x? ? 2,y=4x? ? 2+k400-x? ? 2(0 ? x ? 20) 其中当x=102时,y=0.065,所以k=9.所以y表示成x的函数为: y=4x? ? 2+9400-x? ? 2(0 (Ⅱ)y=4x? ? 2+9400-x? ? 2,y′=-8x? ? 3-9×(-2x)(400-x? ? 2)? ? 2=18x? ? 4-8(400-x? ? 2)? ? 2x? ? 3(400-x? ? 2)? ? 2,令y′=0得,所以18x? ? 4=8(400-x? ? 2)? ? 2,所以x? ? 2=160,即x=410,当08(400-x? ? 2)? ? 2,即y′>0所以函数为单调增函数.所以当x=410时,即当C点到城A的距离为410时,函数y=4x? ? 2+9400-x? ? 2(0 ? x ? 20)有最小值. (Ⅱ)设m=x? ? 2,n=400-x? ? 2 则m+n=400,y=4m+9n,所以 y=4m+9n=(4m+9n)m+n400=1400\4nm+9mn)\〗≥1400(13+12)=116 当且仅当4nm=9mn即n=240? ? m=160时取“=”. 下面证明函数y=4m+9400-m在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数. 设0 ? 1 ? 2<160,则y? ? 1-y? ? 2=4m? ? 1+9400-m? ? 1-(4m? ? 2+9400-m? ? 2) =(4m? ? 1-4m? ? 2)+(9400-m? ? 1-9400-m? ? 2)=4(m? ? 2-m? ? 1)m? ? 1m? ? 2+9(m? ? 1-m? ? 2)(400-m? ? 1)(400-m? ? 2) =(m? ? 2-m? ? 1)\4m? ? 1m? ? 2-9(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)\〗=(m? ? 2-m? ? 1)4(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)-9m? ? 1m? ? 2m? ? 1m? ? 2(400-m? ? 1)(400-m? ? 2), 因为04×240×240 9m? ? 1m? ? 2<9×160×160 所以4(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)-9m? ? 1m? ? 2m? ? 1m? ? 2(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)>0, 所以(m? ? 2-m? ? 1)4(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)-9m? ? 1m? ? 2m? ? 1m? ? 2(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)>0即y? ? 1>y? ? 2函数y=4m+9400-m在(0,160)上为减函数, 同理,函数y=4m+9400-m在(160,400)上为增函数,设160 ? 1 ? 2<400,则 y? ? 1-y? ? 2=4m? ? 1+9400-m? ? 1-(4m? ? 2+9400-m? ? 2) =(m? ? 2-m? ? 1) 4(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)-9m? ? 1m? ? 2m? ? 1m? ? 2(400-m? ? 1)(400-m? ? 2) 因为16009×160×160 所以4(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)-9m? ? 1m? ? 2m? ? 1m? ? 2(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)<0, 所以(m? ? 2-m? ? 1)4(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)-9m? ? 1m? ? 2m? ? 1m? ? 2(400-m? ? 1)(400-m? ? 2)<0即y? ? 1 ? 2函数y=4m+9400-m在(160,400)上为增函数.所以当m=160即x=410时取“=”,函数y有最小值.所以弧AB上存在一点,当x=410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 【点评】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用导数研究函数的单调性等问题. 事实上,解答实际应用题有以下四个步骤: ⑴阅读理解材料: 读懂材料中量与量的关系,模型是什么(方程还是不等式等);⑵建立变量关系: 利用量与量的已知关系列出相应的关系式(建模);⑶讨论变量性质: 利用代数知识对所建立的变量关系式化简、推导并讨论变量具有的性质(单调性、最大值或最小值等);⑷作出问题结论: 最后的结论不可少,注意实际问题中变量的含义. 6.函数考题与高等数学接轨,命题者的希望所至 过去用函数的单调性的定义证明某函数的单调性的必考题因导数出现而退出.因导数是一个很好的工具,是学习高等数学必须掌握的工具.所以它成了高考的热点题型.当然与高等数学其它知识的接轨问题已时有出现了,通常以信息给予题的方式出现. 例6(2009四川卷)设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f: V→V,a∈V,记a的象为? ? f(a)? ? .若映射f: V→V满足: 对所有a、b∈V及任意实数λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题: ①设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,则f(a+b)=f(a)+f(b);②若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a+e,则f是平面M上的线性变换;③对a∈V,设f(a)=-a,则f是平面M上的线性变换;④设f是平面M上的线性变换,a∈V,则对任意实数k均有f(ka)=kf(a). 其中的真命题是(写出所有真命题的编号). 【答案】①③④ 【解析】①: 令λ=μ=1,则f(a+b)=f(a)+f(b)故①是真命题; 同理,④: 令λ=k,μ=0,则f(ka)=kf(a)故④是真命题; ③: ∵f(a)=-a,则有f(b)=-b f(λa+μb)=-(λa+μb)=λ•(-a)+μ•(-b)=λf(a)+μf(b)是线性变换,故③是真命题; ②: 由f(a)=a+e,则有f(b)=b+e f(λa+μb)=(λa+μb)+e=λ•(a+e)+μ•(b+e)-e=λf(a)+μf(b)-e ∵e是单位向量,e≠0,故②是假命题. 【点评】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质,是高考题中的又一好题. 总之在解函数题时,要善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,这是应用函数思想的关键.只有对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型.另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题,复习时应予以重视. (作者: 严循跃,江苏省如皋中学)
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