全国研究生考试数学三真题和答案.docx
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全国研究生考试数学三真题和答案
2019全国研究生考试数学三真题
、选择题
1.当x0时,若xtanx与x为同阶无穷小,则k()
A.0B.1C.2D.3
2.
已知x55xk0有3个不同的实根,则k的取值范围为()
A.,4B.4,C.[4,4]D(.4,4)
3.
已知yaybycex的通解为y(C1C2x)e-xex,则a,b,c的值为()
A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,4
4.已知nun绝对收敛,vn条件收敛,则下列正确的是()n1n1n
A.unvn条件收敛B.unvn绝对收敛
n1n1
C.(unvn)收敛n1
D.(unvn)发散n1
5已知A为4阶矩阵,
A*为A的伴随矩阵,且Ax0的基础解析有2个线性无关的
解,则r(A)()
A.0
B.1
C.2
D.3
6.设A是3阶实对称矩阵,
E是3阶单位矩阵.若A2A2E,且A4,则二次型
xTAx的规范形为
222
A.y1y2y3.
222
B.y1y2y3.
222
C.y1y2y3.
222
D.y1y2y3.
A.P(AB)P(A)P(B).
B.P(AB)P(A)P(B).
C.P(AB)P(BA).
D.P(AB)P(AB).
8.设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布N(,2),则PXY1A.与无关,而与有关.
B.与有关,而与无关.
2
C.与,都有关.
2
D.与,2都无关.
.填空题,9~14小题,每小题4分,共24分.
n
111
9.lim
n1223nn1
3
10.曲线yxsinx2cos 22 11.已知fx1t4dt,则x2fxdx 10 12.A,B两种商品的价格为pA,pB,A商品的价格需求函数为 500p2A 2 2pB2,则当pA=10,pB=20时,A商品的价格需求弹性 AA(AA>0)= 1 0 1 13.设A1 1 1,b 0 1a21 pApB 0 1,若Axb有无穷多解,则a=a 14设随机变量X的概率密度为f(x) 0x2 2F(x)为X的分布函数, 0,其他, X为X的数学期望,则PF(X)X1 三、解答题 15.已知函数f(x) 2x x x xe1 0f'(x)并求f(x)的极值 ,求 16.设f(u,v)具 有连续 2阶偏导数,g(x,y)xyf(xy,xy),求 222 ggg 22 xxyy 17.y(x)显微分方程 xy 1 2x x2 e2满足条件y (1)e的特解. 1)求y(x) 2)区域D(x,y)1 2,0yy(x),D绕x轴旋转的旋转体的体积 x 18.求曲线yesinx(x 0)与x轴之间图形的面积。 0 19.设an0xn1x2dx,n=(0,1,2⋯) 1)证明数列an单调减少,且an n1 n2an2(n=2,3⋯) 2)求lim n 20.设向量组Ⅰ (1,1,4)T,2 T2TT(1,0,4)T,3(1,2,a23)T,4(1,1,a3)T, Ⅱ.1(1,1,a3)T,2(0,2,1a)T,3 (1,3,a23)T. 2 2 1 2 1 0 21.已知矩阵A 2 x 2 与B 0 1 0相似 0 0 2 0 0 y (1)求x,y, (2)求可逆矩阵 P,使得 P 1AP B 若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价,求 a,并将3用1,2,3表示 22.已知随机变量X,Y相互独立, X服从参数为1的指数分布 11 Y~11,0p1,令ZXY.p1p (1)Z的概率密度 (2)p为何值,X,Z不相关; (x)2 22 (3)X,Z是否独立. x 2 0, 23.设随机变量X的概率密度为f(x,2) 2 为已知参数,为未知参数,A常数, X1,X2,,Xn为取自总体X的简单随机样本 (1)求A; 2 (2)求2的最大似然估计量 2019年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析(数学三) 1.D2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.C 8.A 9.e1 10.(,2) 1 11.118(122) 12.0.413.1 2 14. 3 15.解: x0时, 2x x 2xlnx e 2xlnxe 2ln 2=x 2x 2lnx2 x0时, xxe xe x=0时, x2x1 limlimx0xx0 2xlnx e xlim0 2xlnx xex11limx0x lime 0 1. 2x x2x2lnx x 1xe =0,得x1e 1 x2 1. (1)当x0,e1,fx0,fx单调递减,当xe1,+,fx0,fx单调递增, 2 11e 故fe1=为极小值. e 2)当x-1,0,fx0,fx单调递增, 当x 0,e1,f x 0,f x单调递减, 故f 0=1为极大值. (3) 当x, 1, fx 0,fx单调递减 当x -1,0,f x 0,f x单调递增, 故f 1=e1 1为极小值 16.解 : g(x,y) xy f(x y,xy) (fu fv),gy x(fu fv) 2 g 2 x (fuu uv uv fvv) uu 2fuv vv 2 2g 1(fuu uv uv fvv) uu vv xy 2 2g 2 y (fuu uv uv fvv) uu 2fuv vv 2 2g 2 x 2 2g xy 2 2g 2 y 13fuu vv 证明 (1)利丿"rr71"1>xn"J知rrn\/l—>刃一*1—护,氏 {an}单调减少. 利用分部积分町知 [Tnx/1—x2dr=——[\/1—x2dxn+1./o"十1./(> —xn+1\/1—X2 n+1 丄/ 兀+1丿0 1 Un n+1 1 a” n+1 1 an n+1 1jrn(X2_1)+龙“ dx 11r1刘+2f +/—,dx on-t-l/ovTF 11―«n+―"n+171+ \/l—T2 角/严MF 于是 Zi—1 +乔亍 ■時/'严" on+1Jo n+2n—1 RS=今s= (2)解法1.因为仪“}单调递减.所以严<1且 x2dx 一1 工^"一2・
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